4536
.pdf31
магазин. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампочка окажется стандартной?
17. Для изготовления продукции используются детали, поступающие от четырех фирм. Первая фирма поставила 2 000 деталей, вторая - 1 700, третья - 200 и четвертая поставила 2 000. Известно, что процент бракованных деталей среди продукции первой фирмы составляет 2%, второй - 3 %, третьей - 2% и четвертой - 5%. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бракованной?
18.В мастерской на двух станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что вероятность изготовления стандартной детали на первом станке равна 0,92, а на втором - 0,8. Изготовленные на обоих станках детали хранятся на складе в нерассортированном виде. При этом деталей, изготовленных на первом станке в 3 раза больше, чем на втором. Определить вероятность того, что наугад взятая деталь окажется стандартной.
19.Вероятность того, что налоговая инспекция предъявит штраф первому предприятию - 0,2, второму - 0,3, третьему - 0,15. Найти вероятность того, что будут оштрафованы:
а) хотя бы одно предприятие; б) 2 предприятия;
20.Банк может выдать кредит одному из трех клиентов с вероятностью
р1=0,4, р2=0,3, р3=0,3 соответственно. Вероятность возврата кредита для первого клиента равна 0,99, для второго 0,91 и для третьего 0,89. Какова вероятность того, что клиент, получивший кредит, его вернет?
21.Вероятность того, что фирма, проведя рекламную кампанию, продаст
единицу своей продукции составляет 0,8. Найти вероятность того, |
что из |
|||
100 изделий фирма реализует не менее 75. |
|
|
||
22. |
Вероятность своевременной |
поставки |
продукции для каждого из |
|
пяти |
поставщиков постоянна и |
равна 0,7. |
Найти вероятность |
того, что |
своевременно поставят продукцию от двух до четырех поставщиков.
23. На 150 предприятиях края была произведена аудиторская проверка хозяйственной деятельности. Найти вероятность того, что у 50 предприятий были выявлены серьезные нарушения, если вероятность подобных нарушений для каждого объекта составляет 0,3.
32
24. Вероятность того, что случайно выбранный лицевой счет клиента отделения сбербанка содержит ошибки, равна 0,05. Если при выборочной проверке счетов обнаружится, что не менее 6% отобранных счетов содержат ошибки, то оператор увольняется с работы. Найти вероятность того, что оператор будет уволен, если ревизор проверит 500 счетов
25. Вероятность того, что посетитель магазина совершит покупку, равна 0,4. Найти вероятность того, что из 8 посетителей покупку сделает: а) не более двух человек, б) не менее двух человек.
26. Магазин произвел 100 распродаж по сниженным ценам. Вероятность того, что каждая из них оправдала себя по окупаемости составляет 0,03. Найти вероятность того, что хотя бы одна из распродаж оказалась неубыточной.
27. 90% изделий данного предприятия - это продукция высшего сорта. Найти вероятность того, что из 600 приобретенных Вами изделий, первого сорта будет от 530 до 532.
28. Частное предприятие при определенных факторах производства выпускает в среднем 75% продукции первого сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из 1500 изделий число первосортных заключено между 1000 и 1166?
29. Вероятность того, что торговая база не превысит дневную норму расходов равна 0,9. Определить вероятность того, что за пять дней норма дневных расходов будет превышена не более одного раза.
30 . Необходимо перевезти 500 единиц товара грузовым автомобилем, но определенное количество товара может получить в дороге повреждение. Вероятность повреждения единицы товара равна 0,2. Необходимо найти наивероятнейшее число поврежденного товара, чтобы отправить сразу такое количество товара, которое могло бы гарантировать, что необходимую партию товара довезут.
31. Средний процент нарушения работы автомата в течение смены равен 10. Найти вероятность того, что из 5 автоматов в течение смены будут работать бесперебойно хотя бы 4.
32. Предприятие бытового обслуживания выполняет в срок |
в среднем 60 |
% заказов. Какова вероятность того, что из 150 заказов будут |
выполнены |
в срок 90 заказов? |
|
33
33.Транспортируется 4 000 изделий, вероятность порчи изделия в пути 0,0005. Какова вероятность того, что поврежденными окажутся от трех до пяти изделий.
34.Вероятность производственной травмы в течение года равна 0,000 5. Какова вероятность того, что из 10 000 рабочих пострадает 3 человека? Каково наивероятнейшее число пострадавших?
35. Фотолаборатория взяла на себя обязательство выполнить 130 заказов для клиента, с вероятностью выполнения одного заказа 0,85. Найти вероятность того, что фотолаборатория выполнит 110 заказов.
