Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5566.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

1.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

ГЛАВА 5 ПЛОСКОСТЬ

[4, гл. 3, § 16–19];

[5, гл. 8, § 46–48]; [6, гл. 3, § 8–10];

[7, гл. 3, подразделы 3.1–3.2]

§ 1. Общие положения

Плоскость – это двумерный геометрический образ, имеющий длину и ширину. Плоскость считается бесконечной, не имеющей толщины и непрозрачной. Плоскость является одним из наиболее часто встречающихся видов поверхности, которая содержит полностью каждую прямую, соединяющую любые две ее точки. Различные положения плоскостей представлены схемой (рис. 5.1).

Плоскость

Плоскость общего положения

Проецирующая

плоскоть

Плоскость частного положения

Плоскость

уровня

Горизонтально	Фронтально	Профильно	Горизон-	Фрон-	Про-
проецирующая	проецирующая	проецирующая	тальная	тальная	фильная

Рис. 5.1

§ 2. Способы задания плоскости

Плоскость на чертеже может быть задана следующими способами

(табл. 5.1).

Таблица 5.1

Способ задания	Наглядное изображение Комплексный чертеж
а) тремя точками, не ле-				A2
жащими на одной прямой	A		B	A2	B2	C2
	A		B	x
				x
		C			B1	C1
				A1	B1
б) прямой и точкой вне						C2
данной прямой				A2	B2	C2
	A		B	x
				x
		C		A1		C1
						C1
					B1
в) двумя параллельными						b2
прямыми				a2		b2
				a2
	a			x
				x
		b
				a1		b1
г) любой плоской
фигурой					B2
			B	A2		C2
			B	x


	A			C		C1
	A			A1		C1
				A1
					B1
д) двумя пересекаю-					K2	a
щимися прямыми					K2	a
щимися прямыми						2
	a	K				b2
	a			x


		b		b1
				b1
				a1	K1

			69
					Окончание табл. 5.1
е) следами:
Р1=Р	1,
Р2=Р	2
§ 3. Положение плоскости относительно плоскостей проекций
Плоскости в пространстве могут занимать общее (табл. 5.2) и частное
положение (табл. 5.3 и табл. 5.4).
					Таблица 5.2
		Плоскость общего положения
	Определение	Наглядное			Комплексный
	Определение	изображение			чертеж
		изображение			чертеж
Плоскость, не перпен-
дикулярную ни к одной		2			A2
		2
из плоскостей проек-
из плоскостей проек-					B2
ций,	называют плоско-	A2 B2 A		B	B2
стью	общего положе-			B
стью	общего положе-				C2
ния				x	C2
ния

					A1
		C2	C	B1	B1
					B1

		A1	C1		C1
		A1

			1
	Плоскости частного положения

Плоскостью частного положения называют плоскость, которая либо перпендикулярна, либо параллельна одной из плоскостей проекций. Плоскости частного положения могут быть проецирующими (табл. 5.3) и плоскостями уровня (табл. 5.4).

Таблица 5.3

Плоскости проецирующие

Определение

Наглядное изображение

Комплексный чертеж

Горизонтально-проеци-

рующей плоскостью

называют плоскость,

перпендикулярную к

В2

плоскости проекций

С2

( ABC)

1. Любой эле-

мент, лежащий в этой

А2

плоскости, проецируется

на плоскость

1 в прямую

линию; горизонтальная

проекция (A1B1C1) есть

прямая линия на плоско-

С1

сти 1; угол

есть угол

наклона этой плоскости к

В1

плоскостям

2. Этот угол

А1

проецируется на гори-

зонтальную плоскость

без искажения

Фронтально-проеци-

рующей плоскостью

называют плоскость,

перпендикулярную к

С2

В2

плоскости проекций 2.

Любой элемент, лежа-

А2

щий в этой плоскости,

проецируется на плос-

кость

2 в прямую линию;

А1

фронтальная проекция

В1

(A2B2C2) есть прямая ли-

ния на плоскости 2. Угол

есть угол наклона этой

С1

плоскости к плоскости 1,

он проецируется на

плоскость

2 без искаже-

ния

Профильно-проеци-

рующей плоскостью

называют плоскость пер-

пендикулярную к плоско-

сти проекций

3. Любой

элемент, лежащий в этой

плоскости, проецируется

на профильную плос-

кость проекций в прямую

линию. Профильная про-

екция (A3B3C3) есть пря-

мая линия плоскости 3.

Углы

есть углы

наклона этой плоскости к

1 и 2

Таким образом, если плоскость перпендикулярна одной из плоскостей проекций, то на эту плоскость она проецируется в виде прямой линии.

Задача

Построить комплексный чертеж фронтально-, профильно- и горизон- тально-проецирующих плоскостей, если они заданы:

а) тремя точками; б) прямой и точкой, не принадлежащей данной прямой;

в) двумя пересекающимися прямыми; г) двумя параллельными прямыми.

