Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5307.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

1.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

	1	3	2 713 2 433 2 536
S0		yt		2 560,7 ;
			3
	3 t 1

S1 S0 ( yt 1 St 1) 2 560,7 0,5 (2 713 2 560,7) 2 636,9 ;

S2 S1 ( yt 1 St 1) 2 636,9 0,5 (2 713 2 636,9) 2 674,9 ;

S3 2 674,9 0,5 (2 433 2 674,9) 2 554,0 ;

p1 ( yt 1 St 1) 2 713 2 636,9 76,2 ;

p2 2 433 2674,9 241,9 (таблица 15).

Рассмотренные экспоненциальные средние представляют собой средние первого порядка, т.е. средние, полученные при сглаживании уровней динамического ряда (первичное сглаживание). При производстве прогноза могут использоваться экспоненциальные средние более высоких порядков, т.е. средние, полученные путём многократного сглаживания.

Экспоненциальная средняя k -го порядка определяется по формуле

Qt(k ) Qt(k 1) (1 ) Qt(k1) .

Если k =1, то получаем формулу расчёта экспоненциальной средней первого порядка:

Qt(1) Qt0 (1 ) Qt(1)1 yt (1 ) Qt(1)1 .

Если k 2 , то получаем формулу расчёта экспоненциальной средней второго порядка:

Qt(2) Qt(1) (1 ) Qt(21) ,

т.е. сглаживанию подвергаются экспоненциальные средние первого порядка.

Если 3, то получаем формулу расчёта экспоненциальной средней третьего порядка:

Qt(3) Qt(2) (1 ) Qt(31) ,

т.е. сглаживанию подвергаются экспоненциальные средние второго порядка.

Экспоненциальные средние более высоких порядков рекомендуются к применению, если после сглаживания исходного динамического ряда тенденция ряда проявляется недостаточно чётко.

Экспоненциальные средние второго, третьего порядков нашли применение в адаптивном прогнозировании по полиномиальным моделям.

Qt(2)

3.3. Адаптивное прогнозирование по полиномиальным моделям

Английский учёный Р. Браун предложил использовать экспоненциальные средние в прогнозировании для вычисление поправок коэффициентов сглаживающего полинома. Предположим, что для прогноза использован линейный тренд:

	a0 a1t .
yt

Согласно теореме Брауна – Майера параметры линейного тренда связаны с экспоненциальными средними первого Qt(1) и второго

порядков:

Q(1)

;

Q(2)

2(1 )

Соответственно:

2Q(1)

Q(2)

;

(Q(1) Q(2) ) .

Из формулы расчёта экспоненциальных средних нам известно, что

необходимо задать начальные условия Qk					, т.е. определить Q(1)			и Q(2) .
				t 1		0		0
Начальные условия задаются в виде следующих формул:
Q(1)	a			1		a ;

0		0				1

Q(2) a			2(1 )				a .

0	0					1

Например: По данным о численности персонала, занятого исследованиями (Хабаровский край), произведём прогноз по полиномиальной модели первого порядка, с помощью экспоненциальной средней (таблица 16).

Таблица 16 − Численность персонала, занятого исследованиями, в Хабаровском крае, чел.

Год		1999	2000	2001	2002		2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Численность
персонала,	занятого
исследованиями,
чел.		906	927	928	970		976	911	833	773	1010	980	961	936
						34

Решение

Проведя аналитическое выравнивание по прямой было получено уравнение тренда:,

yˆt 914,3 1,79t

где t =1,2,…,12.

Параметр определим из формулы:

	2			2
					0,15		0,2 .
		n 1		12 1
Соответственно:
1	1 0,2		4	, а			0,2	0,25 .
							0,2
	0,2			1		1

Начальные условия для экспоненциального сглаживания в нашем примере окажутся:

Q(1)		a		1	a 914,3 4 *1,79 907,1;

	0	0			1

Q(2)	a		2 (1 )			a 914,3 2 4 1,79 900,0 .

0		0			1

Исходя из формулы экспоненциальной средней, экспоненциальные

средние Qt		и Qt		составят:		yt 914,3 1,79t
	(1)	(2)				ˆ
						Q(1)	y (1 ) Q(1) ,
где	yt yt n , т.е.					t	t	t 1		;
где	yt yt n , т.е.				yt 914,3 1,79 12 935,8			и Qt 1	Q0	;
								(1)	(1)
					Q(1) 0,2 935,8 (1 0,2) 907,1 912,8 ;
					t
						Q(2)	Q(1) (1 ) Q(2) ,
						t	t		t 1
где Q(2)	Q(2) ; Q2		0,2 912,8 (1 0,2) 900 902,6 .
t 1	0	t

Тогда скорректированные параметры линейного тренда составят:

		a	2 Q(1)		Q(2)	2 912,8 902,6 922,8 ;
	0			t	t
a				(Q(1)	Q(2) ) 0,25 (912,8 902,6) 2,55 .


1	1			t	t
	1

Прогноз проводим по модели:

yp a0 a1l ,

где l − период упреждения.

В рассматриваемом примере прогноз на 2011 г. составит (при l 1): yp2011 922,8 2,55 1 925,4 .

Соответственно при прогнозе на 2012 г. берём l 2 :

	yp	922,8 2,55 2 927,9 .
		2012	yt	914,3 1,79t ,
Если прогноз основывается только на уравнение тренда			yt	914,3 1,79t ,
			ˆ
то на 2011 г. и на 2012г. он составит:
yp		914,3 1,79 13 937,6 ;
	2011
yp		914,3 1,79 14 939,4 .
		2012
Рассмотренные параметры линейного тренда a0			и
Рассмотренные параметры линейного тренда a0			и		a1 можно

корректировать на новую информацию. Так, после прогноза на 2011 г.

можно вновь определять

Q(1) и

Q(2) и на их основе можно строить новое

уравнение для прогноза на 2012г.

Если ряд

динамики

описывается

параболой

второго

порядка

a1t a2t

то рассчитываются

экспоненциальные

средние

первого

y a0

( Q(1) ),

второго

( Q(2) )

и третьего ( Q(3)

)

порядков.

