3602

3

Программа дисциплины по разделу «Линейная алгебра»

1. Матрицы и операции над ними

Матрица и её размерность. Виды матриц, транспонирование матриц. Равные матрицы. Операции над матрицами и их свойства. Применение матриц в экономике. Линейное преобразование координат. Матрица линейного преобразования.

2. Определители

Определители первого, второго и третьего порядков. Миноры и алгебраические дополнения элементов матриц. Определители любого порядка. Свойства определителей. Алгоритм Гаусса вычисления определителей.

3.Системы линейных алгебраических уравнений и их исследование методами исключения неизвестных

Понятие о системе линейных уравнений и её решениях. Матрица и расширенная матрица системы. Матричная запись системы. Однородные и неоднородные системы, приведённая однородная система. Совместные и несовместные, определённые и неопределённые системы. Эквивалентные системы. Элементарные преобразования систем. Теорема о равносильности систем при элементарных преобразованиях. Исследование систем методами Гаусса и Жордана-Гаусса. Базисные и свободные неизвестные. Общее и частные решения системы. Применение систем алгебраических уравнений в экономике.

4.Методы решения систем n линейных уравнений с n неизвестными

Методы Крамера, Гаусса и Жордана-Гаусса. Обратная матрица и её нахождение. Матричный метод решения систем.

5.Арифметическое n-мерное векторное пространство

Понятие n-мерного арифметического вектора. Нулевой вектор, противоположный вектор, равные векторы. Операции над векторами и их свойства. Экономический смысл вектора и операций над векторами. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Линейные комбинации векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Свойства систем векторов, связанные с понятием линейной зависимости. Базис и ранг системы векторов. Размерность и базис векторного пространства. Стандартный базис. Разложение векторов по базисам и его единственность. Скалярное произведение векторов и его экономический смысл. Длина вектора и расстояние между векторами. Угол между векторами. Ортогональные и ортонормированные базисы.

4

6. Ранг матрицы и исследование систем линейных уравнений

Миноры матрицы, ранг матрицы по минорам. Ранг матрицы по строкам и столбцам. Элементарные преобразования матриц. Эквивалентные матрицы. Теоремы о ранге матрицы. Способы вычисления ранга матрицы. Базисный минор, теорема о базисном миноре. Критерий совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли). Критерий определённости системы. Исследование систем линейных уравнений (однородной и неоднородной). Базисные и свободные неизвестные. Общее и частные решения системы. Фундаментальная система решений однородной системы уравнений. Структура общего решения системы (однородной и неоднородной).

7. Системы с базисом и канонические системы

Базисные и опорные решения системы линейных алгебраических уравнений. Системы с базисом. Приведение системы к системе с базисом методом Жордана-Гаусса. Методы нахождения базисных решений. Канонические системы уравнений. Теорема о возможности перехода от данной канонической системы к эквивалентной канонической системе. Преобразование однократного замещения. Алгоритм преобразования однократного замещения.

8. Векторы и линейные операции над ними

Скалярные и векторные величины. Вектор как геометрический объект. Коллинеарные и компланарные векторы. Нулевой вектор, противоположные векторы, равные векторы. Сложение и вычитание векторов, свойства операции сложения. Умножение вектора на число и свойства этой операции. Свойства операций сложения векторов и умножения на число.

9. Проекции векторов на ось

Величина вектора на оси и её свойства. Проекция вектора на ось и её вычисление. Свойства проекций.

10. Декартовы системы координат. Координаты точек и векторов

Координатная прямая. Координаты точек и векторов на прямой. Одномерное векторное пространство. Декартова прямоугольная система координат на плоскости. Координаты точек и векторов на плоскости. Двумерное векторное пространство. Декартова прямоугольная система координат в пространстве. Координаты точек и векторов в пространстве. Трёхмерное векторное пространство.

5

11. Базисы и разложение векторов по базисам

Базисы на координатной прямой. Разложение вектора по базису на координатной прямой. Базисы на координатной плоскости. Разложение векторов по базисам на плоскости. Базисы в трёхмерном пространстве. Разложение векторов по базисам в трёхмерном пространстве.

12.Операции над векторами в координатной форме и некоторые геометрические задачи

Сложение векторов в координатной форме. Умножение вектора, заданного в координатной форме, на число. Условия коллинеарности векторов. Деление отрезка в данном отношении. Нахождение координат середины отрезка.

