3831

11

Центр эллипса лежит в точке O/(α,β), оси параллельны осям координат.

уравнение гиперболы.

Центр гиперболы лежит в точке А(α,β), оси параллельны осям координат. Центр данной гиперболы лежит в точке А(3,-1), a =2, b =3. Построим основной прямоугольник гиперболы, откладывая от точки А отрезки a =2, b =3 в направлениях, параллельных основным осям координат. BB/=2 a =4, СС/=2 b =6. Диагонали прямоугольника будут являться асимптотами. Вершины гиперболы – точки B и B/ (рис. 3).

Y Y/

C

O X

C/

Рис.3

12

Тема 2. Векторная алгебра. Элементы линейной алгебры

2гл.8, 9, 10.

3гл. 4 № 592, 593, 616, 620.

Задача 3. Затраты трех видов сырья (А,В,С) на производство единицы каждого из трех типов продукции (I,II,III) и запасы каждого типа сырья даны в таблице:

Определить план производства, обеспечивающий использование всего сырья. Составить математическую модель задачи и решить систему матричным методом.

Решение. Пусть предприятие выпустит x1 единиц - продукции I, х2 единиц - продукции II, хз единиц -продукции III.

7x1+0∙x2+5∙хз - расход сырья А на все виды продукции. По условию задачи расход сырья А должен равняться запасу 220, т.е. 7x1+5x3=220. Аналогично, приравнивая расходы и запасы сырья В и С, получаем систему уравнений

II, III типов продукции.

Т.к определитель матрицы А не равен 0, то матрица А невырожденная и для нее существует обратная матрица A-1.

Аij называется алгебраическим дополнением к элементу aij и равно

Согласно формуле (7) Х = А-1A0

Задача 5. Расходы на автомобильном транспорте выражаются формулой у=120+30х, а на железнодорожном - у=160+20х, где х - расстояние в километрах, у - транспортные расходы на 1 км. (в усл.ден.ед.).

Построить графики функций, произвести экономический анализ, рассчитать транспортные расходы при х=200 км.

1. Построим прямые у=120+30х (I) и у=160+20х (II) (рис. 4).

У

(I)

(II)

240

160

120

Если х=4, оба вида транспорта эквивалентны по затратам.

Если х<4, автомобильные перевозки выгоднее, а при х>4 выгоднее становятся железнодорожные перевозки.

Рассчитаем транспортные расходы при х=200 км. у=120+30∙200=6120 (усл.ден.ед.) - затраты на автомобильном транспорте;

у=160+4000=4150 (усл.ден.ед.) - затраты на железнодорожном транспорте.

16

Задача 6. Зависимость уровня потребления у некоторого вида товаров от уровня дохода семьи Х выражается формулой у = 6- x1449 . Построить

график этой зависимости, произвести экономический анализ, вычислить уровень потребления при х=158.

координат.

В “новой” системе координат X/O/Y/, начало которой есть точка O/(-9;6), построим равнобочную гиперболу (12). Ее асимптотами служат оси О/X/ и O/Y/. Т.к. m = -144<0, ветви гиперболы расположены во 2 и 4 квадрантах. Вершинами гиперболы в “новой” системе координат будут точки A(- m; m) A/( m;m) .

A(- 144; 144) A(-12;12).

A/( 144;144) A/(12;-12).

Если m 0 , то ветви гиперболы будут расположены в 1 и 3 квадрантах,

а их вершинами будут точки ( m; m ) и (- m;m) в “новой” системе координат.

При построении гиперболы полезно знать точки пересечения с осями ОХ и ОУ. Найдем их: х=0, у=-10; х=15, у=0. Следовательно, искомая линия пересекает старые оси координат в точках В(0; -10), С(15; 0).

Уровень потребления обращается в 0 при некотором критическом

имеет экономического смысла, следовательно, анализировать будем ту часть графика, которая удовлетворяет условию х>15.

По графику (рис. 5) видим, что при росте дохода предельное потребление будет стремиться к значению у=6, т.е. с ростом дохода уровень потребления стабилизируется.

Найдем уровень потребления при х=158, у≈5,13.

18

7.А(2;1) В(9;-2) С(1;-6).

8.А(-3;-5) В(-4;3) C(8;7). 9.А(19;2) В(-4;10) С(1;3).

10.А(3;4) В(7;5) С(6;-4). 11.А(10;5) В(-6;6) С(5;-3). 12.А(2;6) В(-6;-2) С(8;3).

13.А(-1;4) В(-1;-5) С(-8;8).

14.А(3;0) В(1;6) С(-3;-2). 15.А(5;7) В(-5;4) С(-1;-3). 16.А(8;6) В(1;4) С(2;-3).

17.А(9;-1) В(-3;-2) С(6;4). 18.А(0;5) В(9;9) С(11;2). 19.А(-2;7) В(-9;-6) С(12;9). 20.А(-6;2) В(4;8) С(14;-3).

21-30

Расценки на проведение работ одним из трёх видов оборудования А,В,С для каждого из 3-х видов услуг: I – техническое обслуживание, II – транспортные услуги, III – капитальный ремонт, заданы векторами d1(a1,b1,c1), d2(a2,b2,c2), d3(a3,b3,c3). Полные затраты на выполнение каждого из 3-х видов услуг заданы вектором Q(g1,g2,g3).Определить расчётные объёмы работ (число часов использования оборудования каждого вида), которые смогут окупить затраты на услуги. Составить математическую модель задачи, решить задачу а) матричным методом, б) методом Крамера.