Модель,

по

которой

осуществляется прогноз, имеет вид:

yt a0

a1t

a2t

где a0 ,

2 − оценки параметров уравнения тренда, скорректированные

a1 ,

по экспоненциальному сглаживанию:

3(Q(1) Q(2) ) Q(3) ;

[(6

5 ) Q(1)

2 (5 4 ) Q(2)

(4 3 ) Q(3) ]:

(1 )2

(Q(1)

2 Q(2) Q(3) ) .

Начальные условия Qt 1

для экспоненциальных средних

разных

порядков определяются по формулам:

Q(1) a

(1 ) (2 )

a ;

2 2

Q(2) a

2 (1 )

(1 ) (3 2 )

a ;

Q(3)

3 (1 )

3 (1 ) (4 3 )

a .

2 2

Экспоненциальные средние:

Q(1)

y (1 ) Q(1) ;

t 1

Qt(2) Qt(1)

Qt(3) Qt(2)

(1 ) Qt(21) ;

(1 ) Qt(31) .

Например: По данным о надое молока на одну корову в Хабаровском крае (таблица 17) произведём прогноз по полиномиальной модели второго порядка, с помощью экспоненциальной средней:

Таблица 17 − Надой молока на одну корову, кг.

Год		1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Надой молока	на
одну корову, кг		2249	2288	2210	2354	2355	2473	2432	2617	2743	2739	2910	3185

																				Решение
	Параметр определим из формулы
																2			2
																								0,15 0,2 .
																		n 1				12 1		0,15 0,2 .
	Соответственно
		1			1 0,2		4 , а									0,2			0,25 .
							4 , а				1					0,2			0,25 .
					0,2						1			1		0,2
	Начальные условия для экспоненциального сглаживания:
Q(1)		a		1		a			(1 ) (2 )								a		2 276,5 4 ( 23,6)								(1 0,2) (2 0,2)		7,8
Q(1)		a				a											a		2 276,5 4 ( 23,6)								2 0,22		7,8
0		0					1						2 2			2											2 0,22
2 200,1;
Q(2)		a			2 (1 )			a					(1 ) (3 2 )								a 2 276,5 2 4 ( 23,6)							(1 0,2) (3 2 0,2)
Q(2)		a						a													a 2 276,5 2 4 ( 23,6)							0,22
0		0						1						2					2									0,22
7,8 2 159,6 ;
Q(3)		a			3 (1 )			a				3 (1 ) (4 3 )											a 2 275,6 3 4 ( 23,6)
Q(3)		a						a															a 2 275,6 3 4 ( 23,6)
0		0						1						2 2					2
	3 (1 0,2) (4 3 0,2)									7,8 2 558,4 .
										7,8 2 558,4 .
			2 0,22
		Экспоненциальные средние:
														Q(1) y (1 ) Q(1) ,
															t					t						t 1	и Qt 1 Q0 ;
	где yt yt n , т.е. yt 2 276,5 23,5 12 7,8 12																									3117,7	и Qt 1 Q0 ;
																									2		(1)	(1)
																			37

Qt(1) yt (1 ) Qt(1)1 0,2 3117,7 (1 0,2) 2 200,1 2 383,6 ; Qt(2) Qt(1) (1 ) Qt(21) 0,2 2 383,6 (1 0,2) 2 159,6 2 204,4 ;

Qt(3) Qt(2) (1 ) Qt(31) 0,2 2 204,4 (1 0,2) 2 558,4 2 487,6.

Скорректированные параметры параболического тренда:

			a		3(Q(1)		Q(2) ) Q(3)				3 (2 383,6 2 204,4) 2 487,6 3 025,2 ;
			0			t			t	t
			a							[(6 5 ) Q(1) 2 (5 4 ) Q(2) (4 3 ) Q(3) ]

						(1 )2
			1		2	(1 )2					t					t	t
	0,2			(6 5 0,2) 2 383,6 2 (5 4 0,2) 2 204,4 (4 3 0,2) 2 487,6 118,9 ;

	2 (1 0,2)2
a		2	(Q(1)			2 Q(2)				Q(3) )	0,22	(2 383,6 2 2 204,4 2 487,6) 28,9 .
a		)2	(Q(1)			2 Q(2)				Q(3) )	(1 0,2)2	(2 383,6 2 2 204,4 2 487,6) 28,9 .
2	(1	)2			t			t		t	(1 0,2)2
																	1		2
																	1		2
	Прогноз проводим по модели на 2011-2012 гг.: yt a0 a1t																	a2t		.
	Прогноз проводим по модели на 2011-2012 гг.: yt a0 a1t																2	a2t		.
													1	2
							yр			3 025,2 118,9 1				28,9 1		3158,6 ;
							yр		2011	3 025,2 118,9 1			2	28,9 1		3158,6 ;
									2011
										3 025,2 118,9		2	1	28,9 2	2	3 320,9 .
						y р
						y р		2012					2
								2012					2

Метод экспоненциального сглаживания для прогнозирования имеет как достоинства, так и недостатки. Достоинствами метода является его простота, достаточная точность, которая возрастает с увеличением длины динамического ряда и снижается с ростом периода прогноза. Недостатком можно отнести отсутствие точного выбора оптимальной величины параметра сглаживания . Данный метод эффективен при проведении краткосрочных прогнозов.

Задания

Задача 1. Представлены данные о поголовье крупного рогатого скота в Хабаровском крае.

Год	Поголовье крупного	Год	Поголовье крупного
	рогатого скота, тыс.		рогатого скота, тыс.
	голов		голов
1999	62,3	2005	38,0
2000	59,9	2006	35,0
2001	57,1	2007	34,7
2002	54,1	2008	32,7
2003	48,3	2009	30,0
2004	40,3	2010	26,9

Провести сглаживание уровней динамического ряда с помощью экспоненциальных средних ( 0,1 , 0,3 0,5 ). Выбрать наилучшую константу сглаживания и рассчитать прогнозные значения.

Задача 2. Представлены данные о поголовье птицы в сельхоорганизации в Хабаровском крае.

Год	Птица в	Год	Птица в
	сельхозорганизациях,		сельхозорганизациях,
	тыс. голов		тыс. голов, тыс. голов
1999	62,3	2005	38,0
2000	59,9	2006	35,0
2001	57,1	2007	34,7
2002	54,1	2008	32,7
2003	48,3	2009	30,0
2004	40,3	2010	26,9

Произвести прогноз по полиномиальной модели первого порядка, с помощью экспоненциальной средней.

Задача 3. Представлены данные об обороте общественного питания в Хабаровском крае.