13.Скалярное произведение векторов

Определение скалярного произведения векторов. Свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Расстояние между точками. Нахождение угла между векторами.

14. Прямая линия и плоскость

Общие понятия о кривых, поверхностях и их уравнениях. Алгебраическое уравнение первой степени с двумя и тремя переменными. Прямая линия на плоскости. Взаимное расположение прямых линий на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости. Геометрическая интерпретация решений линейных уравнений и неравенств.

15. Кривые второго порядка на плоскости

Алгебраическое уравнение второй степени с двумя переменными. Окружность, эллипс, гипербола и парабола; их канонические уравнения.

16.Преобразования координат и их применение к исследованию кривых второго порядка

Общие понятия о линейных преобразованиях. Преобразование декартовых координат при параллельном переносе осей. Преобразование прямоугольных декартовых координат на плоскости при повороте осей. Исследование квадратичной функции. Исследование дробно-линейной функции.

17.Комплексные числа

Мнимая единица, мнимые числа, комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами. Сопряжённое число к комплексному числу. Свойства сопряжённых чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Комплексная плос-

6

кость. Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел.

18. Многочлены и их корни

Понятие функции комплексной переменной. Многочлен в комплексной плоскости. Корень многочлена. Простой корень многочлена, кратность корня. Основная теорема алгебры. Каноническое разложение многочлена на множители. Многочлены с действительными коэффициентами и их корни.

19.Линейные преобразования переменных. Собственные векторы и собственные значения

Линейное преобразование переменных и его матрица. Произведение линейных преобразований. Обратное преобразование для линейного преобразования с квадратной матрицей. Теорема о существовании и единственности обратного линейного преобразования. Явная формула обратного линейного преобразования. Собственные векторы и собственные значения матрицы (линейного преобразования). Характеристический многочлен

ихарактеристическое уравнение. Характеристические корни и спектр матрицы.

20.Квадратичные формы

Квадратичная форма и её ранг. Канонический и нормальный виды квадратичных форм. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду. Положительно определённые квадратичные формы, критерий Сильвестра. Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго порядка.

21. Линейные пространства и линейные операторы

Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств. Линейная зависимость элементов. Базисы и размерность пространства. Евклидово пространство. Длины, углы, расстояния.

Понятие оператора. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

22. Линейные задачи оптимизации

Задача об оптимальном использовании ресурсов. Задача о диете. Транспортная задача. Основные определения линейного программирования. Основная, стандартные и смешанные задачи линейного программирования.

7

23. Графический метод решения задач линейного программирования

Ограниченные и неограниченные множества в n-мерном пространстве. Выпуклые множества и их свойства. Граничные и внутренние точки множества. Замкнутые множества. Крайние точки выпуклого множества. Многоугольники и многогранники. Теоремы о связи между опорными решениями и крайними точками. Теоремы об оптимальных решениях задач линейного программирования. Алгоритм графического метода.

24. Симплексный метод решения задач линейного программирования

Симплексная таблица. Основные теоремы симплексного метода. Алгоритм симплекс-метода.

25. Теория двойственности

Экономические задачи, приводящие к двойственным. Двойственная задача к стандартной. Двойственная задача к основной. Основные теоремы двойственности. Экономический смысл двойственных переменных.

26. Дискретное программирование

Экономические задачи, приводящие к понятию оптимального целочисленного решения. Формулировка задачи целочисленного программирования. Метод Гомори. Алгоритм метода Гомори.

27. Нелинейное программирование

Постановка задач нелинейного программирования. Решение задач графическим методом. Метод множителей Лагранжа. Теорема КунаТаккера.

28. Динамическое программирование

Основные понятия и постановка задачи динамического программирования. Геометрическая интерпретация. Поэтапное построение оптимального управления. Принцип оптимальности Беллмана. Задача о минимизации расхода горючего самолётом при наборе высоты и скорости. Задача определения кратчайших расстояний по заданной сети.

Рекомендуемая литература

1.Высшая математика для экономистов : учеб. пособие / под ред. Н. Ш. Кремера. – М. : Банки и биржи, 1997.

2.Дойхен Л. А. Математическое программирование : учеб. пособие. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2002.

8

3.Исследование операций в экономике : учеб. пособие для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман / под ред. проф. Н. Ш. Кремера. – М. : Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

4.Карасёв А. И., Аксютина З. М., Савельева Т. К. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1, 2. – М. : Высшая школа, 1982.

