9

ческого сложения, аргументами которой являются логические переменные А и В. Значение логической функции можно определить с помощью таблицы истинности данной функции, которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах ее аргументов (таблица 2).

Таблица 2 – Таблица истинности функции логического сложения (дизъюнкция)

По таблице истинности легко определить истинность составного высказывания, образованного с помощью операции логического сложения. Рассмотрим, например, составное высказывание «2 • 2 = 4 или 3 • 3 = 10».

Первое простое высказывание истинно (А = 1), а второе высказывание ложно (В = 0); по таблице определяем, что логическая функция принимает значение истина (F = 1), то есть данное составное высказывание истинно.

2.3.Логическое отрицание (инверсия)

Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логиче-

ского отрицания.

Операция логического отрицания является унарной, так как имеет один аргу-

мент. Иначе её называют инверсией, дополнением, НЕ и обозначают Ā или ¬А,

NOT A.

Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное — истинным.

Пусть А = «Два умножить на два равно четырём» — истинное высказывание, тогда высказывание F = «Два умножить на два не равно четырём», образованное с помощью операции логического отрицания, — ложно.

Образуем высказывание F, являющееся логическим отрицанием А:

F = Ā

Истинность такого высказывания задаётся таблицей истинности функции логического отрицания (таблица 3).

Таблица 3 – Таблица истинности функции логического отрицания (инверсия)

10

Истинность высказывания, образованного с помощью операции логического отрицания, можно легко определить с помощью таблицы истинности.

Например, высказывание:

«Два умножить на два не равно четырём» ложно (А = 0), а полученное из него в результате логического отрицания высказывание

«Два умножить на два равно четырём» истинно (F = 1).

2.4.Логическое следование (импликация)

Операцию логического следования иначе называют импликацией и для обозначения используют символ → "следовательно" и выражается словами ЕСЛИ … , ТО ….

Логическое следование: ИМПЛИКАЦИЯ – связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) – следствием из этого условия. Результатом ИМПЛИКАЦИИ является ЛОЖЬ только тогда, когда условие А истинно, а следствие В ложно (таблица 4).

Импликацией А→В называется высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно и В ложно.

Таблица 4 – Таблица истинности функции логического следования (импликация)

2.5.Логическое тождество (эквиваленция)

Операцию логического тождества обозначают символами =, ↔, ~. Интуитивно можно догадаться, что высказывания эквивалентны (равносиль-

ны), когда их значения истинности одинаковы.

Например, эквивалентны высказывания: "железо тяжёлое" и "пух лёгкий", так же как и высказывания: "железо лёгкое" и "пух тяжёлый". Обозначим эквиваленцию символом ↔ и запись "А ↔ В" будем читать "А эквивалентно В", или "А равносильно В", или "А, если и только если В".

Таким образом, эквиваленцией двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба эти высказывания А и В истинны или оба ложны.

Высказывание типа "А, если и только если В" можно заменить высказыванием "Если А, то В и, если В, то А".

11

Следовательно, функцию эквиваленции можно заменить комбинацией функций импликации и конъюнкции.

Запишем таблицу истинности для эквиваленции (таблица 5):

Таблица 5 – Таблица истинности функции логического тождества (эквиваленция)

Приведём примеры записи сложных высказываний с помощью обозначения логических связок:

"Быть иль не быть – вот в чём вопрос" (В. Шекспир) А V ¬ A ↔ В. "Если хочешь быть красивым, поступи в гусары" (К. Прутков) А ↔ В.

2.6.Операция «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ»

Операция исключающее ИЛИ (неравнозначность, сложение по модулю два) обозначается символом и отличается от логического ИЛИ только при A=1 и B=1.

Таким образом, неравнозначность двух высказываний Х1 и Х2 называют такое высказывание Y, которое истинно тогда и только тогда, когда одно из этих высказываний истинно, а другое ложно.

Определение данной операции может быть записано в виде таблицы истинности (таблица 6):

Таблица 6 – Таблица истинности операции «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ»

Как видно из таблицы 6, логика работы элемента соответствует его названию. Это тот же элемент «ИЛИ» с одним небольшим отличием. Если значение на обоих входах равно логической единице, то на выходе элемента «ИСКЛЮЧА-

ЮЩЕЕ ИЛИ», в отличие от элемента «ИЛИ», не единица, а ноль.

Операция «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ» фактически сравнивает на совпадение два двоичных разряда.

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет своё название и обозначение (таблица 7).

12

Таблица 7 – Основные логические операции

3.Порядок выполнения логических операций

всложном логическом выражении

Система логических операций инверсии, конъюнкции, дизъюнкции позволяет построить сколь угодно сложное логическое выражение.

При вычислении значения логического выражения принят определённый порядок выполнения логических операций.

1.Инверсия.

2.Конъюнкция.

3.Дизъюнкция.

4.Импликация.

5.Эквивалентность.

Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки.