Министерство образования Российской Федерации Хабаровская государственная академия экономики права Кафедра математики и математических методов в экономике

Теория вероятностей и математическая статистика

Программа, методические указания и контрольное задание № 1 для студентов заочного отделения

Хабаровск, 2003

2

ББК В 1 Х 12

Теория вероятностей и математическая статистика: Программа, методические указания и контрольное задание № 1 для студентов заочного отделения / Сост. Е.Н. Кравченко, И.В. Ясеновская. – Хабаровск: РИЦ ХГАЭП, 2003. – 46 с.

Рецензент: к.ф.-м.н., доцент кафедры «Прикладная математика» ДВГУПС Е.Н. Ломакина

Утверждено издательско-библиотечным советом академии в качестве методических указаний для студентов

Кравченко Елена Николаевна

Ясеновская Инна Витальевна

Теория вероятностей и математическая статистика

Программа, методические указания и контрольное задание № 1 для студентов заочного отделения

Редактор Г.С. Одинцова

680042, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 134, ХГАЭП, РИЦ

© Хабаровская государственная академия экономики и права, 2003

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Современный период развития науки характеризуется широким применением вероятностных (статистических) методов во всех областях знаний. Особенно большое значение методы теории вероятностей и математической статистики имеют для современных экономических методов.

Студентам, изучающим курс теории вероятности и математической статистики, надо помнить, что данный курс имеет непосредственное применение к практике экономиста, а также используется при изучении дисциплины «Экономико-математические методы и модели».

Студенты второго курса всех специальностей заочной формы обучения изучают дисциплину «Теория вероятностей и математическая статистика», выполняют по ней две контрольные работы и сдают экзамен.

Данная методическая разработка содержит программу курса, список учебной литературы, методические указания и задания к контрольной работе № 1.

В методических указаниях приведены сведения из теории, даны рекомендации по решению типовых задач, что поможет студентам в выполнении контрольной работы.

Перед тем как приступить к разбору решений типовых задач, изложенных в данной методической разработке, студентам рекомендуется изучить теоретический материал в соответствии с программой.

Составители желают студентам успехов в изучении курса теории вероятностей и математической статистики.

4

ПРОГРАММА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

Комбинаторика. Предмет теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое определение вероятности. Ограниченность классического определения. Относительная частота. Устойчивость относительных частот. Статистическое определение вероятности. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий. Полная группа событий. Противоположные события. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события.

Повторные испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступления событий. Локальная теорема Лапласа. Функция (х) и ее свойства. Формула Пуассона. Интегральная теорема Лапласа. Функция Ф(х) и ее свойства. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Случайные величины, их виды. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Определение функции распределения. Свойства функции распределения, ее график. Определение непрерывной случайной величины. Плотность распределения вероятностей. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Свойства функции плотности. Нахождение функции распределения по известной функции плотности.

Математическое ожидание дискретной случайной величины. Вероятностный смысл математического ожидания. Свойства математического ожидания. Дисперсия дискретной случайной величины. Формула для вычисления дисперсии. Свойства дисперсии. Среднее квадратическое отклонение. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Биномиальное распределение, его числовые характеристики. Распределение Пуассона, его числовые характеристики. Закон равномерного распределения вероятностей, его числовые характеристики. Нормальное распределение. Нормальная кривая. Влияние параметров нормального распределения на формулу нормальной кривой. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Правило «трех сигм».

Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Генеральная и выборочная совокупности. Виды выборки. Способы

отбора. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения. Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Устойчивость выборочных средних. Выборочная дисперсия. Оценка генеральной дисперсии по

5

исправленной выборочной. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном σ. Понятие о распределении Стьюдента. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном σ. Оценка истинного значения измеряемой величины.

Функциональная, статистическая и корреляционная зависимость. Две основные задачи теории корреляции. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии. Свойства выборочного коэффициента корреляции. Групповая и общая средняя. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая дисперсии. Криволинейная корреляция.

Статистические гипотезы. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Простая и сложная гипотезы. Ошибки первого и второго рода, уровень значимости. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия. Критическая область и область принятия гипотезы. Критические точки. Левосторонняя и правосторонняя критическая область. Отыскание критических областей. Мощность критерия. Критерий согласия. Примеры критериев согласия. Проверка гипотез о распределении Пуассона и о нормальном распределении совокупности с помощью критерия согласия Пирсона. Методики вычисления теоретических частот распределения Пуассона и нормального распределения.

6

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч.2. - М.: Высшая школа, 1983.

2.Лихолетов И.И. Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика. - Минск: Вышэйшая школа,

1976.

3.Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. - Минск: Вышэйшая школа,

1976.

4.Карасев А.И. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Статистика, 1970.

5.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1997.

6.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая

школа, 1997.

7.Эддоус М., Стенсфилд Р. Методы принятия решения. - М.:

ЮНИТИ, 1997.

8.Тиунчик М.Ф. Теория вероятностей (случ.события): Учебное пособие. – Хабаровск: РИЦ ХГАЭП, 2000

9.Тиунчик М.Ф. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие. – Хабаровск: РИЦ ХГАЭП, 1999

7

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

В рекомендованных учебниках по этой теме даны основные понятия теории вероятностей: испытание, исход испытания, событие. Даны определения достоверного, невозможного и случайного событий. Приведена классификация случайных событий: совместные и несовместные, противоположные, равновозможные и единственно возможные события.