Год	Оборот общественного питания в	Год	Оборот общественного питания в
	процентах к предыдущему году		процентах к предыдущему году
	(в сопоставимых ценах)		(в сопоставимых ценах)
1999	89,9	2005	105,7
2000	101,3	2006	103,7
2001	101,1	2007	105,9
2002	103,1	2008	100,0
2003	115,9	2009	97,2
2004	104,3	2010	105,4

Произвести прогноз по полиномиальной модели первого порядка, с помощью экспоненциальной средней.

Задача 4. Представлены данные о поступлении иностранных инвестиций в Хабаровском крае.

Год	Поступление	иностранных	Год	Поступление иностранных
	инвестиций, млн долл. США			инвестиций, млн долл. США
1999		33,2	2005	245,5
2000		27,2	2006	217,6
2001		19,9	2007	248,8
2002		33,3	2008	240,2
2003		27,4	2009	265,1
2004		96,2	2010	418,7

Произвести прогноз по полиномиальной модели второго порядка, с помощью экспоненциальной средней.

Задача 5.		По данным о	числе зарегистрированных грабежей в
Хабаровском крае:

Год	Число зарегистрированных			Год	Число зарегистрированных
		грабежей			грабежей
1999		2191		2005	5163
2000		1893		2006	6764
2001		2359		2007	5621
2002		2770		2008	4658
2003		3896		2009	3745
2004		4033		2010	2607

Выполните следующее:

1.Проверьте и обоснуйте предпосылки реализации методов простого экспоненциального сглаживания и гармонических весов на основе графического метода анализа.

2.Произведите прогноз на 2 − 3 периода упреждения методом простого

экспоненциального сглаживания.

3.Произведите прогноз на 2 − 3 периода упреждения методом гармонических весов.

4.Произведите оценку точности полученных в п.2 и 3 прогнозов на основе: средней квадратической ошибки.

Контрольные вопросы и задания к разделу III

1. Сформулируйте сущность метода экспоненциальных средних.

2. В чём заключается специфика применения метода экспоненциальных средних для прогнозирования социально-экономических процессов?

3.Перечислите особенности реализации методов адаптивного прогнозирования.

4.Какие полиномиальные модели чаще всего применяют для прогнозирования?

5.Сформулируйте основные требования реализации методов адаптивного прогнозирования.

6.Перечислите достоинства и недостатки метода экспоненциального сглаживания для прогнозирования.

4.Прогнозирование развития явления с помощью моделей кривых

роста

4.1. Методы выявления типа тенденции динамики

Прежде чем применить методы математического анализа для вычисления параметров уравнения тренда, необходимо выявить тип тенденции. Рассмотрим основные типы уравнений тренда, выражающие те или иные качественные свойства развития.

1. Линейная форма тренда yˆt a0 a1t ,

где yˆt − уровни, освобождённые от колебаний, выравненные по прямой;

а0 − начальный уровень тренда в момент или период, принятый за начало отсчёта времени t ;

a1 − среднегодовой абсолютный прирост (среднее изменение за единицу времени t );

t − показатель времени.

Линейный тренд хорошо отражает тенденцию изменений при действии множества разнообразных факторов, изменяющихся различным образом по разным закономерностям. Равнодействующая этих факторов (ускорение, замедление, нелинейность) часть выражается в примерно постепенной абсолютной скорости изменения, то есть в прямолинейном тренде.

2. Параболическая форма тренда yˆt a0 a1t а2t2 ,

где a2 − квадратический параметр, равный половине ускорения, константа параболического тренда.

Параболическая форма тренда выражает ускорение или замедление уровней тренда с постоянным ускорением.

Параболическая форма тренда с отрицательным ускорением ( а2 0 ) приводит со временем не только к приостановке роста уровня, но и к его снижению со всё большей скоростью.

3. Экспоненциальная форма тренда yˆt a0 a1t , где a1 − изменения в разах, константа тренда.

Если a1 1, экспоненциальный тренд выражает тенденцию ускоренного и всё более ускоряющегося возрастания уровней.

При a1 1экспоненциальный тренд означает тенденцию постоянно всё более замедляющегося снижения уровней динамического ряда

4. Кривая Гомперца yˆ		a	aa2t .
	t	0	1
Кривая несимметрична log a1 0 ,				кривая имеет S -образный вид. Если
log a1 0 , кривая изменяется монотонно: при					a2 1−монотонно убывает,
при a2 1− монотонно возрастает.
5. Кривая Перля-Рида	1	a	a at .
5. Кривая Перля-Рида		a	a at .
	y	0	1	2
	y

Эта кривая выражает модифицированную геометрическую прогрессию, в которой возрастание затухает по мере приближения к некоторому определённому пределу. Максимальный предел устанавливается на основе изучения исследуемого процесса.

4.2. Методика измерения параметров тренда

Для выявления основной тенденции изучаемого ряда динамики развития, целесообразно выделить тип модели развития, каждому из которых соответствует определённая математическая функция:

1. Движение с постоянным изменением, то есть равномерное развитие можно описать следующим уравнением: yˆt a0 a1t .

Графическим изображением этой модели служит прямая линия. Параметр a1 называется коэффициентом регрессии. Он показывает, как

изменяется уровень ряда в единицу			времени. При		a1 0	уровни
динамического ряда возрастают, а при a1 0 они снижаются.
Параметр a0 и a1 находят из системы нормальных уравнений:
na0 a1 t y
a t a t2			yt,
	0	1
где y − фактические уровни ряда;
n − число уровней ряда динамики;
t − время.
Данную систему можно упростить, если выбрать					t 0 .	Тогда
параметры уравнений находят из следующих формул:
a	y	;	a	yt .
0	n		1	t2

2. Движение с постоянным ускорением (или замедлением), то есть равноускоренное (или равнозамедленное) развитие описывается следующим уравнением: yˆt a0 a1t a2t2 .

Параметр a2 характеризует постоянное изменение скорости в единицу времени. a2 0 отражает наличие ускорения, а a2 0 его замедление. Параметр a1 может быть как положительным, так и отрицательным.

Графическое изображение этой модели служит кривая второго порядка (парабола). Параметры параболы второго порядка вычисляются с помощью системы нормальных уравнений:

na0 a1 t a2t 2 y

a0 t a1 t2 a2 t3 yta0 t 2 a1 t3 a2 t 4 yt2 ,

если t 0 , то t3 0 . Отсюда параметр a1 определяется по формуле

ayt ,

1t2

апараметр a0 и a2 определяем из системы двух уравнений:

			a2 t		2	y
na0			a2 t			y
		t2		a t4 yt2			,
a		t2		a t4 yt2			,
	0			2

3. Движение по экспоненциальному закону с постепенным темпом роста, то есть в геометрической прогрессии. Моделью этого типа развития

является логарифмически линейное уравнение: yˆ							a	at	,
						t	0	1
где a1 − темп роста (снижения) в единицу времени;
t − параметр времени.
Для	определение	параметров			уравнения					предварительно
логарифмируем уровни:		lg yt lg a0 t lg a1 .
		ˆ
Если выбрать t 0 ,		то параметры уравнения будут определяться по
формулам:
		lg a	lg y ;	lg a		t lg y .
Для	определения	0	n		1	t2			yt	используют
Для	определения	теоретического				уровня			yt	используют
									ˆ
логарифмическое выражение:			lg yt lg a0 t lg a1 ,				затем		потенцируем lg yt ,
			ˆ							ˆ
находим	yt .
	ˆ

Например: Представлены данные о числе разводов в Хабаровском крае (таблица 18).

Таблица 18 − Число разводов в Хабаровском крае

Год	Число разводов	Год	Число разводов
1999	6856	2005	6685
2000	8068	2006	7347
2001	9670	2007	8244
2002	11034	2008	8118
2003	9592	2009	8319
2004	7393	2010	7649

Провести аналитическое выравнивание по прямой, параболе второго порядка экспоненте.

					Решение
Построим		уравнение прямой				yt a0	a1t . Параметры находим из
						ˆ
системы нормальных уравнений:
				na0 a1 t y
				a t a t2 yt,
					0	1
a	y		98 975	8 247,9 ;	a	yt	21 275	37,2	(таблица 19).
a	y			8 247,9 ;	a	yt		37,2	(таблица 19).
0	n	12			1	t2	572

Таблица 19 − Расчётная таблица

Год	y		t		t 2	yt	t 4		yt2	lg y		t lg y
1999	6856		-11		121	-75416	14641		829576	3,8		-42,2
2000	8068		-9		81	-72612	6561		653508	3,9		-35,2
2001	9670		-7		49	-67690	2401		473830	3,9		-27,9
2002	11034		-5		25	-55170	625		275850	4,0		-20,2
2003	9592		-3		9	-28776	81		86328	3,9		-11,9
2004	7393		-1		1	-7393	1		7393	3,8		-3,8
2005	6685		+1		1	6685	1		6685	3,8		3,8
2006	7347		+3		9	22041	81		66123	3,9		11,9
2007	8244		+5		25	41220	625		206100	3,9		19,6
2008	8118		+7		49	56826	2401		397782	3,9		27,9
2009	8319		+9		81	74871	6561		673839	3,9		35,2
2010	7649		+11		121	84139	14641		925529	3,9		42,7
Итого	98975		0		572	-21275	48620		4602543	46,6		-0,1
						ˆ
Уравнение прямой имеет вид yt 8 247,9 37,2t
Прогнозные значения на 2011, 2012 гг. ( t 13								и t 15 ):
				ˆ
			y13 8 247,9 37,2 *13 8 727,1;
			ˆ
			y15 8 247,9 37,2 *15 7 689,9 .
Построим		уравнение			параболы		второго порядка			yˆ	a	a t a t2 .
										t	0	1 2

Параметры находим из системы нормальных уравнений:

na0 a1 t a2t 2 y;

a0 t a1 t 2 a2 t 3 yt;a0 t 2 a1 t 3 a2 t 4 yt 2 ,

Параметр a1 определяем по формуле (таблица 19):

a	yt		21 275	37,2 .
1	t2		572

Параметры a0 и a2 определяем из системы двух уравнений:

			2	y;
na0 a2 t				y;
	t 2 a	t 4 yt 2 ;
a	t 2 a	t 4 yt 2 ;
0	2
12a0	572a2			98 975;

572a0 48 620a2 4 602 543.

Умножаем первое уравнение на 572, второе на 12. В результате получаем:

6 854a0 583 440a2 55 230 516;6 854a0 327 184a2 56 613 700,

256 256a2 1383184 ; a2 5,4 ; 12a0 572 ( 5,4) 98 975 ;					a0 8 505,3
	yˆ	8 505,3 37,2t 5,4t2 .
	t
Прогноз на 2011 и 2012 годы ( t 13 и t 15 ):
ˆ			2	7 109,1;
y(13)	8 505,3 37,2 13 5,4 13			7 109,1;
ˆ	8 505,3 37,2 15 5,4 15		2	6 732,3 .
y(15)	8 505,3 37,2 15 5,4 15			6 732,3 .

Прогнозные значения можно получить, подставляя в любое из полученных аналитических уравнений прогнозные значения t .

Рассчитаем параметры уравнения yˆ	a	at	которое описывает
t	0	1

развитие явления по экспоненциальному закону.

Сначала логарифмируем уровни: lg yˆt lg a0 t lg a1 . Определяем параметры уравнения (таблица 19):

lg a	lg y	46,6	3,9 ;	lg a	t lg y	0,1	0,0002 .
					t2
0	n	12		1		572

Находим антилогарифмы параметров a0 и a1 :

	a0 7 943,3 ; a1		0,999 ;
	yˆ	a at 7 943,3 0,999t .
	t	0 1
Прогноз на 2011 и 2012 годы ( t 13 и t			15 ):
yˆ	a at 7 943,3 0,99913 7 840,7 ;
t	0	1
. yˆ	a	at 7 943,3 0,99915 7 824,9
t	0	1

Наиболее распространёнными S-образными кривыми (кривыми роста) является кривая Гомперца и кривая Перля − Рида. Для осуществления прогноза на основе кривой Гомперца, необходимо провести следующие расчёты:

1)кривая Гомперца описывается уравнением yˆt a0 a1a2t ;

2)прологарифмируем уравнение lg yˆt lg a0 lg a1 a2t ,

где lg a0 − логарифм максимального значения, к которому приближается прогнозный уровень явления;

lg a1 − расстояние, которое отделяет в каждый данный момент значение уровня от его максимального значения.

a2 − имеет значение от 0 до1.

t − время, к которому относится первое значение уровня

( t 0,1,2,...,n );

3)ряд динамики разбивается на 3 части: ni 13 длины ряда;

4)для каждой отмеченной группы определяется сумма логарифмов: S1 ,

S2 , S3 ;

5) рассчитываем первые разности по этим суммам: d1 S2 S1 ;

d2 S3 S2 .

6) получаем параметры уравнения a2 , lg a0 , lg a1 :

			a2t		d2	,
			a2t		d1	,
					d1
где t − число уровней ряда.
	d1 (a0 1)		1				d1

lg a1 (at		1)2 ,	lg a0 t	S1		at		1	.
2						2

Из приведённых формул видно, что параметры кривой Перля − Рида рассчитываются так же, как и у кривой Гомперца.

Для экстраполяции за пределы исходного динамического ряда необходимо подставить соответствующее значение t в уравнении кривой.

Например: Используя данные о числе родившихся в Хабаровском крае, произведём прогнозирование числа родившихся на основе кривой Гомперца (таблица 20).

Решение

Таблица 20 − Расчётная таблица

Год	Число	lg y	t	lg yˆt	yˆt
	родившихся, чел.
1999	11979	4,078	0	4,113	12969
2000	12400	4,093	1	4,133	13579
2001	13615	4,134	2	4,15	14138
2002	14453	4,160	3	4,166	14647
		S1 16,465
2003	15392	4,187	4	4,179	15109

2004								16049											4,205					5			4,191	15526
2005								15410											4,187					6			4,201	15902
2006								15558											4,192					7			4,211	16239
														S2 16,771
2007								16303											4,212					8			4,219	16540
2008								17067											4,232					9			4,226	16809
2009								17573											4,245					10			4,232	17049
2010								17407											4,241					11			4,237	17262
															S3 16,93

d1 S2 S1			16,771 16,465 0,306 ;																d2 S3			S2 16,93 16,771 0,159
										at		d2						0,159		0,52 ,
										at										0,52 ,
								2					d1				0,306
													d1				0,306
t 4 , так как длина каждого из трёх выделенных участков составляет 4

уровня: a	4 0,52		0,877 .
2
					1					d1						1					0,306
			lg a0														16,465								4,28 ;

						t	S1 t								4						0,52 1
						t				a2 1					4						0,52 1
				lg a1					d1 (a2 1)					0,306 (0,877 1)										0,163		;
				lg a1					(at 1)2									(0,52 1)2						0,163		;
								2
		lg yˆ		lg a				lg a at				;					lg yˆ		4,28 ( 0,163) 0,877t ;
			t				0	1			2							t
	t 12 ;			lg yˆ				4,28 ( 0,163) 0,87712													4,246 ; yˆ					17 451;
					12																				12
t 13 ;	lg yˆ	4,28 ( 0,163) 0,87713 4,250 ;																			yˆ		17 618 и т.д. (таблица 20)
	13																				13

4.3. Выбор наилучшей математической модели для осуществления прогноза и доверительные интервалы прогноза

Для выбора наилучшей математической модели развития изучаемого явления применяется средняя квадратическая ошибка:

		)	2
S	( yt yt		,
	n m

где yt − фактическое значение ряда;

− выравненное значение ряда;

n − длина ряда;

m − число параметров уравнения.

По минимальной величине средней квадратической ошибки определяют наилучшую модель развития динамического ряда и осуществляют прогноз.

В дополнении к точечному прогнозу определяют доверительные интервалы прогноза. Доверительный интервал определяется по формуле

yˆn L t Sp ,

где n − длина временного ряда; L − период упреждения;

yˆn 1 − точечный прогноз на момент n L ; t − значение t -статистики Стьюдента;

S p − средняя квадратическая ошибка прогноза.

Предположим, что тренд характеризуется прямой:

yˆt a0 a1t

В связи с тем, что параметры уравнения определяются по выборочной совокупности, то они содержат погрешность. Погрешность параметра a0 приводит к вертикальному сдвигу прямой, а параметра a1 − к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс. Учитывая эти погрешности дисперсию S2p можно представить в виде:

	Sy2		(t		)2
S 2	Sy2	S 2	(t	t	)2		S 2	,
			1
			n
p	n	y	n				y
	n		(t t			)2

t 1

где S y2 − дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчётных; t1 − время упреждения, для которого делается экстраполяция;

t1 n L ;

t − порядковый номер уровней ряда, t 1,2,...,n ;

t − порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда,

t (n 1) : 2 .

Доверительный интервал можно представить в виде:


yˆ		t S		n 1	tl t 2
yˆ	n L	t S	y	n 1	n
	n L		y		n
				n	t t 2
					t 1
Обозначим корень в представленной формуле через К .						Значение К
зависит только от n и L , то есть от длины ряда и периода						упреждения.

Поэтому можно составить таблицы значений К

или K t

K . Тогда

интервальная оценка будет иметь вид:

yˆ

n L

Аналогичное выражение,

можно

получить для полинома второго

порядка:

t S

t 4 (2 t 2 ) t2 n t 4

yˆ

t 2

n t 4 ( t 2 )2

n L

или

yˆ

n L

Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчётных определяется выражением:

	n
	( yt yˆt )2
S 2	t 1	,
S 2		,
y	n m
	n m

где yt − фактические значения уровней ряда,

yˆ t − расчётные значения уровней ряда, n − длина временного ряда,

m − число оцениваемых параметров выравнивающей кривой. Таким образом, ширина доверительного интервала зависит от уровня

значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от

тренда и степени полинома. Чем выше	степень полинома,		тем шире
доверительный интервал при одном и том же значении S y .
Доверительные интервалы прогнозов, полученных		с использованием
уравнения экспоненты, определяют	аналогичным	образом. Отличие
состоит в том, что как при вычислении параметров кривой,			так и при
вычислении средней квадратической ошибки используют			не	сами
значения уровней временного ряда, а их логарифмы.		По	такой	же

схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).

В таблице 21 приведены значения K в зависимости от длины временного ряда n и периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов ( n ) значения K уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения K увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений n : чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L .

Таблица 21 − Значения K для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0,9 (7).

Длина		Линейный и			Длина	Параболический тренд
ряда ( n )	экспоненциальный тренды				ряда ( n )
	период упреждения ( L )					период упреждения ( L )
	1		2	3		1	2	3
7	2,6380		2,8748	3,1399	7	3,948	5,755	8,152
8	2,4631		2,6391	2,8361	8	3,459	4,754	6,461
9	2,3422		2,4786	2,6310	9	3,144	4,124	5,408
10	2,2524		2,3614	2,4827	10	2,926	3,695	4,698
11	2,1827		2,2718	2,3706	11	2,763	3,384	4,189
12	2,1274		2,2017	2,2836	12	2,636	3,148	3,808
13	2,0837		2,1463	2,2155	13	2,536	2,965	3,516
14	2,0462		2,1000	2,1590	14	2,455	2,830	3,286
15	2,0153		2,0621	2,1131	15	2,386	2,701	3,100
16	1,9883		2,0292	2,0735	16	2,330	2,604	2,950
17	1,9654		2,0015	2,0406	17	2,280	2,521	2,823
18	1,9455		1,9776	2,0124	18	2,238	2,451	2,717
19	1,9280		1,9568	1,9877	19	2,201	2,391	2,627
20	1,9117		1,9375	1,9654	20	2,169	2,339	2,549
21	1,8975		1,9210	1,9461	21	2,139	2,293	2,481
22	1,8854		1,9066	1,9294	22	2,113	2,252	2,422
23	1,8738		1,8932	1,9140	23	2,090	2,217	2,371
24	1,8631		1,8808	1,8998	24	2,069	2,185	2,325
25	1,8538		1,8701	1,8876	25	2,049	2,156	2,284

Например: На основе построенных математических моделей развития по данным о числе разводов в Хабаровском крае (таблица 18) определить наилучшую модель развития динамического ряда и осуществить прогноз.

Решение

Таблица 22 − Расчётная таблица

Год		Модели										Квадрат отклонений ( yt						yˆt )2
	линей-	парабо-		экспо-				линейный								парабола		экспонента
	ный	ла		нента					тренд							второго
	тренд	второго														порядка
		порядка
1999	9 619,9	9 777,1		7 856,5				7 639 143,0								8 533 023,0		1 000 892,0
2000	9 545,5	9 918,7		7 872,2				2 183 006,0								3 424 914,0		38 350,8
2001	9 471,1	10 017,0		7 887,9					39 561,2							120 401,7		3 175 814,0
2002	9 396,7	10 072,2		7 903,7				2 680 751,0								925 164,4		9 798 763,0
2003	9 322,3	10 084,1		7 919,5					72 738,1							242 181,9		2 797 197,0
2004	9 247,9	10 052,9		7 935,4				3 440 654,0								7 075 137,0		294 159,4
2005	9 173,5	9 978,5		7 951,2				6 192 632,0								10 847 307,0		1 603 372,0
2006	9 099,1	9 860,9		7 967,2				3 069 854,0								6 319 972,0		384 590,7
2007	9 024,7	9 700,2		7 983,1				609 492,0								2 120 532,0		68 070,9
2008	8 950,3	9 496,3		7 999,1				692 723,0								1 899 636,0		14 144,3
2009	8 875,9	9 249,2		8 015,1				310 138,0								865 196,3		92 369,6
2010	8 801,5	8 958,9		8 031,1				1 328 256,0								1 715 745,0		146 011,5
Итого	-	-			-			28 258 950,4								44 089 211,0		19 413 735,0
Рассчитаем среднюю квадратическую ошибку:
														)	2
							S		( yt yt					)		.
							S				n m					.
											n m
									)	2
										2			28 258 950,4
Линейный тренд −				S	( yt yt								28 258 950,4				1 681,04 .
Линейный тренд −				S		n		m						12		2	1 681,04 .
						n		m						12		2

Парабола второго порядка −								S		44 089 211						2 213,32 .
Парабола второго порядка −								S			12 3					2 213,32 .
											12 3

Экспонента − S			19 413 735				1 393,33 .
Экспонента − S							1 393,33 .
				12 2
	Наименьшая			квадратическая										ошибка			получилась		у
экспоненциальной формы тренда:
					yˆ	a at			7 943,3 0,999t .
					t			0 1
Прогноз на 2011, 2012 и 2013 годы ( t 13 , t																15 , t	17 ):
				yˆ	a at			7 943,3 0,99913								7 840,7 ;
				13	0	1
				yˆ	a	at		7 943,3 0,99915								7 824,9 ;
				15	0	1

yˆ17 a0 a1t 7 943,3 0,99917 7 809,3 (таблица 22)

Рассчитаем доверительные интервалы по формуле

yˆn L S y K

Таблица 23 − Результаты прогноза числа разводов в Хабаровском крае

Год	yˆn L	K	Sy K	Доверительный интервал прогноза
				yˆ	n L	S		y	K
					n L			y

				нижняя граница			верхняя граница
2011	7 840,7	2,1274	2964	4876,7					10805
2012	7 824,9	2,2017	3068	4756,9					10893
2013	7 809,3	2,2836	3182	4627,3					10991

Прогнозные данные свидетельствуют о том, что наметилась позитивная тенденция снижения числа разводов (таблица 23). Ежегодное число разводов будет сокращаться в среднем на 16 разводов (около 1%).

4.4. Методы измерения показателей колеблемости и устойчивости в ряду динамики

Типов колебаний статистических показателей очень разнообразно. Все их можно объединить в три основных:

1)пилообразная или маятниковая колеблемость;

2)циклическая долгопериодическая колеблемость

3)случайно распределённая во времени колеблемость.

Пилообразная или маятниковая колеблемость состоит в попеременном отклонении эмпирических уровней от тренда в одну и в другую сторону (рисунок 1). Такую колеблемость можно наблюдать в динамике урожайности при невысоком уровне агротехники.

70
60
50
40
30
20
10
0
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Рисунок 1 − Пилообразная или маятниковая колеблемость

Циклическая		долгопериодическая					колеблемость			свойственна
например солнечной активности (11 лет) (рисунок 2). Для этого типа
характерны резкая смена знаков отклонений от тренда и накапливающийся
эффект.
60
50
40
30
20
10
0
1	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21
Рисунок 2 − Циклическая долгопериодическая колеблемость

Случайно-распределённая во времени колеблемость нерегулярная ,

хаотическая. Она может возникнуть при наложении множества колебаний с разными по длительности циклами (рисунок 3). Например, сумма осадков за зимний период.

18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
1	3	5	7	9	11	13	15	17	19
Рисунок 3 − Случайно распределённая во времени колеблемость.

Для распознания типа колеблемости применяют графическое изображение, абсолютные и относительные показатели колеблемости уровней динамического ряда, метод «поворотных точек» Кендела.

В качестве абсолютных показателей колеблемости применяют: размах колебаний, среднее линейное отклонение от тренда, среднее квадратическое отклонение от тренда.

Размах колебаний в динамическом ряду есть разность между наибольшим и наименьшим по алгебраической величине отклонений от тренда.

Rt ( yi yˆt ) max ( yi yˆt ) min .

Среднее линейное отклонение от тренда вычисляется по формуле

	yi yˆt	.

dt


	n

Среднеквадратическое отклонение от тренда равно:

t	( y		yˆ )2	.
		i	t

Относительные показатели колеблемости уровней ряда динамики относительно тренда являются характеристики, представляющие частное от деления абсолютных показателей и среднего уровня ряда за тот же период.

Относительный размах колебаний равен отношению абсолютного размаха к среднему уровню ряда:

VR Rt 100 .

t y

Относительное линейное отклонение равно отношению среднего линейного отклонение уровней ряда от тренда к среднему уровню:

Vd t dyt 100 .

Коэффициент колеблемости есть отношение среднего квадратического отклонения уровней ряда от тренда к среднему уровню:

V t 100 .

t y

Относительные меры колеблемости, и основная из них коэффициент V t , позволяют сравнивать силу колебаний в различных динамических рядах. Сильной можно считать колеблемость при коэффициенте колеблемости более 20%.

Для выявления типа колебаний воспользуемся приёмом, предложенным М. Кенделом. Он состоит в подсчёте так называемых «поворотных точек» в ряду отклонений от тренда, т.е. локальных экстремумов. Отклонение либо большее по алгебраической величине, либо меньшее из двух соседних, отмечается точкой.

При маятниковой колеблемости все отклонения, кроме двух крайних, будут «поворотными», следовательно их число составит:

P n 2 ,

где n − число членов в ряду динамики.

При долгопериодических циклах на цикл приходится один минимум и один максимум, а общее число точек составит:

P 2(n : l) ,

где l − длительность цикла.

При случайно распределённой во времени колеблемости число поворотных точек в среднем составит:

P 23 (n 2) .

Например: Представлены данные о числе разводов в Хабаровском крае (таблица 24).

Таблица 24 − Расчётная таблица

Год	Число разводов		Отклонения от	( yi yˆt )2	Поворотные точки
	yi	yˆ t	ˆ	( yi yˆt )2
			ˆ
			тренда ( yi yt )
1999	6856	7 856,5	-1 000,5	1 001 000,3
2000	8068	7 872,2	195,8	38 337,6
2001	9670	7 887,9	1 782,1	3 175 880,4
2002	11034	7 903,7	3 130,3	9 798 778,1
2003	9592	7 919,5	1 672,5	2 797 256,3
2004	7393	7 935,4	-542,4	294 197,8
2005	6685	7 951,2	-1 266,2	1 603 262,4
2006	7347	7 967,2	-620,2	384 648,0
2007	8244	7 983,1	260,9	68 068,8
2008	8118	7 999,1	118,9	14 137,2
2009	8319	8 015,1	303,9	92 355,2
2010	7649	8 031,1	-382,1	146 000,4
Итого	98975	-	-	19 413 922,5

Рассчитать абсолютные и относительные показатели колеблемости. Определить тип колебаний методом «поворотных точек».

Решение

Размах колебаний разводов:

Rt ( yi yˆt ) max ( yi yˆt ) min 3 130,3 ( 1 266,2) 4 396,5 .

Среднее линейное отклонения от тренда числа разводов

		yi	yˆt		1 000,5 195,8 1 782,1 3 130,3 1 672,5 542,4 1 266,2 620,2

d	t
d
			n
			n
						260,9 118,9 303,9 382,1	3 653 .
						260,9 118,9 303,9 382,1

				12
				12

Среднеквадратическое отклонение

t				( yi yˆt						)2					19 413 922,5				1 271,9 .
t							n										12		1 271,9 .
							n										12
Относительный размах колебаний
	VR				Rt				100				4 396,5				100 53,3% ,
	VR								100				8 247,9				100 53,3% ,
			t			y							8 247,9
								y			98 975					8 247,9 .
								y								8 247,9 .
										12
Относительное линейное отклонение

	V				dt			100						3 653			100 44,3% .
	V	d						100									100 44,3% .
		d	t			y							8 247,9
			t			y							8 247,9
Коэффициент колеблемости V												t 100						1 271,9		100 15,4% .
Коэффициент колеблемости V												t 100								100 15,4% .
									t					y			8 247,9
														y			8 247,9

Коэффициент колеблемости показывает невысокую колеблемость. Определим тип колеблемости на основе метода «поворотных точек». В

результате нахождения локальных экстремумов получили 5 поворотных точек. Определим к какому типу колеблемости относится представленный динамический ряд.

При маятниковой колеблемости получаем P n 2 12 2 10

«поворотных точек». При долгопериодических циклах P 2(n : l) 21211 2 ,

при маятниковой колеблемости P	2	(n 2)	2	(12 2) 6 . Следовательно,
	3		3

динамика числа разводов имеет случайно распределённую колеблемость. По отношению к статистическому изучению динамики понятие

устойчивости можно рассматривать в двух аспектах:

1)устойчивость как категория, противоположная колеблемости;

2)устойчивость направленности изменений, то есть устойчивость тенденции.

В первом понимании показатель устойчивости выступает как мера

устойчивости М у 100 V t . Этот показатель характеризует близость фактических уровней к тренду и совершенно не зависит от характера тренда. Чем ближе этот показатель к 100%, тем выше степень устойчивости уровней динамического ряда.

Например: Воспользуемся данными предыдущего примера и рассчитаем устойчивость числа разводов в динамическом ряду:

М у 100 V t 100 15,4 84,6% ,

следовательно, устойчивость динамики числа разводов высокая. Устойчивость во втором смысле характеризует не сами уровни, а

процесс их направленного изменения. С этой точки зрения полной устойчивостью направленного изменения уровней динамического ряда следует считать такое изменение, в процессе которого каждый следующий уровень либо выше всех предшествующих (устойчивый рост) либо ниже всех предшествующих (устойчивое снижение). Всякое нарушение строгой ранжированной последовательности уровней свидетельствует о неполной устойчивости изменений.

