5389

уi – эмпирические уровни ряда динамики;

уt – выравненные (теоретические) уровни ряда динамики; n – число уровней ряда динамики.

Уравнение тренда выбирается по минимальному значению коэффициента аппроксимации.

После выявления основной тенденции развития явления можно выполнить прогнозные расчёты. Простейшие методы прогнозирования следующие: 1) на основе среднего абсолютного прироста; 2) на основе среднего темпа роста; 3) на основе аналитического выравнивания (трендовой модели).

Модель прогноза по среднему абсолютному приросту имеет вид

– средний абсолютный прирост;

L – период упреждения (срок прогноза).

Модель прогноза по среднему темпу роста следующая yt L yt K p L,

где K p – средний коэффициент роста.

При прогнозировании на основе аналитического выравнивания применяется адекватная трендовая модель.

Для получения интервальной оценки прогнозного показателя используется формула

yt L yt ta y yt ,

где tа – коэффициент доверия по распределению Стьюдента (приложение Б);

скорректированное по числу степеней свободы (n-m).

где n – число уровней базисного ряда динамики; m – число параметров трендовой модели.

71

Статистическое изучение сезонных колебаний

Под сезонными колебаниями понимаются более или менее устойчивые внутригодовые колебания уровней развития социально-экономических явлений.

Сезонная колеблемость (внутригодовая цикличность) показателей рынка выявляется с помощью индексов сезонности, методов механического сглаживания, гармоникой Фурье. Гармоника Фурье имеет следующие аналитическое выражение:

где k – номер гармоники, определяющей степень точности (адекватности) модели (обычно k берётся в пределах от 1 до 4);

t – время;

а0, аk, bk – параметры уравнения.

Параметры уравнения ( yˆt ) определяются методом наименьших квадратов:

При анализе внутригодовой динамики n = 12 – по числу месяцев в году. Представляя месячные периоды как части окружности, ряд внутригодовой динамики имеет следующий вид:

Для расчёта гармоники используется вспомогательная таблица. Для первой гармоники она имеет следующий вид:

72

Средние характеристики ряда динамики:

1) средний уровень интервального ряда рассчитывается по формуле средней арифметической простой:

6)средняя величина абсолютного значения 1% прироста:

Ау ;

Тпр

50

А 166,7 млн руб..

0,3

Сделаем выводы:

1.Так как темпы роста начиная с 2010 г. имеют значение больше100, то это говорит о тенденции роста объёма розничного товарооборота в регионе.

2.Средний годовой уровень объёма товарооборота в исследуемом периоде составил 8 918 млн руб.

3.В среднем ежегодно товарооборот увеличился на 50 млн руб., или на 0, 3 %

74

4. Средняя величина абсолютного значения 1% прироста показывает, что при увеличении производства электроэнергии на 1% в абсолютном выражении этот прирост составит 166,7 млн руб.

Пример 6.2

Выполним интервальный прогноз объёма реализации продукции А на 2008 г. с вероятностью 0,99 на основе следующих отчётных данных торгового предприятия:

Для определения формы тренда и расчёта его параметров составим таблицу:

Первые разности приблизительно равны между собой, что позволяет в качестве модели тренда выбрать уравнение прямой:

yt = a0 + a1 ∙ t.

Найдем параметры уравнения:

Подставим найденные значения параметров в уравнение: yt = 114,75 + 5,46 t.

Рассчитаем теоретические уровни ряда динамики: 2000 г.: yt = 114,75 + 5,46 ∙ (-7) = 76,53 т.

2001 г.: yt = 114,75 + 5,46 ∙ (-5) = 87,45 т. и т.д.

75

Выполним точечный прогноз на 2008 г.:

yt+L = 114,75 + 5,46 ∙ 9 = 163,89 т.

Для получения интервального прогноза воспользуемся формулой

(Приложение Б). При вероятности P = 0,99, (уровень значимости α = 1,0), числе степеней свободы k = n – 2 = 6 коэффициент доверия tα = 3,7.

Рассчитаем стандартную ошибку аппроксимации:

Расчёты квадратов отклонений теоретических уровней ряда от эмпирических приведены в таблице.

Выполним интервальный прогноз

yпрогн. 163,89 3,7 0,669, или 159,14 т. yпрогн. 166,37 т.

Пример 6.3. Имеются следующие данные о реализации фруктов в магазинах города:

Построим модель сезонных колебаний в объёме реализации фруктов, используя первую гармонику ряда Фурье:

Первая гармоника имеет вид:

yˆt a0 a1 cos t b1 sin t.

Параметры уравнения определяются по формулам:

76

Для определения параметров уравнения введём в таблицу расчётные графы. Рассчитаем параметры уравнения:

Модель сезонной волны объёма реализации фруктов примет вид: yˆt = 86,17 – 11,14 cos t – 52,82 sin t.