Понятие вероятности события – одно из основных понятий в теории вероятности. Оно выражает меру объективной возможности наступления события. В учебниках даны классическое и статистическое определения вероятности события.

Согласно классическому определению вероятность события А вычисляется по формуле Р(А) = mn , где n – число всех равновозможных,

единственно возможных и несовместных исходов испытания, m – число исходов, благоприятствующих появлению события А. Таким образом, нахождение вероятности события сводится к вычислению значений параметров n и m, а так как 0 ≤ m ≤ n, то 0≤ Р(А) ≤ 1.

Пример 1. Имеется 100 одинаковых деталей, среди которых 3 бракованных. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется без брака.

Решение. В этой задаче производится испытание – извлекается одна деталь. Число всех исходов испытания равно 100, т.к. может быть взята любая деталь из 100. Эти исходы несовместны, равновозможны, единственно возможны. Таким образом, n=100. Событие А состоит в появлении детали без брака. Всего в партии 97 деталей без брака, следовательно, число исходов, благоприятных появлению события А равно 97. Итак, m=97. Тогда

Р(А)= 10097 = 0,97.

При непосредственном вычислении вероятности события А часто для подсчета числа всех исходов n и числа m, благоприятных событию А исходов, применяются формулы комбинаторики. Приведем краткие сведения из комбинаторики.

Правило произведения. Если объект А может быть выбран n1 способами и после каждого такого выбора объект В может быть выбран n2 способами, то выбор пары А и В может быть осуществлен n1 n2 способами.

8

Это правило распространяется и на случай выбора трех, четырех и т.д. объектов.

Пусть дано множество из n элементов.

Размещения. Размещениями из n элементов по m (m ≤ n) называют такие подмножества, каждое из которых содержит m элементов из данных n и которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо их порядком. Число таких подмножеств равно:

Пример 2. Код банковского сейфа состоит из 6 цифр. Найти вероятность того, что наудачу выбранный код содержит различные цифры?

Решение. Так как на каждом из шести мест в шестизначном

Перестановки. Перестановками из n элементов называют такие множества, каждое из которых содержит данные n элементов и которые отличаются друг от друга порядком элементов, число перестановок Рn

= n!.

Пример 3. Между 6 фирмами: А, Б, В, С, Д, Е, занимающимися продажей компьютерной техники, проводится жеребьевка на предмет очередности представления своей продукции на выставке потенциальным потребителям. Какова вероятность того, что очередь будет выстроена по порядку, т.е. А, Б, В, Г, Д, Е?

Решение. Исход испытания – случайное расположение фирм в очереди. Число всех возможных исходов равно числу всех перестановок из шести элементов (фирм), т.е. n=Р6=6!. Число исходов, благоприятствующих

9

Сочетания. Сочетаниями из n элементов по m называют такие подмножества, каждое из которых содержит m элементов из данных n и которые отличаются друг от друга составом элементом

Пример 4. В компании 10 акционеров, из них три имеют привилегированные акции. На собрание акционеров явилось 6 человек. Найти вероятность того, что среди явившихся акционеров:

а) все трое акционеров с привилегированными акциями отсутствуют; б) двое с привилегированными акциями.

Решение: а) Испытанием является отбор 6 человек из 10 акционеров. Число всех исходов испытания равно числу сочетаний из 10 по

6, т.е.

Пусть событие А – среди шести человек нет ни одного с привилегированными акциями. Исход, благоприятствующий событию А, - отбор шести человек среди семи акционеров, не имеющих привилегированных акций. Число всех исходов, благоприятствующих

б) Пусть событие В – среди шести явившихся акционеров двое с привилегированными акциями, а остальные четыре – с общими акциями.

Число всех исходов n=С106 = 210. Число способов выбора двух человек из

10

ТЕМА 2. КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. Теорема сложения вероятностей

Перед изучением данной темы студенту рекомендуется изучить следующие вопросы: совместность и несовместность событий, сумма событий, теоремы сложения совместных и несовместных событий, полная группа событий, противоположные события.

Вероятность суммы двух событий вычисляется по формуле Р(А+В) = Р(А) + Р(В) (в случае, если события А и В несовместны); Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А В) (если А и В совместны).

Пример 1. Согласно прогнозу метеорологов Р(дождь)=0,4; Р(ветер)=0,7; Р(дождь и ветер)=0,2. Какова вероятность того, что будет дождь или ветер?

Решение. По теореме сложения вероятностей и в силу совместности предложенных событий имеем Р(дождь, или ветер, или то и другое) = Р(дождь) + Р(ветер) – Р(дождь и ветер) = 0,4 + 0,7 - 0,2 = 0,9.

2. Теорема умножения вероятностей

Перед изучением данной темы студенту необходимо изучить следующий материал: зависимость и независимость событий, произведение событий, теоремы умножения зависимых и независимых событий, вероятность появления хотя бы одного события.

Вероятность произведения двух событий вычисляется по формуле Р(А В) = Р(А) Р(В) (в случае, если события А и В независимы); Р(А В) = Р(А) РА (В) (если А и В зависимы).

Пример 2. На станции отправления имеется 8 заказов на отправку товара: пять – внутри страны, а три – на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны?

Решение. Событие А – первый взятый наугад заказ – внутри страны. Событие В – второй тоже предназначен для внутреннего потребления. Нам необходимо найти вероятность Р(А В). Тогда по теореме об умножении вероятностей зависимых событий имеем