							Таблица 5.4
	Плоскости уровня
Характеристика	Наглядное изображение						Эпюр
Фронтальная		B2		z			z	3
							z	3
плоскость – это	2						B2
	2
плоскость, парал-					3		2	B3
плоскость, парал-								B3
лельная плоскости
2. Эта плоскость	A2	C2		B	B3	A2	C2	A3=C3
пересекает плос-		C2		B		x	0
пересекает плос-	x					x	0
кость 1 по прямой	x			0				y
кость 1 по прямой				0				y
параллельной оси		A		C	A3=C3	1
ОХ, а плоскость 3						1
ОХ, а плоскость 3						A1	B1 =C1
– по прямой, па-		A1		B1=C1	y	A1	B1 =C1
– по прямой, па-							y
раллельной оси OZ
	1


Горизонтальная				z			z
плоскость – это	2			z		2 A2	z	3
плоскость – это	2							3
плоскость, парал-	A2	C B	2		3		C2 B2 A3 B3 C3
плоскость, парал-	A2	2	2		3
лельная плоскости			B	A3	B3
проекции 1. Эта		A		C	C3
плоскость пересе-				C	C3	x	O
кает плоскость 2						x	O
кает плоскость 2	x		O					y
по прямой парал-	x		O				B1	y
по прямой парал-			B			A1
			B			A1
лельной оси ОХ, а	A1			1
лельной оси ОХ, а
плоскость 3 – по
плоскость 3 – по						1	C1
прямой парал-				C1	y	1
прямой парал-	1			C1	y		y
лельной оси ОУ

						Окончание табл. 5.4
	2			z			z
Профильная	2					2
						2
		A2			3
плоскость – это		A2		A3	3	А2	А3
плоскость – это							А3
плоскость, парал-			A
плоскость, парал-			A
лельная плоско-	C2	B2			C2	В2	В3	C3
сти 3. Эта плос-					C2	В2		C3
				B3		x	O
	x		B	B3		x	O
кость пересекает	x		B	O				y
кость пересекает
плоскости проек-				C3	A1	B1
плоскости проек-		A1	B1	C3	A1	B1
ций 1 и 2 по		A1	B1	C
				C
						C1
прямым, парал-				C1	y	C1
прямым, парал-			1
лельным оси Z
						1
						1	y
							y

Таким образом, если плоскость параллельна какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость она проецируется в натуральную величину, а две ее другие проекции есть прямые линии параллельные соответствующим осям проекций.

§ 4. Условия принадлежности прямой линии плоскости

Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости или через одну точку этой плоскости, параллельно прямой, лежащей в этой плоскости.

Задача

Провести прямую, принадлежащую данной плоскости. Рассмотрим пример на основе применения определения, когда плоскость задана разными способами (табл. 5.5).

Таблица 5.5

Условие	Комплексный чертеж
		m2
	B2
Плоскость задана тремя точками A, B,	A2
C.	A2
C.
Решение: провести прямую m через	x	C2
любые две точки (в частности, A и B)	x
любые две точки (в частности, A и B)
	A1	C1
	B1	m 1

Окончание табл. 5.5

			L2	b2
			L2
Плоскость задана точкой А и прямой		A2
Плоскость задана точкой А и прямой
а.
Решение:		x			a2
1) на прямой а выбираем любую точку		x
1) на прямой а выбираем любую точку
L (L2), строим L1;
2) через А и L проводим прямую b.		A1			a1
		A1			a1
			L1		b1
					b1
			K2 M2		a2
Плоскость задана двумя пересекаю-		L2	K2 M2		c2
щимися прямыми: а b = K.					b2
Решение:		x			b2
Решение:
1) выбираем произвольные
1) выбираем произвольные
точки L(L1L2) на прямой a, и M (M1M2)
на прямой b ;					b1
2) проводим прямую c через		L1	M1		c1
точки L и M.		L1			c1

			K1
			K1
					a1
		K2		a2	b2
					b2

Плоскость задана двумя параллель-				L2	c2
Плоскость задана двумя параллель-				L2
ными прямыми а	b.
Решение:		x
1) выбираем на прямых по одной про-
извольной точке K	a и L b;				c1
2) через одноименные проекции K и L					c1
2) через одноименные проекции K и L
проводим прямую с.		K1	L1		b1
					b1

				a1
Плоскость задана плоской фигурой.
Решение:			C2
1) на любых сторонах треугольника			C2
1) на любых сторонах треугольника		K2
выбираем произвольные точки K и L;		K2
выбираем произвольные точки K и L;
2) через одноименные проекции про-		A2		L2	B2
водим проекции прямой а.		A2			B2
водим проекции прямой а.
		x			a2
		A1			a1
		A1
			L1		B1
		K1
			C1

Задача № 1

Определить принадлежность прямой плоскости, плоскость ABC ( A1B1C1, A2B2C2) и прямая a (a1a2) (рис. 5.2).

