Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Хабаровская государственная академия экономики и права»

Кафедра математики и математических методов в экономике

Математика

Экономико-математические методы

Методические указания и контрольные задания для студентов 2, 3, 4-го курсов заочной формы обучения

всех специальностей

Хабаровск 2007

2

ББК В 1 Х 12

Математика. Экономико-математические методы : метод. указания и контрольные задания для студентов 2, 3, 4-го курсов заочной формы обучения всех специальностей / сост. П. Я. Бушин, В. Н.Захарова. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2007. – 24 с.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики ТОГУ В. М. Манаков.

Утверждено издательско-библиотечным советом академии в качестве методических указаний для студентов

Бушин Павел Яковлевич

Захарова Валентина Никитична

Математика. Экономико-математические методы Методические указания и контрольные задания

для студентов 2, 3, 4-го курсов заочной формы обучения всех специальностей

Редактор Г.С. Одинцова

___________________________________________________________

680042, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 134, ХГАЭП, РИЦ

© Хабаровская государственная академия экономики и права, 2007

3

Содержание

Предисловие…………………………………………………………………….4

Основные вопросы курса…………………………………………………........4

1.Симплексный метод в линейном программировании…………..5

2.Двойственность в линейном программировании………………12

3.Транспортная задача……………………………………………..14

4.Сетевое планирование и управление. Расчёт

основных показателей……………………………………………18

Библиографический список…………………………………………………..24

4

Предисловие

Данные указания содержат основные вопросы курса, методические указания и контрольные задания для выполнения работ по курсу «Экономико-математические методы».

В методических указаниях приведены необходимые сведения из отдельных разделов курса. Решены типовые задачи.

Методические указания составлены для студентов-заочников. Перед тем как приступить к решению контрольной работы, необходимо разобрать теоретические вопросы по соответствующему разделу и решения типовых задач.

Основные вопросы курса

1.Система m линейных уравнений с n неизвестными; базисные и свободные неизвестные; понятие базисного решения. Система с базисом. Метод Жордана – Гаусса . Каноническая система. Опорное решение. Метод однократного замещения в канонической системе.

2.Примеры экономико-математических моделей (задачи: использование сырья, о диете, транспортная). Задача линейного программирования (стандартная, основная, общая). Преобразование системы ограничений.

3.Общая теория линейного программирования. Понятие о выпуклых множествах. Множество допустимых решений систем линейных уравнений и неравенств. Экстремум целевой функции.

4.Каноническая задача линейного программирования. Симплексные таблицы. Симплексный метод. Альтернативный оптимум. Графический метод.

5.Двойственность в линейном программировании. Двойственная задача к стандартной и основной. Основная теорема двойственности. Теорема равновесия. Экономическая интерпретация двойственных переменных.

6.Транспортная задача. Разрешимость транспортной задачи. Методы построения исходного допустимого плана. Метод потенциалов.

7.Понятие о нелинейном программировании. Понятие о целочисленном программировании. Простейшие задачи динамического программирования.

8.Сетевое планирование и управление. Сетевые графики, основные показатели. Метод критического пути.

5

Методические указания к отдельным темам программы

1. Симплексный метод в линейном программировании

Рассмотрим математическую модель стандартной задачи линейного программирования (система ограничений содержит знаки неравенств).

Предположим, что все свободные члены bi системы неотрицательны. Приведём систему к основной, добавив в левые части неотрицательные балансовые переменные Xn+1, …,Xn+m.

Система ограничений в задаче (2) является канонической, т.к. она является системой с базисом и все её свободные члены неотрицательны. Такой системе соответствует опорное решение (базисное неотрицательное) x0 =(0, 0, …,0, b1, b2, …, bm), в котором все свободные неизвестные x1, x2,

…, xn равны нулю, а базисные xn+1, xn+2,…, xn+m равны соответствующим

Этой таблице соответствует опорное решение Х0=(0, 0, …,0, b1, b2, …, bm) и соответствующее ему значение целевой функции Z0=0.

Последняя строка таблицы называется оценочной и заполняется по формуле оценок

(Оценка при неизвестной xк равна сумме произведений элементов первого столбца на соответствующие элементы столбца xk минус Сk, стоящее над столбцом).

Условием оптимальности неотрицательность оценок

каноническая задача линейного программирования, у которой система ограничений каноническая, а целевая функция Z выражена через свободные неизвестные.

Алгоритм симплексного метода

1.Приводим систему ограничений задачи к канонической и записываем в симплексную таблицу Элементы оценочной строки вычисляются по формуле оценок (3).

2.Если среди оценок симплексной таблицы при решении на максимум нет отрицательных оценок, то соответствующее опорное решение является оптимальным.

3.Если в оценочной строке содержится отрицательная оценка, а в столбце над ней нет положительных элементов, то целевая функция не ограничена сверху на множестве допустимых (неотрицательных) решений. Задача не имеет оптимального решения.

