17

3)С,

4)не A – это инверсия А (обозначим Е),

5)B + C – это операция дизъюнкции (обозначим F),

6)D = неA & (B+C), т.е. D = E & F – это операция конъюнкции.

Таблица 12 – Таблица истинности логического выражения D = неA & (B+C)

6. Логические функции

Любое составное высказывание можно рассматривать как логическую функцию F(Xp Xv ..., Хп), аргументами которой являются логические переменные Xv Xv ..., Хп (простые высказывания). Функция и аргументы могут принимать только два различных значения; «истина» (1) и «ложь» (0).

Выше были рассмотрены функции двух аргументов: логическое умножение F(A,B) = А & В, логическое сложение F(A,B) = AvB, а также логическое отрицание F(A) = Ā, в котором значение второго аргумента можно считать равным нулю.

Каждая логическая функция двух аргументов имеет четыре возможных набора значений аргументов. По формуле мы можем определить, какое количество различных логических функций двух аргументов может существовать:

N = 24 = 16

Таким образом, существует 16 различных логических функций двух аргументов, каждая из которых задаётся своей таблицей истинности (таблица 13).

18

Таблица 13 – Таблицы истинности логических функций двух аргументов

Легко заметить, что здесь логическая функция F2 являеттся функцией логического умножения, F8 — функцией логического сложения, F13 — функцией логического отрицания для аргумента А и F11 — функцией логического отрицания для аргумента В.

В обыденной и научной речи кроме базовых логических связок «и», «или», «не» используются и некоторые другие: «если….то...», «... тогда и только тогда, когда...» и др. Некоторые из них имеют своё название и свой символ, и им соответствуют определённые логические функции.

6.1.Логическое следование (импликация)

Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если..., то...».

Логическая операция импликации «если А, то В», обозначается А→В и выражается с помощью логической функции F14 которая задаётся соответствующей таблицей истинности (таблица 14).

Таблица 14 – Таблица истинности логической функции «импликация»

Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации), ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание).

Например, высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 5» истинно, так как истинны и первое высказывание (предпосылка), и второе высказывание (вывод).

Высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 3» ложно, так как

19

из истинной предпосылки делается ложный вывод.

Однако операция логического следования несколько отличается от обычного понимания слова «следует». Если первое высказывание (предпосылка) ложно, то вне зависимости от истинности или ложности второго высказывания (вывода) составное высказывание истинно. Это можно понимать таким образом, что из неверной предпосылки может следовать что угодно.

В алгебре высказываний все логические функции могут быть сведены путём логических преобразований к трём базовым – логическому умножению, логическому сложению и логическому отрицанию.

Докажем методом сравнения таблицы истинности логической функции (F14=A→B) импликация (таблица 14) и таблицы истинности логического сложения (Ā v B) дизъюнкция (таблица 15), что операция импликации А → В равносильна логическому выражению Ā v В.

Таблица 15 – Таблица истинности логического выражения Ā v B дизъюнкция

При сравнении видно, что эти таблицы совпадают.

6.2.Логическое равенство (эквивалентность)

Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «…тогда и только тогда, когда …».

Логическая операция эквивалентности «А тогда и только тогда, когда В» обо-

значается А≡В, А~В и выражается с помощью логической функции F10, которая задаётся соответствующей таблицей истинности (таблица 16).

Таблица 16 – Таблица истинности логической функции эквивалентности

Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности, истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

20

Рассмотрим, например, два высказывания: А = «Компьютер может производить вычисления» и В = «Компьютер включён».

Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, истинно, когда оба высказывания либо истинны, либо ложны:

«Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включён».

«Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включён».

Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, ложно, когда одно высказывание истинно, а другое — ложно:

«Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включён».

«Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включён».

7. Логические законы и правила преобразования логических выражений

Законы логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления. В алгебре высказываний законы логики записываются в виде формул, которые позволяют выполнять эквивалентные преобразования логических выражений.

Для логических величин обычно используются три операции:

1.Конъюнкция – логическое умножение (И) – and, &, Ʌ .

2.Дизъюнкция – логическое сложение (ИЛИ) – or, |, v.

3.Логическое отрицание (НЕ) – not, ¬.

7.1.Закон тождества

Всякое высказывание тождественно самому себе:

А= А

7.2.Закон непротиворечия

Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание А истинно, то его отрицание не А должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно:

А & Ā=0

7.3.Закон исключённого третьего

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным – третьего не дано.