		B2	a2
			a2
	A2
x			C2
x
		B1
	A1		a1
			a1
			C1
		Рис. 5.2

Задача № 2

Достроить фронтальную проекцию плоского четырехугольника; плоскость четырехугольника задана горизонтальной проекцией и тремя точками фронтальной проекции (рис. 5.2–5.4).

C2
A2	B2
A2
x
A1	B1
C1	D1
Рис. 5.2
Задача № 3

	B2			B2
	B2
A2				A2
A2	D2
x	D2		x	D2
				D2

				B1
	B1			C1
				C1
				A1
A1	D1	C1		D1
				D1
	Рис. 5.3			Рис. 5.4

Построить вторую проекцию параллелограмма (рис. 5.5).

Рис. 5.5

§5. Прямые особого положения в плоскости

Всистеме 2 плоскостей проекций прямыми особого положения в плоскости являются горизонталь h, фронталь f и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций. Рассмотрим графическое изображение этих линий (табл. 5.6).

Таблица 5.6

Определение

Комплексный чертеж

1. Горизонталью плоскости назы-

В2

вается прямая, лежащая в плоскости

параллельная

горизонтальной

плоскости проекций, обозначаемая h.

С2

Построение горизонтали начинается

А2

с фронтальной проекции h2.

Все го-

В1

ризонтали

одной

плоскости

между

собой

параллельны.

Горизонталь

есть

геометрическое

место

точек

А1

плоскости,

все

точки

горизонтали

С1

равноудалены от плоскости 1

2. Фронталью плоскости называет-

B2 22

ся прямая, лежащая в плоскости и

параллельная

фронтальной

плоско-

С2

сти

проекций,

обозначаемая

f. Все

фронтали

одной

плоскости

парал-

лельны

между

собой.

Построение

фронтали начинается с горизонталь-

ной проекции f1. Фронталь плоскости

– это

геометрическое

место

равно-

удаленных точек от плоскости

С1

									Окончание табл. 5.6
3. Линиями наибольшего наклона
данной плоскости к плоскостям про-										B2
екций называются линии, лежащие в
плоскости и перпендикулярные гори-
зонтали,		фронтали или ее профиль-					h2	12
ной прямой. В первом случае опре-							h2	12
ной прямой. В первом случае опре-									22
деляется наклон данной плоскости к									22
деляется наклон данной плоскости к
плоскости			1, во втором – к			2, в тре-	A2
тьем	–	к	3.	Линия	наибольшего		x			0
наклона		к	1	называется		линией				B1
наклона		к	1	называется		линией
наибольшего ската (ЛНС). Построе-							h1
ние ЛНС начинается с ее горизон-
тальной проекции n1, так как согласно								11	21
свойству проецирования прямого уг-							A1		21
ла, проводится перпендикулярно к го-							ЛНС		n1	С1
ризонтальной проекции h1 на										С1
ризонтальной проекции h1 на						1

Задача № 1

1. Провести фронталь в плоскости, заданной двумя параллельными прямыми: (а b) (табл. 5.7).

Таблица 5.7

Алгоритм построения фронтали

Вербальная форма	Графическая форма

	a2	b2
		b2
1. Дана плоскость (a b), следовательно, a1 b1;	x
a2 b2
	a1	b1
	a1

	a2	b2
		b2
2. Фронталь – это прямая, принадлежащая
плоскости f (a b). Известно, что горизонталь-	x
ная проекция фронтали f1 x. Проведем f1 x и		f1
f1 a1, f1 b1		f1
f1 a1, f1 b1
	a1	b1
	a1

Окончание табл. 5.7

			a2	b2
				b2
3. Отметим точки пересечения f1	и a1, f1 и b1:	X
f1 a1=11, f1 b1 = 21				f1
				f1
		11	21
			a1	b1
			a1
			a2	b2
				b2
4. Если f (a\|\|b), то все ее точки принадлежат		12	22
4. Если f (a\|\|b), то все ее точки принадлежат
этой плоскости, следовательно, точки 1 и 2		x
принадлежат (a b). Тогда, 12 a2	и 22 b2.			f1
Находим эти проекции		11	21	f1
		11	21
			a1	b1
			a1
			a2	b2
				b2
		12	22	f2
5. Через точки 12 и 22 проводим фронтальную		x
проекцию фронтали f2		x
проекцию фронтали f2
f2 (1222).				f1
		11	21
			a1	b1
			a1

Задача № 2

Провести горизонталь, фронталь и ЛНС в плоскости общего положения, заданной:

а) тремя точками; б) двумя пересекающимися прямыми.

§ 6. Принадлежность точки плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (рис. 5.7).

Точка D принадлежит плоскости	( АВС), так как D1 А111; D2 А212, а
прямая А1 принадлежит плоскости	( АВС) в соответствии с § 4.