Определим расчётные (теоретические) уровни для каждого месяца:

январь: yˆt = 86,17 – 11,14 ∙ 1,0 – 52,82 ∙ 0 = 75,03 т.

февраль: yˆt = 86,17 – 11,14 ∙ 0,866 – 52,82 ∙ 0,5 = 50,11 т. и т.д.

Результаты yˆt расчётов занесём в таблицу.

6.3. Задачи для самостоятельного решения

6.1. Имеются следующие данные о выпуске продукции на предприятиях региона за 2008 – 2012 гг., млн руб.:

Для анализа динамики выпуска продукции определите: 1) для каждого года: а) цепные и базисные абсолютные приросты; б) цепные и базисные темпы роста и прироста; в) абсолютное значение 1% прироста; 2) за период 2008 − 2012 гг. рассчитайте средний уровень ряда динамики, среднегодовой абсолютный прирост, среднегодовой темп роста и прироста. Результаты расчётов представьте в табличной форме.

6.2. Имеются следующие данные о торговой площади магазинов в регионе в

2009 – 2012 гг., (тыс. м2):

Для анализа динамики торговых площадей определите за каждый год: 1) цепные и базисные: а) абсолютные приросты; б) темпы роста; в) темпы прироста; 2) абсолютное значение 1% прироста. Покажите взаимосвязь цепных и базисных абсолютных приростов и коэффициентов роста.

77

В целом за весь период рассчитайте среднегодовой абсолютный прирост, среднегодовой темп роста и прироста. Результаты расчётов оформите в таблице и сделайте выводы.

6.3. Имеются следующие данные о численности работников предприятий региона, тыс. чел.:

Определите среднегодовой абсолютный прирост и темп роста среднесписочной численности работников (различными способами) за период.

6.4. Имеются следующие данные о темпах роста объёмов кредитования населения региона (по сравнению с 2000 г.):

2008 г. – 104,8 %; 2012 г. – 112,7 %.

Определите среднегодовые темпы роста и прироста объёма кредитования населения региона: 1) за 2001 – 2012 гг.; 2) за 2001 – 2008 гг.; 3) за

2008 – 2012 гг.

6.5. Розничный товарооборот области увеличился в 2011 г. по сравнению с 2010 г. на 3,5 %, а в 2012 г. по сравнению с 2011 г. еще на 2,6 %. Определите розничный товарооборот в области в 2010, 2011 и 2012 гг., если абсолютный прирост розничного товарооборота в 2011 г. по сравнению с 2010 г. составил 2 450 млн руб.

6.6. Используя взаимосвязь показателей динамики, определите недостающие в таблице показатели по следующим данным о реализации продукции предприятиями региона (в постоянных ценах):

78

6.7. Используя взаимосвязь показателей динамики, определите уровни ряда динамики и недостающие в таблице показатели динамики по следующим данным реализации продукции А в регионе за 2008 – 2012 гг.:

Рассчитайте среднегодовой абсолютный прирост, темп роста и прироста.

6. 8. Известны следующие данные о производстве тканей в регионе, млн м2:

Для сравнительного анализа производства тканей в регионе: 1) приведите ряды динамики к общему основанию; 2) укажите, какой вид производства тканей развивается опережающими темпами (в 2012 г. по сравнению с 2003 г.); 3) вычислите для него коэффициент опережения по сравнению с другими видами тканей.

6. 9. Имеются следующие данные о розничном товарообороте в регионе, млрд руб.:

79

Для изучения общей тенденции данных о розничном товарообороте по месяцам 2010 – 2012 гг. произведите: 1) преобразование исходных данных путём укрупнения периодов времени: а) в квартальные уровни; б) в годовые уровни; 2) сглаживание объёмов розничного товарооборота с помощью скользящей средней; 3) выравнивание ряда динамики по прямой; 4) определите индексы сезонности с применением метода постоянной средней и метода аналитического выравнивания. Изобразите графические и сглаженные уровни ряда динамики. Сделайте выводы о характере общей тенденции данных о розничном товарообороте в регионе.

6. 10. Имеются следующие данные по торговому центру по месяцам года:

Произведите: 1) сглаживание ряда товарных запасов методом четырёхчленной скользящей средней; 2) выравнивание ряда динамики по прямой. Сделайте выводы о характере общей тенденции изучаемого явления.

6. 11. Имеются следующие данные о розничном товарообороте региона:

Для определения основной тенденции развития товарооборота постройте: 1) уравнение прямой; 2) уравнение показательной функции; 3) уравнение параболы второго порядка; 4) уравнение параболы третьего порядка. Рассчитайте коэффициенты аппроксимации и выберите наиболее адекватную модель.

6. 12. Имеются следующие данные о розничном товарообороте района:

80