21. d1(2,6,1) d2(3,1,2) d3(4,2,5) Q(355,240,475). 22.d1(2,3,4) d2(1,7,6) d3(3,5,4) Q(312,500,400). 23.d1(3,1,9) d2(5,3,1) d3(2,4,3) Q(195,225,200). 24.d1(7,1,1) d2(2,2,6) d3(3,5,1) Q(105,150,145). 25.d1(3,3,4) d2(1,5,1) d3(9,4,1) Q(240,130,315).

26.d1(10,2,3) d2(4,1,5) d3(8,4,1) Q(470,347,404). 27.d1(4,5,1) d2(2,3,6) d3(1,1,7) Q(294,270,202). 28.d1(3,3,4) d2(8,4,1) d3(2,2,7) Q(328,352,392). 29.d1(1,2,3) d2(2,4,1) d3(3,1,5) Q(155,210,185). 30.d1(5,2,1) d2(1,1,4) d3(7,5,1) Q(210,215,355).

31-40

Затраты трех видов сырья А, В, С на производство единицы каждого из трех типов продукции заданы векторами – d1(a1b1c1), d2(a2b2c2), d3(азbз сз). Запасы каждого вида сырья заданы вектором Q(qАqВqС). Определить план производства, обеспечивающий использование всего сырья. Составить

19

математическую модель задачи, решить задачу а) матричным методом, б) методом Крамера.

31.d1(2,3,4) d2(3,5,3) d3(7,2,4) Q(530,390,440). 32.d1(1,2,3) d2(5,4,1) d3(3,2,2) Q(425,360,260). 33.d1(4,7,6) d2(2,1,l) d3(4,5,3) Q(408,314,382). 34.d1(3,2,7) d2(6,1,2) d3(2,5,4) Q(466,384,522). 35.d1(8,4,3) d2(1,5,4) d3(2,6,1) Q(510,790,320). 36.d1(3,5,4) d2(2,l,3) d3(5,3,l) Q(770,610,480).

37.d1(1,0,3) d2(2,4,5) d3(4,l,3) Q(305,340,655). 38.d1(9,1,1) d2(3,2,4) d3(6,1,2) Q(870,200,330). 39.d1(1,1,5) d2(3,5,1) d3(2,2,4) Q(295,415,335). 40.d1(1,2,1) d2(3,1,6) d3(7,1,3) Q(375,140,505).

41-60

Построить линии

41.a) y2-16y-x+17=0;

б) 5x2+y2-10x-6y+9=0; в) 4x2-y2+8x+6y+3=0.

42.a) 7y2-14y-x+2=0;

б) 6х2+8у2+12х+32у-10=0; в) х2-у2-10х+4у+20=0.

43.а) 3x2+18x-y+31=0;

б) 36х2+4у2+144-40y+100=0;

в) -9х2+4у2+54х+8у-113=0.

44.a) x2+2х-8y+17=0;

б) 25x2+4y2-200x-16y+216=0;

в) х2 у2 2х 2=0.

45.а) у2-2у-4x+13=0;

б) 9х2+16у2+90х-64у+145=0;

в) y2-2x2-20х+2y-53=0.

46.а) у2+4у+5-x=0;

б) х2+у2-8х+2у+12=0; в) х2-у2-6х+10=0.

47.а) у2+6у-4х+17=0; б) 9х2+25у2-54х-200у+256=0;

в) 9x2-4y2+18x-16y+29=0.

20

48. а) у2-2у-4х+13=0; б) 9х2+16у2+90х-64у+145=0;

в) 4x2-9y2-16х-54у-101=0.

49.a) y2-y-x+2=0;

б) 4х2+3у2-8Х+12у-32=0;

в) 9х2-16у2+90х+32y-367=0.

50.а) х2+y-4у+3=0;

б) 16x2+25y2+32x-100y-284=0; в) 16x2-9y2-64x-18y+199=0.

51.а) 2х2-y+5-8x=0;

б) 5x2+9y2-30x+18y+9=0; в) 16х2-9у2-64х-54у-161=0.

52.а) x2-2x-3y-2=0;

б) 4х2+8x+y2-6y+9=0; в) 36x2-y2-72x-6y-9=0.

53.а) у2+4у-3х+1=0; б) 9х2+4у2+54х-8у+49=0;

в) -х2+36у2-8х+72у-16=0.

54.а) x2+4x+4y=0;

б) х2+9у2-12х-54у+108=0;

в) х2-у2+8х-14у-34=0.

55.а) x2-12x+8y-12=0;

б) 64х2+у2+128х+16у+64=0;

в) 4х2-16у2-72х-64y+196=0.

56.а) y2+6y-7x+16=0;

б) 16х2+4у2+96х+40у+180=0;

в) -х2+100у2+1000y+2400=0.

57. а) х2+14х+3у+70=0;

б) х2+36y2+4x-72у+4=0; в) x2-4y2-6x-72y-319=0.

58. а) y2+10y+x+24=0;

б) 9х2-72x+y2+6у+144=0; в) -х2+4у2+24х+40у-48=0.

59. а) x2-2x-4y-11=0;