В2

12 D2

А2

С2

С1

А1	D1

В1

Рис. 5.7

Задача № 1

Построить вторую проекцию точки K, если K( ABC) (табл. 5.8).

			Таблица 5.8
Алгоритм построения второй проекции точки К
Вербальная форма	Графическая форма
			B2	K2
				K2
	A2
1.Плоскость – задана плоской фигурой				C2
1.Плоскость – задана плоской фигурой	x
( АВС), K2 – фронтальная проекция	x
( АВС), K2 – фронтальная проекция
точки K	A1			C1
	A1			C1
			B1
		12	B2
		12	22	K2
			22

2.Через точку К можно провести пучок	A2
2.Через точку К можно провести пучок				C2
прямых; выберем одну. Проведем через	x
K2 фронтальную проекцию прямой 12 22,
лежащую в плоскости ( ABC)	A1			C1
			B1

Окончание табл. 5.8

	12	B2
	12	22	K2
		22

	A2
			C2
3. Построим горизонтальную проекцию	x
3. Построим горизонтальную проекцию
прямой 11 21			C1
	A1		C1
	11	21
		B1
	12	B2
	12	22	K2
		22

	A2
4. Строим вторую проекцию точки К (К1),	x	C2
принадлежащей прямой 1 2, а следова-	x
принадлежащей прямой 1 2, а следова-
тельно, и плоскости ( ABC)	A1	C1
	A1
	11	21 K1
		B1

Решить задачи:

Построить горизонтальную проекцию точки К (К1), принадлежащую плоскости:

а) (ABC), заданной тремя точками;

б) заданной прямой a (a1a2) и точкой B (B1B2);

в) заданной параллельными прямыми a(a1a2) b(b1b2); г) заданной пересекающимися прямыми a b.

Выводы

Подводя итог, сделаем следующее заключение.

1. Плоскость в пространстве может быть задана (табл. 5.1):

1)тремя точками, не лежащими на одной прямой (табл. 5.1, п. а);

2)прямой и точкой, не принадлежащей данной прямой (табл. 5.1, п. б);

3)двумя параллельными прямыми (табл. 5.1, п. в);

4)двумя пересекающимися прямыми (табл. 5.1, п. д).

5)плоской фигурой (табл. 5.1, п. г);

6)следами (табл. 5.1, п. е).

2. Заданию плоскости в пространстве соответствуют комплексные чертежи, где указанные объекты (точка, прямая, фигура) заданы проекциями (табл. 5.1).

3.Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и сама прямая принадлежит плоскости (табл. 5.6).

4.Если точка принадлежит плоскости, то она принадлежит какой-либо прямой этой плоскости.

5.Используя эти основные понятия и способ построения ортогональных проекций, можно решать множество позиционных задач, определяющих взаимное положение точек, прямых, плоскостей относительно друг друга и относительно плоскостей проекций. Это является основой решения как теоретических, так и прикладных задач.

Вопросы для самоанализа

1.Какие способы задания плоскости Вам известны?

2.Как называется плоскость, если она:

-параллельна какой-либо плоскости проекций;

-перпендикулярна какой-либо плоскости проекций.

3.Какое условие определяет принадлежность линии плоскости?

4.Назовите особые линии плоскости.

5.Каково условие принадлежности точки плоскости.

6.Проведите сравнительный анализ проецирующих плоскостей и плоскостей уровня.

7.Определите сходство и различия в проекциях горизонтали, фронтали и профильной прямой.

Основные понятия, которые необходимо знать:

-плоскость и способы ее задания;

-прямые особого положения в плоскости;

-положение плоскости в системе относительно 2-х,3-х плоскостей проекций;

-принадлежность точки и прямой плоскости.

Способы деятельности, которыми необходимо владеть:

1.Построение комплексного чертежа плоскости, заданной любым способом;

2.Определение принадлежности точки и прямой плоскости.

ГЛАВА 6 ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ,

ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ

[4, гл. 4, § 22–31];

[5, гл. 8, § 49];

[6, гл. 4, § 11–15; гл. 5, § 16–17];

[7, гл. 3, подразделы 3.3–3.4; гл. 4, подразделы 4.1–4.7]

§ 1. Взаимное положение двух плоскостей

Две плоскости в пространстве могут располагаться параллельно или пересекаться. В частном случае пересекающиеся плоскости могут быть взаимно перпендикулярными. Кроме того, указанные плоскости могут совпадать.

Параллельные плоскости

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум соответствующим пересекающимся прямым другой плоскости (рис. 6.1).

P D

Рис. 6.1

Рассмотрим алгоритм построения плоскости, параллельной данной

(табл. 6.1).

Необходимо построить плоскость Q, проходящую через точку D, параллельную данной плоскости Р( АBC).

Таблица 6.1

Алгоритм построения плоскости,

параллельной данной

Вербальная форма

Графическая форма

С2

1. Для решения задачи в данной плос-

кости Р( АBC) берутся любые пересе-

кающиеся прямые.