36. Вероятность производства стандартной детали в некоторых условиях
равна 0,98. Найти наивероятнейшее число стандартных среди 625 |
деталей |
и соответствующую вероятность. |
|
37.Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8, Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз.
38.30% изделий данного предприятия - это продукция высшего сорта. Некто приобрел 8 изделий, изготовленных на этом предприятии. Чему равна вероятность того, что среди них будет не менее шести изделий высшего сорта.
39.Вероятность неточной сборки прибора равна 0,001. Найти вероятность того, что среди 2 000 собранных приборов окажется не более двух неточно собранных.
40.В автобусном парке имеется 100 машин. Вероятность выхода автобуса на
линию равна 0,9. Для обеспечения нормальной работы |
маршрутов |
необходимо иметь на линиях не менее 90 машин. Определить |
вероятность |
нормального функционирования автобусных маршрутов. |
|
41.Всхожесть семян гороха составляет 70%. Составить закон распределения случайной величины Х - число взошедших семян из четырех посеянных. Составить функцию распределения и построить ее график. Найти числовые характеристики.
42.Вероятность своевременной оплаты продукции каждым из трех потребителей постоянна и равна для каждого потребителя 0,9. Составить
закон распределения случайной величины Х – числа своевременно
34
оплативших потребителей. Найти М(Х), D(Х), σ(Х). Составить функцию распределения F(х), построить ее график.
43.Коммутатор учреждения обслуживает 4 абонента. Вероятность того, что в течение 1 мин абонент позвонит на коммутатор 0,2. Составить закон распределения случайной величины Х – числа позвонивших абонентов из 4 обслуживаемых. Найти: М(Х), D(Х). Составить функцию распределения F(х) и построить график.
44.На курсах повышения квалификации бухгалтеров преподаватель предлагает проверить 10 накладных, 3 из которых содержат ошибки. Наугад берется 2 накладных. Составить закон распределения случайной величины Х
– числа накладных с ошибками среди отобранных. Найти М(Х), D(Х), σ(Х). Составить функцию распределения F(х) и построить ее график.
45.Некоторое предприятие выпускает 80% изделий высшего сорта. Составить закон распределения случайной величины Х – числа изделий высшего сорта из взятых наудачу трех изделий. Найти М(Х), D(Х), σ(Х) . Составить функцию распределения F(х) и построить ее график.
46.Фирма решила продать свои акции на бирже. Известно, что 70% брокеров посоветовали своим клиентам купить эти акции. Наугад было отобрано 4 брокера. Составить закон распределения случайной величины Х – числа брокеров, посоветовавших своим клиентам купить данные акции. Составить функцию распределения F(х), построить ее график. Найти М(Х), D(Х).
47.Количество электроэнергии, потребляемое предприятием №1 и количество электроэнергии Y, потребляемое предприятием №2, описывается следующими законами распределения
Х (кВт/час) |
800 850 900 |
У (кВт/час) |
850 |
900 1000 |
р |
0,3 0,6 ? |
р |
0,4 |
0,1 ? |
Составить закон распределения количества потребляемой обоими предприятиями электроэнергии и найти среднее количество потребляемой электроэнергии (М(Х+Y)).
48.В лотерее из 1000 билетов разыгрываются 1 выигрыш в 10 000 руб., 4 выигрыша по 1000 руб, 10 выигрышей по 100 руб. Наудачу берется один билет. Составить закон распределения случайной величины Х – суммы выигрыша. Найти М(Х), D(Х), σ(Х). Составить функцию распределения F(х) и построить ее график.
49.Случайная величина Х – время простоя контролеров-кассиров в супермаркете подчиняется закону распределения
35
Х 0 2 5
р0,4 0,5 0,1
Составить F(х) и построить ее график. Найти М(Х), D(Х), σ(Х).
50. Средства, вложенные в начале года в 2 предприятия, к концу года приносят случайных доход и возвращаются в виде случайных величин Х и Y соответственно для первого и второго предприятия.
Х |
1 |
2 |
3 |
Y |
0,5 |
1 |
3 |
р |
0,5 |
0,3 |
0,2 |
р |
0,5 |
0,3 |
0,2 |
Найти: а) случайную величину (Х+Y) – средств, возвращенных двумя предприятиями; б) среднее значение возвращенных средств М(Х+Y).
51. Сумма выплат по договору страхования описывается законом
распределения |
|
|
|
Х (млн руб.) |
0 |
1 |
2 |
р |
0,7 |
0,2 |
0,1 |
Составить функцию распределения случайной величины S - сумма выплат по двум договорам страхования. Построить ее график. Найти М(Х),
D(Х), σ(Х).
