5389

Тема 3. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

3.1. Методические указания

Понятие вариации

Вариацией какого-либо признака в совокупности называется различие его значений у разных единиц совокупности в один и тот же период времени. Вариация является следствием того, что индивидуальные значения формируются в результате совместного действия множества факторов (условий), которые поразному сочетаются в каждом конкретном случае.

Средняя величина даёт обобщающую характеристику признака в изучаемой совокупности, но не показывает, как расположены варианты, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от неё. Средняя величина двух совокупностей может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от неё мало, а в другом — эти отличия велики, т.е. во втором случае вариация признака значительна, и это необходимо учитывать при оценке надёжности средней величины.

В статистике торговли показатели вариации широко используются для оценки различий цен на отдельные товары у разных продавцов, реализующих данный товар, а также на разных территориях.

Показатели размера и интенсивности вариации

1. Размах вариации R (диапазон колебаний признака) — представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака:

.

2. Среднее линейное отклонение d – средняя арифметическая абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической без учёта знака:

Для несгруппированных данных:

где n – число единиц совокупности; Для вариационного ряда:

Где f – сумма частот вариационного ряда.

21

3. Дисперсия признака 2 представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины. В зависимости от исходных данных используют формулы:

–простая дисперсия для несгруппированных данных

–взвешенная дисперсия для вариационного ряда:

Рассчитать дисперсию можно также по преобразованной формуле

x 2 − квадрат среднего значения признака в совокупности; xi2 − средний квадрат значений признака в совокупности:

При расчёте дисперсии по этой формуле исключается дополнительная процедура по учёту отклонений индивидуальных значений признака от его средней величины; за счёт этого уменьшается ошибка, связанная с округлением значений промежуточных вычислений.

4. Среднее квадратическое отклонение ( ) – корень квадратный из дисперсии.

совокупности. Среднее квадратическое отклонение так же, как и среднее линейное отклонение показывает, насколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения.

Среднее квадратическое отклонение по своей величине всегда больше среднего линейного отклонения и является лучшей характеристикой меры колеблемости изучаемого признака.

Размах вариации, среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение являются именованными величинами, т.е. имеют ту же единицу измерения, что и изучаемый признак. Дисперсия единицы измерения не имеет.

Для оценки интенсивности вариации, а также для сравнения её величины в разных совокупностях или по разным признакам используют относительные показатели вариации, которые рассчитываются как отношение абсолютных

22

показателей вариации к средней величине признака (или медиане) и выражаются в процентах:

По величине коэффициента вариации принято судить не только об интенсивности вариации признака, но и об однородности состава изучаемой совокупности. Чем больше значение коэффициента вариации, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем больше неоднородность совокупности. Общепринятым является следующее: совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий

Вариация результативного признака обусловлена действием различных факторов, оценить влияние некоторых из них можно, разбив статистическую совокупность на группы по факторному признаку. Тогда вместе с изучением общей вариации признака в совокупности становится возможным изучить вариацию признака в каждой из составляющих её групп, а также между этими группами. В простейшем случае, когда совокупность расчленена на группы по одному фактору, изучение вариации осуществляется с использованием трёх видов дисперсий.

1. Общая дисперсия 2 характеризует вариацию результативного признака в совокупности в результате действия всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака от общей средней и может быть вычислена по формулам:

простая дисперсия для несгруппированных данных

взвешенная дисперсия для вариационного ряда

2. Межгрупповая дисперсия 2 характеризует систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора,

23

положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних xi от общей средней x :

где f – численность единиц в группе.

3. Внутригрупповая дисперсия i2 отражает случайную вариацию, т.е. часть общей вариации, обусловленную влиянием неучтённых факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы х от средней арифметической этой группы xi (групповой средней) и может быть исчислена как простая дисперсия или как взвешенная по соответствующим формулам:

Между всеми указанными дисперсиями существует взаимосвязь, которая называется правилом сложения дисперсий, — общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дисперсии:

Другими словами, общая вариация признака в совокупности складывается из вариации признака внутри отдельных групп, вызванной действием всех неучтённых факторов, и вариации между группами, являющейся результатом действия только одного группировочного признака.

Для количественной оценки силы влияния признака, положенного в основание группировки, на образование общей вариации результативного признака в статистике используется эмпирический коэффициент детерминации:

24

Очевидно, что чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем сильнее влияние признака, положенного в основание группировки, на изменчивость (вариацию) результативного (изучаемого) признака. При отсутствии связи между признаками эмпирический коэффициент детерминации равен нулю, при функциональной зависимости равен 1.

Эмпирическое корреляционное отношение – это корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации:

.