Например, АВ

АС

С1

С2

Через точку D проводим прямую

m||AB:

A2B2; m2

A1B1; m1

С1

3. Через точку D проводим n АС:

n1 А1С1; n2 А2С2.

С2

Плоскость Q определяется двумя пе-

ресекающимися прямыми:

Q (m n), так как эти две прямые со-

ответственно параллельны двум пе-

ресекающимся прямым АВ и АС, по-

С1

этому плоскости Р и Q параллельны

Р(

АВС) Q (m

Плоскости пересекающиеся

Две плоскости пересекаются по прямой линии. Для построения линии их пересечения необходимо найти две точки, принадлежащие этой прямой. Задача упрощается, если одна из пересекающихся плоскостей занимает частное положение. В этом случае ее вырожденная проекция включает в себя проекцию линии пересечения плоскостей (табл. 6.2).

Таблица 6.2

Алгоритм построения линии пересечения горизонтально проецирующей плоскости Р с плоскостью общего положения Q( АВС)

Вербальная форма		Графическая форма
			B2
1. Для построения линии пересечения
двух плоскостей Р(Р1) и Q( АВС) необ-	A2
ходимо определить две точки M и N –	A2
ходимо определить две точки M и N –				C2
общие для этих плоскостей. Видно, что				C2
общие для этих плоскостей. Видно, что
горизонтальная проекция линии пересе-			B1
чения плоскостей Р и Q совпадает с го-			B1
чения плоскостей Р и Q совпадает с го-
ризонтальным следом плоскости Р1
M1N1 = P1 Q1	A1		N1
			N1

	P1		M1	C1
			B2
			N2
	A2
2. По линиям проекционной связи			M2	C2
строим фронтальную проекцию линии
M2N2 пересечения плоскостей P и Q			B1
	A1		N1
	A1
	P1		M1	C1

Окончание табл. 6.2

3. Определяем видимость. Часть плоскости Q ( АВС) не видима, так как она расположена за плоскостью Р

A1 N1

P1 M1

§ 2. Построение линии пересечения двух плоскостей общего положения

Для определения двух точек, принадлежащих линии пересечения двух плоскостей общего положения, применяют вспомогательные секущие плоскости (табл. 6.3).

Таблица 6.3

Алгоритм построения линии пересечения MN плоскости Q(ab) и плоскости Σ( АВС) общего положения при помощи двух вспомогательных фронтально-проецирующих

секущих плоскостей

Вербальная форма					Графическая форма
1. Для построения первой об-			R2 a212	b2
щей точки М берем вспомога-				b2				B2
щей точки М берем вспомога-				22				B2
тельную фронтально-проеци-				22		M2
тельную фронтально-проеци-						M2	32
рующую плоскость R (R2), от-							32		C2
мечаем точки 12 22 = R2		Q2 и				A2		42	C2
3242 = R2	Σ2. Горизонталь-					A2
3242 = R2	Σ2. Горизонталь-
ные проекции линии пересе-
чения данных плоскостей с								41
вспомогательной плоскостью									C1
R (R2) дают первую		общую							C1
R (R2) дают первую		общую				A1
точку М:			11			A1
точку М:			11
1121	3141 = М1		a1	21
1121	3141 = М1			21			31
Теперь строим фронтальную			b1				31
Теперь строим фронтальную
проекцию точки М (М2)
проекцию точки М (М2)						M1		B1
								B1

								Окончание табл. 6.3
			R2 a2	b2					B2
			12	22					B2
			S2	22		M2
			S2	52		M2		32
2. Для построения второй об-				52	62			32		C2
щей точки N проводим вторую					62		72		42
щей точки N проводим вторую						N2 A2	72	82	42
вспомогательную		фронталь-				N2 A2		82
но-проецирующую плоскость S
(S2), которая дает 5; 6			7; 8 =						41
N:
5161	7181=N1.			51		A1		81		C1
Теперь строим фронтальную				51		A1		81
Теперь строим фронтальную
проекцию точки N (N2)			a111		61	N1	71	31
			b1	21				31
			b1	21
						M1			B1
						M1
			R2 a212	b2					B2
			R2 a212	22					B2
			S2	22		M2
			S2	52		M2		32
				52	62				C2


						N2 A2	72	82	42
3. После соединения М1			и N1 и
М2 и N2 получаем МN:									41
MN= Q (a b)	Σ(	ABC)
				51		A1		81		C1
			11	51	61	A1		81
			11		61	N1	71
			a1					31
			b1	21				31
			b1	21
						M1			B1
						M1

Примечание.

Для построения линии пересечения плоскостей достаточно использовать две вспомогательные секущие плоскости. Желательно, чтобы они были проецирующими, так как при этом построение линии пересечения упрощается (см. табл. 6.2).

Расчетно-графическая работа № 4 Построение линии пересечения двух плоскостей

Задание выполняется по вариантам.