52. Доход от финансовой операции подчиняется закону распределения:
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
р |
0,3 |
0,2 |
0,4 |
? |
Найти:
а) вероятность Р(Х=3); б) функцию распределения этой случайной величины, построить график функции распределения;
в) определить Р(1 < Х 3).
53. Случайные величины Х, Y - количество бракованных изделий в партии продукции, поставляемой первым и вторым заводами соответственно
Х |
1 |
2 |
3 |
Y |
1 |
2 |
3 |
р |
0,4 |
0,05 |
0,55 |
р |
0,2 |
0,3 |
0,5 |
Найти: а) закон распределения для суммы этих случайных величин;
б) М(Х+Y), D(Х+Y).
54. Доход жены и мужа в месяц подчиняются соответственно следующим законам распределения:
Х |
3 000 |
3 200 |
Y |
5 500 |
5 800 |
р |
0,7 |
0,3 |
р |
0,6 |
0,4 |
36
Составить закон распределения дохода семьи (Х+Y), найти средний доход семьи М(Х+Y).
55.Ежемесячно 3% компании прекращают свою деятельность по причине низкой конкурентоспособности. Составить закон распределения «прогоревших» компаний среди трех наугад взятых. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых компаний прекратит свою деятельность в течение месяца.
56.Станок расфасовывает стиральный порошок в пакеты. Вероятность того, что вес пакета будет иметь отклонение от среднего веса, равна 0,8. Наудачу из партии берут 3 пакета. Составить закон распределения случайной величины Х – числа пакетов с отклонениями от среднего веса среди изъятых. Составить функцию распределения F(х), построить ее график. Найти М(Х),
D(Х).
57.Доходность Х, Y двух видов ценных бумаг подчиняется следующим законам распределения:
Х (млн руб.) |
1 |
2 |
3 |
У (млн руб.) |
0 |
1 |
2 |
Р |
0,2 |
0,4 |
0,4 |
Р |
0,4 |
0,5 |
0,1 |
Определить среднюю доходность этих бумаг. Составить функцию распределения суммы этих случайных величин (доходность портфеля из этих бумаг). Найти вероятность того, что доходность портфеля будет не менее 2 млн руб.
58.Среди поступивших в ремонт 10 часов семь нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в общей чистке механизма, рассматривает их поочередно, пока не найдет такие часы. Составить закон распределения случайной величины Х - количество просмотренных часов. Найти числовые характеристики этой случайной величины. Составить F(х) и построить ее график.
59.Изучение спроса изделий некоторой фирмы дало распределение случайной величины Х – числа потребляемых за месяц изделий.
Х 0 10 20 30 40 50
р0,1 0,1 0,2 0,3 0,1 0,2
Составить функцию распределения F(х), построить ее график. Найти: М(Х) – среднее число изделий, потребляемых в месяц.
60. Вероятность отказа детали за время испытания на надёжность равна 0,2. Составить закон распределения случайной величины Х – числа отказавших
37
деталей, если испытанию будут подвергнуты 3 детали. Найти М(Х), D(Х). Составить функцию распределения F(х) и построить её график.
В задачах 61 - 80 случайная величина Х задана функцией распределения F(х). Найти: 1) вероятность попадания случайной величины Х в интервал ( 13 ; 23 );
2) функцию плотности распределения вероятностей f(х); 3) математическое ожидание случайной величины Х; 4) построить графики F(х) и f(х).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
при |
х |
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
61. |
F(х) = |
|
1 |
|
х |
|
1 |
|
|
при |
1 |
|
х |
2, |
|
|
|||||||||||||||
3 |
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
при |
х |
2; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
при х |
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
62. |
F(х) = |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(х |
2)2 |
при |
2 |
|
х 2, |
||||||||||||||||
|
|
|
16 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
при |
|
х |
2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
при |
х |
0, |
|
|
|
||||||||||
63. |
F(х) |
= |
|
1 |
|
х2 |
|
|
5 |
х при 0 |
|
х |
1, |
|
|||||||||||||||||
6 |
|
|
|
6 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
при |
х |
1; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
при |
х |
0, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
64. |
F(х) |
= |
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
1 при1 |
x |
6 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
при |
х |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
при х |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
65. |
F(х) = |
|
|
|
|
1 |
|
(х |
|
1) 2 при 1 |
|
х |
1, |
||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при х |
1; |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 при |
х |
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(х |
|
|
|
|
|
1 |
) |
2 |
при |
|
1 |
|
|
|
|
х |
|
1 |
, |
|||||||||
66. |
F(х) = |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
при |
х |
|
1 |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 при |
х |
1, |
|
|
|||||
67. |
F(х) = |
|
1 |
(х |
1)2 |
|
|
при 1 |
х |
4, |
|
||||
25 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
при |
х |
4; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
при х |
0, |
|
||
68. |
F(х) |
= |
|
1 |
х2 |
6 |
х |
при |
0 |
х |
1, |
||||
7 |
7 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
при |
х |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
при х |
0, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
69. |
F(х) = |
|
1 |
х2 |
|
4 |
х |
при 0 х |
1, |
||||||
5 |
5 |
|
при х |
1; |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
при |
х |
|
0, |
|
||
70. |
F(х) = |
|
|
|
х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
при 0 |
х |
9, |
||||||||
|
|
|
81 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
при |
х |
|
9; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
при |
х |
0, |
|
71. |
F(х) = |
1 |
х |
2 |
|
|
1 |
х |
при 0 |
х 2, |
|||||
8 |
|
|
|
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
при |
х |
2; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
при |
х |
|
1, |
|
||
72. |
F(х) = |
|
|
х |
|
1 |
|
при 1 |
х |
|
3, |
||||
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
при х |
3; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
при х |
0, |
|
|||||
73. |
F(х) = |
|
|
х3 |
|
при 0 |
х |
1, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
при |
х |
|
1; |
|
|||
0 при х 0,
х2
74.F(х) = 16 при 0 х 4,
1 при х 4;
|
|
|
|
39 |
|
|
|
0 |
при |
х |
0, |
75. |
F(х) = |
x 2 |
при 0 |
х |
2, |
4 |
|||||
|
|
1 |
при |
х |
2; |
76. F(х) =
77. |
F(х) = |
|
|
|
|
|
0 при х |
0, |
|
|||
|
1 |
|
х |
2 |
|
2 |
x при 0 |
х |
1, |
|
3 |
|
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 при х |
1; |
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
при х |
2, |
|
||
1 |
|
(х |
2)2 при |
2 х |
5, |
|||||
49 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
при х |
5; |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
при |
х |
1, |
|
|
||||
78. |
F(х) = |
1 |
|
х |
1 |
при 1 |
х |
3, |
|
||||||
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
при |
х |
3; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
при х |
|
1, |
|
||||||
79. |
F(х) = |
|
1 |
(х |
1)2 при |
1 |
х |
2, |
|||||||
9 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
при х |
2; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
при х |
0, |
||
80. |
F(х) = |
|
|
|
|
1 |
х 2 |
|
3 |
х |
при 0 |
х 1, |
|||
|
|
|
4 |
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
при |
х |
1; |
|
81-100.
По данным Центрального банка России случайная величина Х - недельная потребность в купюрах достоинства 100 рублей подчиняется закону нормального распределения со средним значением а и средним квадратическим отклонением σ. Требуется: а)записать функцию плотности вероятности и построить ее график; б) найти вероятность того, что случайная величина Х примет значения, принадлежащие интервалу ( , ); в) найти
вероятность того, что абсолютная величина |
Х-а окажется меньше . |
||||
81. |
а=1320, |
σ =254, |
=1010, |
=1780, |
=54. |
82. |
а=1230, |
σ =210, |
=1070, |
=1350, |
=52; |
83. |
а=1190, |
σ =285, |
=1010, |
=1810, |
=75; |
|
|
|
40 |
|
|
84. |
а=1110, |
σ =215, |
=1155, |
=1600, |
=45; |
85. |
а=1350, |
σ =209, |
=1100, |
=1545, |
=58; |
86. |
а=1200, |
σ =250, |
=1000, |
=1500, |
=5; |
87. |
а=1000, |
σ =230, |
=950, |
=1300, |
=57; |
88. а=1320, |
σ =250, |
=1260, |
=1700, |
=65; |
|
89. а=1265, |
σ =212, |
=980, |
=1480, |
=38; |
|
90. а=1250, |
σ =200, |
=1100, |
=1400, |
=50; |
|
91. а=1170, |
σ =210, |
=1020, |
=1660, |
=48; |
|
92. а=1220, |
σ =245, |
=1030, |
=1800, |
=30; |
|
93. а=1150, |
σ =210, |
=1050, |
=1500, |
=55; |
|
94. а=1160, |
σ =240, |
=1020, |
=1420, |
=60; |
|
95. а=1170, |
σ =215, |
=900, |
=1450, |
=34; |
|
96. а=1120, |
σ =230, |
=1010, |
=1550, |
=70; |
|
97. а=1200, |
σ =280, |
=1000, |
=1750, |
=54; |
|
98. а=1410, |
σ =280, |
=1250, |
=1650, |
=75; |
|
99. а=1210, |
σ =205, |
=950, |
=1300, |
=45; |
|
100. а=1350, |
σ =265, |
=1190, |
=1560, |
=50; |
|