Этот показатель используется для оценки тесноты связи между группировочным и результативным признаками. Принимает значение от 0 до 1. Если связь отсутствует, то эмпирическое корреляционное значение равно 0, т.е. все групповые средние равны между собой и межгрупповая вариация отсутствует. Значит, факторный признак, положенный в основание группировки, никак не влияет на образование общей вариации.

Если связь функциональная, то корреляционное отношение равно 1. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии, т.е. внутригрупповая дисперсия отсутствует. Это означает, что группировочный признак целиком определяет вариацию изучаемого результативного признака. Чем ближе значение корреляционного отношения к единице, тем теснее и ближе к функциональной связь между признаками.

Для качественной оценки тесноты связи на основе показателя эмпирического корреляционного отношения можно воспользоваться соотношениями Чэддока:

Вариация альтернативного признака

В случае качественных альтернативных признаков, имеющих только два взаимоисключающих варианта значений (да и нет; качественные изделия и бракованные и т.д.), дисперсия рассчитывается по формуле

где p – удельный вес единиц, обладающих некоторым значением признака; q – удельный вес единиц, не обладающих некоторым значением признака. Очевидно, что р + q = 1.

Предельное значение вариации доли альтернативного признака равно 0,25

(р∙q = 0,5∙0,5 = 0,25).

25

3.2. Решение типовых задач Пример 3.1. Цены на товар А в районах области составили:

Дадим оценку колеблемости цен на данный товар в районах области.

Решение

5. Коэффициент вариации

V P 100 14,338 100 37,6 %.

Так как V>33 %, то колеблемость цен на товар А в области следует признать весьма заметной, а совокупность районов по уровню цен неоднородной.

6. t – критерий

26

ti (Pi P ) .

Так как для всех районов ti<3, то цены на товар А в каждом районе можно считать типичными.

Пример 3.2. Заработная плата 12 продавцов магазина характеризуется следующими данными:

Используя правило сложения дисперсий, оценим влияние стажа работы на различия в уровне заработной платы продавцов.

Решение

В этой задаче необходимо разложить общую вариацию заработной платы (общую дисперсию) на систематическую, связанную с профессией (межгрупповую дисперсию), и случайную, обусловленную всеми прочими факторами, кроме профессии (внутригрупповую дисперсию).

1. Средний уровень заработной платы в каждой группе и по магазину в целом:

2. Внутригрупповые и средняя из внутригрупповых дисперсий:

27

Средняя из внутригрупповых дисперсия характеризует вариацию заработной платы в результате действия случайных, неучтённых факторов.

3. Межгрупповая дисперсия:

f i 12

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию заработной платы в результате действия признака-фактора, положенного в основание группировки – стажа работы

4. Общая дисперсия:

Общая дисперсия характеризует общую вариацию заработной платы, сложившуюся в результате действия как систематического фактора (стажа работы), так и всех прочих неучтённых факторов (образование, квалификация и т.д.).

5. Правило сложения дисперсий:

Коэффициент вариации:

V 100% ; x

V 19068440 100% 22,6%.

28

Совокупность продавцов достаточно однородна по уровню заработной платы, так как значение коэффициента вариации меньше 33%.

8. Эмпирический коэффициент детерминации:

вариация заработной платы продавцов за сентябрь обусловлена различиями в их стаже работы и на 95,3% — влиянием прочих факторов.

9. Эмпирическое корреляционное отношение :

2 ;

0,047 0,217.

В соответствии с соотношениями Чэдока можно сказать, что связь между стажем работы и уровнем заработной платы продавцов слабая.

Пример 3.3. В трёх партиях мясных консервов, представленных на контроль качества, бракованными оказались 1,5% в первой партии, состоящей из 1000 банок; 2,5% — во второй партии (1200 банок); 3,5% — в третьей партии (1500 банок). Определим средний процент бракованной и годной продукции, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации всей партии по качеству.

Решение

Средний процент бракованной продукции:

Средний процент годной продукции:

q 1 1 0.0265 0,9735 , или 97,35%.

Дисперсия удельного веса бракованной продукции:

Коэффициент вариации удельного веса годной продукции:

V q 100% V 0,97350,161 100% 16,54%.

Так как значение коэффициента вариации меньше 33%, можно утверждать, что совокупность партии мясных консервов является однородной по качеству.

29

3.3. Задачи для самостоятельного решения

3.1. Определите все показатели вариации, если известны следующие данные:

3.2. Торговая фирма заключила договор на первое полугодие с двумя фабриками о поставке швейных изделий. Поставка за каждый месяц первого полугодия составила (тыс. руб.):

Определите, какая фабрика характеризуется меньшей вариацией объёма поставки.

3.3. Население города по среднедушевому совокупному месячному доходу распределяется следующим образом:

Определите дисперсию и среднее квадратическое отклонение среднедушевого совокупного месячного дохода всеми известными способами.

3.4. Имеются следующие данные о реализации картофеля на рынках города:

30