1.Построить линию пересечения двух плоскостей.

2.Определить видимость плоскостей, если это необходимо.

Варианты заданий РГР № 4

42 11

Продолжение вариантов заданий РГР № 4

C1 b1

B1 C1

b2 a2

					88
					Окончание вариантов заданий РГР № 4
25				26			27
	B2		f2	a2		B2	В2
			f2	a2	b2			a2
			h2		b2		A2	a2
A	2		h2		A	C2	A2
	2				2			b2
							С2	b2
							С2
	B1			a1		B1	В1
	B1		f1			B1
					b1
					b1	C1	A1	a
		C1				C1	A1	a
								1
			h1
A			h1		A1		С	b
A

							1	1
Примечание. Образец выполнения расчетно-графической работы № 4
см. прил. 5
§ 3. Прямая, параллельная плоскости

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, принадлежащей данной плоскости (рис. 6.2).

R L

Рис. 6.2

Для построения прямой, проходящей через заданную точку пространства, параллельно заданной плоскости, достаточно провести прямую, параллельную любой прямой, принадлежащей плоскости. При этом возможно множество решений.

Рассмотрим алгоритм построения проекций прямой линии, проходящей через точку K ( K1, K2), параллельную плоскости Р( АВС) (табл. 6.4).

Таблица 6.4

Алгоритм построения прямой, параллельной плоскости

Вербальная форма

Графическая форма

						B2
				K2
					A2	12
1. Построим в плоско-					A2	С2
сти Р( АВС) прямую А1, ко-						С2
сти Р( АВС) прямую А1, ко-				Х
торая принадлежит плоскости				Х
торая принадлежит плоскости						С1
Р						С1
					A1	11
					A1
				K1
						B1
					l2	B2
					l2
2. Через	проекцию		точки К	K2
2. Через	проекцию		точки К			12
(K1) проводим l1		A111. Через			A2	12
(K1) проводим l1		A111. Через
К2 проводим l2		A212, прямая				С2
К2 проводим l2		A212, прямая				С2
l параллельна плоскости Р,				Х
так как l1	A111	и l2	A212,			С1
где прямая А1 принадлежит						С1
где прямая А1 принадлежит						11
плоскости Р( АВС)					A1	11
плоскости Р( АВС)					A1
				K1	l1
					l1	B1
						B1

Для того чтобы проверить, параллельна ли прямая заданной плоскости, можно попробовать провести в этой плоскости прямую, параллельную заданной. Если такую прямую в плоскости построить не удается, то заданные прямая и плоскость не параллельны между собой.

§ 4. Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения

Прямая пересекает плоскость в одной точке. Точку пересечения прямой с плоскостью определяют при помощи вспомогательной проецирующей плоскости, в которую заключаем данную прямую. Рассмотрим алгоритм построения точки пересечения прямой l и плоскости Σ( АВС) (табл. 6.5) на примере использования вспомогательной фронтально-проецирующей плоскости Р (Р2).

Таблица 6.5

Алгоритм пересечения прямой линии с плоскостью общего положения

Вербальная форма

Графическая форма

					B2
1. Чтобы построить точку пересечения						N2		l	2	Р
1. Чтобы построить точку пересечения									2	2
прямой l с плоскостью Σ(		АВС),	заклю-		M2
чаем прямую l во вспомогательную				A2	M2
фронтально проецирующую плоскость Р								C2
(Р2). Получаем М2N2	–	фронтальную						C2
(Р2). Получаем М2N2	–	фронтальную		A1	M1					l1
проекцию линии пересечения Σ			Р =	A1	M1					l1
проекцию линии пересечения Σ			Р =
MN. Затем строим горизонтальную про-								C1
екцию линии пересечения данной плос-
кости и плоскости Р, т.е. М1N1						N1
					B1
					B2
					K2	N2		l2		Р2
2. Отмечаем точку К (К1К2) пересечения					K2
2. Отмечаем точку К (К1К2) пересечения					M2
прямой l с найденной линией пересече-				A2	M2
ния плоскостей MN.								C2
MN= Σ( АВС)		Р (Р2).						C2
MN= Σ( АВС)		Р (Р2).		A1	M1					l1
Точка К будет искомой точкой пересече-				A1	M1					l1
Точка К будет искомой точкой пересече-
ния прямой l с плоскостью Σ( АВС):								C1
К = l	Σ				K1
					K1	N1
						N1
					B1
					B2
					K2	32		l2		Р2
					K2			l2		Р2
3. Определяем видимость прямой l от-				A2
носительно плоскости Σ(		АВС) при по-		A2
носительно плоскости Σ(		АВС) при по-			12 (22)			C2
мощи конкурирующих точек 1; 2 и 3; 4.					12 (22)			C2
мощи конкурирующих точек 1; 2 и 3; 4.				A1	21		42			l1
Подробнее в				A1	21	31		(41)		l1
§ 2 (см. рис. 4.1, 4.2). На чертеже проек-						31		(41)
ции точек M и N не обозначены								C1
					K1			C1
					K1
					11

§ 5. Перпендикулярность прямой к плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости (рис. 6.3).

Рис 6.3

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она будет перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Из множества этих прямых при построении перпендикуляров к плоскости выбирают горизонталь и фронталь плоскости. В этом случае, пользуясь свойством проецирования прямого угла на комплексном чертеже, фронтальную проекцию перпендикуляра проводим под углом 900 к фронтальной проекции фронтали, а горизонтальную проекцию перпендикуляра – под углом 90 к горизонтальной проекции горизонтали.

Рассмотрим алгоритм построения перпендикуляра n к плоскости Р( АВС) (табл. 6.6).

Таблица 6.6

Алгоритм построения перпендикуляра к плоскости

Вербальная форма		Графическая форма
			D2	B2
1. Для того чтобы построить перпен-		12	h2	C2
1. Для того чтобы построить перпен-			h2
дикуляр к плоскости Р( АВС) через Х
дикуляр к плоскости Р( АВС) через Х	A2
точку D, необходимо сначала постро- Х
ить любую горизонталь в данной плос-				B1
кости Р( АВС), например, h (h2h1)		11
	A1		h1
			D1	C1

						Окончание табл. 6.6
					D2		B2
							f2	22
				12	h2				C2
			х						C2
2. Строим фронталь в плоскости			х	A2
2. Строим фронталь в плоскости			Х
Р( АВС), например, f ( f1f2)			Х
Р( АВС), например, f ( f1f2)							B1
							B1
				11	h1			21
				A1	h1	f1		21
				A1
					D1				C1
					D2	n2	B2		f2
3. Строим перпендикуляр n к плоско-								22	f2
3. Строим перпендикуляр n к плоско-
сти Р( АВС). Для этого через точку D2				12	h2				C2
проводим	n2, перпендикулярно f2,	а							C2
через D1	проводим n1, перпендику-		x	A2
лярно h1.			x
n D (n1	D1; n2 D2)						B1
n (n1n2) Р ( АВС), так как				11
n1 h1; h1 P1 ( А1В1С1)				A1	h1	f1		21
n2 f2; f2 P2 ( А2В2С2)				A1
n2 f2; f2 P2 ( А2В2С2)
					D1	n1			C1

§ 6. Перпендикулярность двух плоскостей

Две плоскости будут перпендикулярны друг к другу, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости (AB рис. 6.4).

Рис 6.4

АВ	, то есть АВ принадлежит плоскости и АВ перпендикулярна плос-
кости	. Плоскость	плоскости по известным условиям.

Рассмотрим это положение на комплексном чертеже (табл. 6.7), где будет показано построение плоскости Р, проходящей через прямую l и перпендикулярной плоскости, заданной треугольником Q( АВС) (табл. 6.7).

						Таблица 6.7
			Алгоритм построения плоскости,
			перпендикулярной данной
	Вербальная форма			Графическая форма
1. Известно, что для построе-				l2		B2
ния прямой, перпендикулярной				l2


плоскости, необходимо по-				K2
строить горизонталь и фрон-				K2
таль в этой плоскости.
а) Заметим, что построение					A2	С2
перпендикуляра упрощается,				х
так	как	стороны плоскости		Х
Q( АВС) являются прямыми
уровня:					A1	B1
АВ (А1В1; А2В2) – фронталь;					A1
АВ (А1В1; А2В2) – фронталь;
АС (А1С1; А2С2) – горизонталь.				K1
б) Возьмем на прямой l произ-					l1	С1
вольную точку К						С1


				l2		B2
				K2		B2
2. Через точку К, которая при-				K2
надлежит прямой l, проводим
прямую n		Q, т.е.		n2	A2
n1 A1C1 и n2 A2В2.					A2
n1 A1C1 и n2 A2В2.						С2
Искомая		плоскость	будет			С2
Искомая		плоскость	будет
определяться двумя			пересе-	Хх
кающимися прямыми, одна из
которых задана – l, а другая –						B1
n является перпендикуляром к				n1	A1	B1
n является перпендикуляром к				n1
заданной плоскости:
заданной плоскости:
P(l	n) Q ( ABC)			K1
				K1		С1
				l1		С1
				l1

Выводы

1.Прямая и плоскость в пространстве, рассматриваемом начертательной геометрией, могут:

а) не иметь общих точек; б) иметь хотя бы одну общую точку;

в) иметь множество общих точек.

В зависимости от этого прямая может принадлежать плоскости, быть ей параллельна, пересекаться с данной плоскостью и, как частный случай, быть ей перпендикулярна.

2.Две плоскости в пространстве могут быть параллельны друг другу, пересекаться между собой и, как частный случай, быть взаимно перпендикулярны.