5.Кузнецов Ю. Н., Кузубов В. И., Волощенко А. Б. Математическое программирование : учеб. пособие. – М. : Высшая школа, 1980.

6.Тиунчик М. Ф. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Ч. 1 : учеб. пособие. – Хабаровск : ХГАЭП, 1996.

7.Тиунчик М. Ф. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Ч. 2 : учеб. пособие. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 1997.

8.Тиунчик М. Ф. Руководство к решению задач по линейной алгебре и аналитической геометрии. Ч. 1 : учеб. пособие. – Хабаровск, 2001.

9.Тиунчик М. Ф. Руководство к решению задач по линейной алгебре и аналитической геометрии. Ч. 2 : учеб. пособие. – Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2004.

Контрольные задания, правила выполнения и оформления контрольной работы

Вариант для контрольного задания студент выбирает в соответствии с двумя последними цифрами своего шифра по следующему правилу: вторая цифра номера варианта должна совпадать с последней цифрой шифра. Далее, если предпоследняя цифра шифра чётная, то первая цифра номера варианта должна быть равна 0 или 2; если же предпоследняя цифра нечётная, то первая цифра номера варианта должна быть 1. Например, при учебном номере (шифре) 955027 студент решает 07 вариант, при шифре 953054 – вариант 14 и т.д.

9

При выполнении контрольной работы надо придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без этих правил, не зачитываются

ивозвращаются студентам для переработки.

1.Контрольные работы выполнять в тетради пастой или чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.

2.На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, шифр, название дисциплины и номер контрольной работы; здесь же следует указать дату отсылки работы в институт и почтовый адрес студента.

3.В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по своему варианту. Контрольные работы, содержащие не все задания, а также содержащие задачи не своего варианта, не зачитываются.

4.Решение задач надо располагать в порядке, указанном в заданиях, сохраняя номера задач.

5.Перед решением каждой задачи надо выписать полностью её условие. Если несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными из соответствующего номера.

6.После получения прорецензированной работы (как зачтённой, так и незачтённой) студент должен исправить в ней все отмеченные ре-

10

цензентом ошибки и недочёты. В связи с этим следует оставлять в конце тетради чистые листы для работы над ошибками. Вносить изменения в сам текст работы после её рецензирования запрещается.

7.Выполнив работу над ошибками, необходимо выслать работу в наиболее короткий срок.

8.В конце работы следует указать литературу, которую изучал студент, выполняя данную работу.

9.Студент должен подписать работу и поставить дату.

10.Зачтённые контрольные работы вместе с рецензиями обязательно предъявляются на зачёте и экзамене.

11.Перед сдачей зачёта и экзамена студент обязан защитить контрольную работу.

Задачи для выполнения контрольной работы №1

В задачах 1 – 20 заданы вершины треугольника АВС. Требуется найти:

1)длину стороны АВ;

2)уравнение высоты, опущенной из вершины А, и её длину;

3)уравнение медианы, проходящей через вершину А;

4)уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно стороне ВС.

Сделать чертёж.

1 – 20

1.А (– 1, 5); В (4, 10); С (5, 6).

2.А (5, 5); В (–1, 2); С (2, 6).

3.А (0, 1); В (6, 4); С (2, 5).

4.А (7, 3); В (4, 6); С (1, 0).

5.А (1, 5); В (13, 0); С (19, 8).

6.А (7, 1); В (– 5, – 4); С (– 9, – 1).

7.А (0, 5); В (12, 0); С (18, 8).

8.А (8, 0); В (– 4, – 5); С (– 8, – 2).

9.А (2, – 1); В (2, 2); С (– 2, – 1).

10.А (1, 1); В (7, 4); С (4, 5).

11.А (1, 2); В (4, 3); С (0, 5).

12.А (– 1, –1); В (5, 2); С (2, 3).

13.А (1, – 2); В (5, 1); С (2, 2).

14.А (7, 2); В (4, 5); С (1, – 1).

15.А (– 4, 5); В (– 1; 1); С (– 7, 4).

16.А (1, 1); В (– 5, 4); С (– 2, 5).

17.А (– 2, 1); В (3, 5); С (5, 2).

18.А (– 3, 3); В (2, 8); С (6, 4).