3967

11

Задачи для контрольной работы №1

Предположим, что для производства двух видов продукции А и В можно использовать сырьё трёх видов. При этом на изготовление единицы изделия А расходуется а1 ед. сырья первого вида, а2 – ед. 2-го и а3 – 3-го вида. На изготовление единицы изделия В расходуется b1 ед. сырья 1-го вида, b2 – ед. 2-го вида, b3 – ед. 3-го вида сырья. На складе фабрики имеется сырья 1-го вида с1 ед., 2-го – с2, 3-го – с3 ед. От реализации единицы готовой продукции фабрика имеет прибыль α тыс. руб., а от продукции В прибыль составляет β тыс. руб.

Составить математическую модель исходной задачи. Найти решение симплексным методом и графически.

1.a1=4, a2=2, a3=3; b1=2, b2=5, b3=4; c1=35, c2=43, c3=40; α=5, β=9.

2.a1=2, a2=3, a3=4; b1=3, b2=5, b3=4; c1=30, c2=44, c3=48; α=7, β=9.

3.a1=3, a2=5, a3=2; b1=2, b2=3, b3=4; c1=35, c2=49, c3=42; α=1, β=1.

4.a1=4, a2=2, a3=3; b1=3, b2=5, b3=2; c1=45, c2=45, c3=29; α=5, β=9.

5.a1=4, a2=2, a3=3; b1=3, b2=2, b3=2; c1=55, c2=30, c3=37; α=5, β=4.

6.a1=5, a2=4, a3=3; b1=2, b2=2, b3=3; c1=55, c2=40, c3=42; α=7, β=5.

7.a1=2, a2=4, a3=4; b1=3, b2=2, b3=5; c1=35, c2=38, c3=59; α=8, β=7.

8.a1=2, a2=4, a3=3; b1=3, b2=2, b3=5; c1=35, c2=42, c3=49; α=3, β=3.

9.a1=2, a2=3, a3=4; b1=3, b2=5, b3=2; c1=35, c2=49, c3=42; α=2, β=2.

10.a1=4, a2=2, a3=3; b1=2, b2=5, b3=4; c1=35, c2=43, c3=40; α=5, β=9.

12

2. Двойственность в линейном программировании

Каждой задаче линейного программирования можно поставить в соответствие другую задачу линейного программирования, называемую

Каждому ограничению ставится в соответствие переменная двойственной задачи. Двойственная задача имеет вид

Задачи (5) – (6) обладают следующими свойствами:

1.В одной задаче целевая функция стремится к максимуму, в другой – к минимуму.

2.Число неизвестных одной задачи равно числу ограничений другой задачи.

3.В каждой задаче система ограничений задётся в виде неравенств, причём все они одного смысла, а именно: при нахождении максимума целевой

функции эти неравенства имеют вид , а при нахождении минимума – вид .

4. Свободные члены ограничений исходной задачи являются коэффициентами целевой функции двойственной задачи, а коэффициенты целевой функции исходной задачи – свободные члены ограничений двойственной задачи.

5. Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений (5) – (6) транспонированы относительно друг друга.

Задачи линейного программирования, удовлетворяющие перечисленным условиям, называются симметричными взаимно двойственными задачами.

Пример. Составить к данной задаче двойственную

Z = 5x1 + 2x2 max

yi 0 (i=1, 2, 3)

Решим исходную задачу симплексным методом

Между переменными задач (5)-(6) существует взаимно-однозначное

Если одну из задач решаем симплексным методом, то компоненты оптимального решения двойственной задачи равны соответствующим оценкам в последней таблице плюс cj, стоящее над столбцом.

1. Потенциалы строк – Ui и столбцов – Vj удовлетворяют следующему условию: Ui + Vj = Cij для базисных переменных (для занятых клеток). Так как система для определения потенциалов содержит на одно уравнение меньше, чем число потенциалов, то, чтобы найти решение системы потенциалов, один потенциал задаём произвольно, например, U1=0.

Остальные потенциалы найдем, решая систему уравнений

U3 V4 3,

U 4 V3 5,

U 4 V4 3.

16

2. Определяем характеристики для свободных неизвестных (пустых клеток) по формуле Eij = Cij – (Ui + Vj) и записываем их в левом нижнем углу свободных клеток. План будет оптимален, если для всех свободных

Так как E33 отрицательна, то план не является оптимальным.

3. Выбираем клетку (3.3) с отрицательной характеристикой и строим для нее контур (цикл). Контур удовлетворяет следующим условиям: а) для каждой клетки можно построить один, и только один контур; б) все вершины контура находятся в заполненной клетке, за исключением клетки, для которой контур строится; в) число вершин – чётное.

Для клетки А3В3 построим контур

А33 А34 А44 А43.

Вершинам присваиваем чередующиеся знаки плюс-минус, начиная с клетки, для которой контур строится. Выбираем наименьшую поставку, в вершинах, отмеченных знаком минус – это количество груза необходимо распределить по контуру

min 50,75 50.

Количество груза в ''положительных'' вершинах увеличивается на 50, а в ''отрицательных'' уменьшается на 50. При этом одна и только одна вершина в контуре становится свободной, а клетка, для которой контур строится, заполняется.

17

Задачи для контрольных заданий №3

18

4. Сетевое планирование и управление. Расчёт основных показателей сетевого графика

Сети или сетевые модели имеют широкое практическое применение. Из всего разнообразия методов и моделей рассмотрим здесь лишь метод критического пути (МКП). Сеть в этом случае – это графическое отображение комплекса работ. Основными элементами сети здесь являются события и работы.

Событие – это момент завершения процесса, отображающий отдельный этап выполнения проекта. Комплекс работ начинается с исходного и заканчивается завершающим событием.

Работа – это протяжённый во времени процесс, необходимый для свершения события и, как правило, требующий затрат ресурсов.

События на сетевом графике обычно изображаются кружками, а работы – дугами, соединяющими события. Событие может свершиться только тогда, когда закончатся все работы, ему предшествующие.

В сетевом графике не должно быть "тупиковых" событий, за исключением завершающего, не должно быть событий, которым не предшествует хотя бы одна работа (кроме исходного), не должно быть замкнутых контуров и петель, а также параллельных работ.

Рассмотрение основных понятий и положений МКП будем вести на основе следующего примера. Пусть задана следующая последовательность работ с их временными характеристиками:

19

Построим сетевой график так, чтобы все дуги работы были направлены слева направо (рис.2). Над дугами проставлены длительности работ.

Рис. 2. Сетевой график примера Критический путь представляет собой путь от начальной до конечной

работы, имеющий наибольшую длительность. Любое замедление в выполнении работ критического пути неизбежно приведёт к срыву выполнения всего комплекса работ, поэтому критическому пути и уделяется столько внимания.

Рассмотрим основные понятия, связанные с критическим путём.

Ранний срок наступления события (ЕТ). Он определяется для каждого события при движении по сети слева направо от начального к конечному событию. Для начального события ЕТ = 0. Для других определяется по формуле, где ЕТ1 – ранний срок наступления события i,

предшествующего событию j; tij – продолжительность работы (ij).

Поздний срок наступления события (LТ) – это наиболее поздний срок, в который может наступить событие без задержки выполнения всего комплекса работ. Определяется он при движении по сети справа налево от конечного события к начальному по формуле

Для критического пути ранние и поздние сроки наступления событий совпадают. Для конечного события эта величина равна длине критического пути. Расчёт показателей сетевого графика можно производить непосредственно по вышеприведённым формулам. Сначала надо найти ранние сроки наступления событий (при движении по сети слева направо, от начала к концу), (остальное выполнить самостоятельно).