3.Две пересекающиеся плоскости имеют одну общую прямую – линию пересечения.

4.Прямая, пересекающая плоскость, имеет с ней одну общую точку.

5.Для построения перпендикуляра к плоскости необходимо использовать свойства проецирования прямого угла.

Вопросы для самоанализа

1.Назовите признаки параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей.

2.Прямой какого положения является линия пересечения плоскости общего положения с фронтально проецирующей плоскостью?

3.По линии какого положения пересекаются две горизонтально проецирующие плоскости?

4.Как определяется видимость при пересечении двух плоскостей, прямой и плоскости?

5.Какова последовательность построения точки пересечения прямой

иплоскости?

6.Как провести плоскость, перпендикулярную данной прямой (через точку на прямой или через точку вне прямой)?

7.Как провести перпендикуляр к плоскости общего положения?

8.Как через прямую провести плоскость, перпендикулярную данной плоскости?

Основные понятия, которые необходимо знать:

-признаки параллельности, перпендикулярности прямой и плоскости, двух плоскостей;

-принадлежность прямой двум плоскостям;

-принадлежность точки прямой и плоскости.

Способы деятельности, которыми необходимо владеть:

-построение линии пересечения двух плоскостей;

-построение точки пересечения прямой и плоскости;

-определение видимости в позиционных задачах прямой относительно плоскости;

-построение прямой, параллельной плоскости;

-построение прямой, перпендикулярной плоскости;

-построение плоскости, перпендикулярной или параллельной данной плоскости.

Расчетно-графическая работа № 5 Построение точки пересечения прямой и плоскости

Задание выполняется в соответствии с вариантом.

1.Построить точку пересечения прямой l и плоскости общего положения.

2.Определить видимость прямой l относительно данной плоскости.

				Варианты заданий РГР № 5
1	A2	l2		2		3	a2	l2
							a2	l2
			C2		a2		b2
			C2
	B2			A2	l2		a1
					l2		a1

	B1	l1			l1
							b1	l1
					a1		b1
	A1				a1
	A1
			C1	A1
			C1

						96
								Продолжение заданий РГР № 5
4				5	l2		B2		6	B2
4	b2			5	l2				6	B2
	b2										l2
a2											l2
a2									A2
				A2					A2
			l2					C2			C2
			l1	A1				C1			B1
a1	b1					l1		C1
a1	b1					l1					C1
											C1
							B1		A1		l2
									A1
7	K2			8			B2		9		B2
		a2			l2						B2
b1		a2			l2
b1			l2
			l2		A2
					A2						l2
									A2		l2
								C2	A2
								C2
											C2
	b1				l1			C1			C1
											C1

	K1	a1
		a1							A1		l1
		l1			A1		B		A1		l1
		l1									B1

							1
10	a2			11					12
b2	a2		l2						b2	a2
b2										a2	l2
											l2
								a2
							b2	l2
								l2
								l1	b1
								a1	b1	a1
	b1	a1					b1			a1
	b1						b1
			l1								l1
13			l2	14			B2		15		l2
			l2				B2
b2									b2
b2									b2
a2				A2							a2
a2
				l2				C2
								C2
			l1				B1		b1
			l1	l1
				l1							a1
b1								C1			a1
b1	a1							C1			l1
	a1			A1							l1
				A1

Окончание заданий РГР № 5

В2

l 2

В1

С2

l 1

Примечание. Образец выполнения расчетно-графической работы № 5

см. прил. 6

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, были подробно рассмотрены методы проецирования, точка в системе двух и трех плоскостей проекций, прямая и плоскость, взаимное положение прямых и плоскостей, а также некоторые позиционные задачи.

Даны методические рекомендации по изучению курса в целом и по выполнению расчетно-графических работ в частности.

Подробно рассмотрены примеры и алгоритмы решения различного рода задач. По каждой теме дан тренинг умений (решений задач) и заключительное тестирование. Для лучшего усвоения материала в конце учебного пособия представлен краткий словарь специальных терминов и определений.

Определены требования к знаниям и умениям, приобретаемым при изучении курса, виды контроля знаний студентов и их отчетности.

Во второй части планируемого пособия будут рассмотрены способы преобразования комплексного чертеже (метрические задачи), поверхности, точка на поверхности, пересечение прямой и поверхности, пересечение двух поверхностей и т.д.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20221.87 Mб25561.pdf
#
13.11.20221.88 Mб55562.pdf
#
13.11.20221.88 Mб75563.pdf
#
13.11.20221.89 Mб15564.pdf
#
13.11.20221.89 Mб05565.pdf
#
13.11.20221.89 Mб05566.pdf
#
13.11.20221.9 Mб25567.pdf
#
13.11.20221.9 Mб45568.pdf
#
13.11.20221.9 Mб15569.pdf
#
13.11.20221.9 Mб25570.pdf
#
13.11.20221.91 Mб15571.pdf