4.Если в каждом столбце с отрицательной оценкой имеется хотя бы один положительный элемент, то переходим к ''лучшему'' опорному решению. Для этого:

а) выбираем разрешающий столбец по наименьшей отрицательной оценке;

б) выбираем разрешающую строку. Для этого вычисляем Ө как отношение свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца. Выделяем разрешающий элемент, соответствующий наименьшему Ө;

в) элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент, записываем единичные столбцы, соответствующие базисным неизвестным;

г)элементы остальных строк вычисляем по формуле прямоугольников

7

д) элементы оценочной строки также вычисляются по формуле «прямоугольников» и для контроля вычислений по формуле оценок.

Процесс вычислений продолжается до тех пор, пока не возникнут ситуации пунктов 1 или 2.

Решим пример, используя алгоритм.

Пример. На предприятии имеется три вида сырья и можно производить два вида продукции. Данные о расходе сырья на производство единицы продукции, запасов сырья и прибыли от реализации единицы продукции предоставлены в таблице

Найти оптимальный план выпуска продукции, при котором предприятие получит наибольшую прибыль.

Решить задачу симплексным методом и графически.

Решение. Составим математическую модель. Обозначим через х1 и х2 выпуск продукции А и В соответственно. Затраты материала первого сорта на план х (х1, х2) составят 3х1 + 4х2, и они не должны превосходить запасов, т.е. 45 кг:

3х1 + 4х2 45.

Аналогичны ограничения по материалу второго сорта:

5х1 + 2х2 35

и по материалу третьего сорта

2х1 + 3х2 30.

Прибыль от реализации х1 единиц А и х2 – В составит z = 7x1 + 5x2 – целевая функция задачи.

Получили модель задачи:

Вводом балансовых переменных х3, х4, х5 приводим модель к каноническому виду

8

Первые три строки этой таблицы содержат в условной форме систему уравнений (ограничений) в канонической задаче, а именно: в столбцах ''ai0'' записываются в свободные члены уравнений, в столбцах ''х1'', ''х2'',..., ''х5'' – коэффициенты при соответствующих неизвестных этой системы.

Слева от столбца ''ai0'' в столбце ''xj'' выписываются базисные неизвестные, содержащиеся в соответствующих уравнениях системы.

Верхняя строка и крайний левый столбец содержат коэффициенты при соответствующих неизвестных в целевой функции z.

Последняя строка называется оценочной, а элементы строки – оценками. Первый элемент а00 оценочной строки представляет собой значение целевой функции z на начальном опорном плане:

х0 = (0, 0, 45, 31, 30).

Это значение может быть получено как результат скалярного умножения вектора-столбца ''сj'' на вектор-столбец свободных членов ''аi0'':

а00 = 0 45 0 31 0 30 0.

Оценки при неизвестных вычисляются по правилу: оценка при хj равна сумме произведений элементов первого столбца на соответствующие элементы столбца xj минус коэффициент сj, записанный над столбцом хj. Так оценка при х1 равна

9

Исходное опорное решение

x1 = (0, 0, 45, 31, 30)

z1 = 0

В оценочной строке две отрицательные оценки: –7, –5. Выбираем в качестве разрешающего столбец, соответствующий х1, т.к. оценка этого столбца (–7) наименьшая отрицательная оценка. Разрешающая строка выбирается по

этот минимум достигается для 2-й строки. Итак, в базис вводим х1, выводим из базиса х4. В результате первого шага получаем второе опорное решение

z2 = 2175 .

После выполнения 2-го шага получаем оптимальное решение:

хопт = (3, 8, 4, 0, 0); zmax = 61

Дальнейшее увеличение z невозможно, т.к. все оценки стали неотрицательными.

Оптимальное решение исходной задачи получается отбрасыванием из Х опт компонент, связанных с балансовыми переменными х3, х4, х5, т.е.

х*опт = (3,8).

При этом значение zmax не изменится.

Теперь дадим геометрическую интерпретацию задачи. Рассмотрим систему неравенств, определяющих множество допустимых планов:

10

Прямая 3х1 + 4х2 = 45 плоскость ХОУ разделила на две части. Чтобы определить полуплоскость, точки которой удовлетворяют неравенству 3х1 + 4х2 < 45, следует ''испытать'' одну точку. Проще подставить 0 (0,0).

Получим верное неравенство: 0<45. Следовательно, полуплоскость включает точку 0 (0,0). Этот факт отмечается стрелочками.

Определяем положение полуплоскостей, отвечающих каждому неравенству и находим пересечение этих полуплоскостей. Два последних условия в системе ограничений означают, что допустимые планы принадлежат неотрицательному квадрату. Тем самым областью решения системы является четырехугольник ОАВС (рис. 1).

N

Рис. 1. Иллюстрация графического метода Линии уровня целевой функции z задаются уравнением

7х1 + 5х2 = const.

Легко видеть, что они образуют семейство параллельных прямых. Вектор N = (7, 5) называется целевым, он перпендикулярен линиям уровня. Этот вектор указывает направление, двигаясь в котором, мы переходим от меньших значений z к большим, т.е. он указывает направление возрастания функции z. Вершина многоугольника, через которую проходит последняя линия уровня, даст наибольшее значение целевой функции. На рисунке видно, что максимальное значение будет достигнуто в вершине В. Найдем координаты точки В. Эта точка лежит на пересечении прямых