В качестве показателя устойчивости можно использовать коэффициент корреляции Ч. Спирмена

6 2i

1 i 1 , n3 n

где n − число уровней;

i − разность рангов уровней и номеров периодов времени

i pi pn ,

где pi − ранги уровней;

pn − номера периодов времени.

При полном совпадении рангов уровней, начиная с наименьшего и номеров периодов времени по их хронологическому порядку коэффициент корреляции рангов «+1». Это значение соответствует случаю полной устойчивости возрастания уровней.

При полной противоположности рангов уровней рангам периодов коэффициент корреляции Спирмена равен «-1», что означает полную устойчивость процесса сокращения уровней. При хаотическом чередовании рангов уровней коэффициент близок к нулю, это означает неустойчивость какой либо тенденции.

Например: По данным о числе разводов в Хабаровском крае рассчитать коэффициент корреляции Спирмена и установить, существует ли тенденция в этом динамическом ряду (таблица 24).

Таблица 24 − Расчётная таблица

Год	Уровни, yi	Ранги	Номера лет,	i	pi	pn	2i
		уровней, pi	pn
1999	6856	1	1		0		0
2000	8068	6	2		4		16
2001	9670	11	3		8		64
2002	11034	12	4		8		64
2003	9592	10	5		5		25
2004	7393	4	6		-2		4
2005	6685	2	7		-5		25
2006	7347	3	8		-5		25
2007	8244	8	9		-1		1
2008	8118	7	10		-3		9
2009	8319	9	11		-2		4
2010	7649	5	12		-7		49
Итого	98975	-	-		-		286

Решение

Рассчитаем коэффициент корреляции Спирмена

	n
	6 2i		6 286
	i 1		6 286
1	i 1	1		0,833 .
1	n3 n	1	123 12	0,833 .

Таким образом тенденция роста числа разводов в Хабаровском крае высокоустойчивая и стремится к возрастанию.

4.5. Оценка точности и надёжности прогнозов

Все характеристики определения точности прогнозов можно разделить на три группы − аналитические, качественные, сравнительные.

К аналитическим показателям точности прогноза относят:

1. Абсолютная ошибка прогноза, которая определяется как разность между фактическими и теоретическими уровнями ряда динамики:

p yt yˆt ,

где yt − фактические значения уровня ряда; yˆtp − прогнозные значения.

2. Относительная ошибка прогноза определяется как отношение абсолютной ошибки прогноза;

d p

yt yˆtp

100 или d p

yˆtp

100 .

yˆ

yˆ p

от н

Абсолютная и относительная ошибка прогноза являются проверкой точности прогноза для одномерных рядов динамики, зависящих только от времени, что снижает их значимость, так как на социально-экономическое явление влияет множество факторов.

На практике определяют коэффициент качества прогнозов, который показывает соотношение между числом совпадений прогноза и числом совпавших и несовпавших прогнозов:

K	c	,

	c н

где с − число совпадений прогноза:

н − число прогнозов, не подтверждённых фактическими данными. Коэффициент качества изменяется в пределах от 0 до 1. K 1 означает

полное совпадение прогнозных данных с фактическими.

К сравнительным показателям точности прогноза относят средний показатель точности прогноза квадратическая ошибка прогноза.

Средний показатель точности прогноза рассчитывается как средняя арифметическая простая из абсолютных ошибок и показывает обобщённую оценку степени отклонения фактических и прогнозных значений:

		n				n
	p	p					yt yˆtp		,
		t 1				t 1
		n					n
		n					n
где n − длина временного ряда.
Средняя квадратическая ошибка прогноза определяется по формуле

					n
			( yt yˆt )2					.
	от н			t 1				.
						n

Между средней абсолютной и средней квадратической ошибкой существует примерное соотношение:

от н 1,25 p .

На практике для характеристики точности прогноза определяют среднюю ошибку аппроксимации по формуле:

	1	n	y yˆ p
p			t	t	100 .
p	n		y	t	100 .
		t 1		t

Интерпретация средней ошибки аппроксимации проводится на основе данных таблицы 25.

Таблица 25 − Критерии оценки средней ошибки аппроксимации

	,%	Интерпретация точности


10		Высокая

10 − 20		Хорошая

20 − 50		Удовлетворительная

50		Не удовлетворительная

Г. Тейлом был предложен коэффициент несоответствия как показатель точности прогнозов. Коэффициент несоответствия может быть рассчитан в нескольких модификациях:

1. Коэффициент несоответствия ( KH1) , рассчитываемый как отношение суммы квадратов отклонений фактических и прогнозных значений, к квадрату фактических значений:

			n
			( yˆtp yt )2
		КН1	t 1		.
		КН1	n		.
			yt2
			t 1
КН 0 , если	yˆ p y , то есть		полное	совпадение прогнозных и
	t	t

фактических значений.

КН 1, если при прогнозировании получают среднюю квадратическую ошибку адекватную по величине ошибке, полученной одним из простейших методов экстраполяции при неизменности абсолютных цепных приростов.

КН 1, когда прогноз даёт плохие результаты. Верхней границы коэффициент несоответствия не имеет.

2. Коэффициент несоответствия ( КН2 ), определяемый как отношение суммы квадратов отклонений фактических значений от прогнозных к сумме квадратов фактических значений от среднего уровня исходного временного ряда:

		n
		( yˆtp yt )2
КН 2		t 1		,
КН 2		n		,
		( y yt )2
		t 1
где y − средний уровень временного ряда.
Если КН2 1, то прогноз на	уровне		среднего значения показал бы

лучший результат, чем имеющийся прогноз.

3. Коэффициент несоответствия ( КН3 ) рассчитывается как частное от деления средней квадратической ошибки прогноза и суммы квадратов отклонений фактических уровней временного ряда от теоретических:

	n
	( yˆtp yt )2
КН 3	t 1	,
КН 3	n	,
	( yt yˆt )2
	t 1

где yˆ t − теоретические уровни временного ряда.

Если КН 3 1, то прогноз методом экстраполяции тренда даёт хороший результат прогнозирования.

Задания

Задача 1. По данным о частном жилищном фонде в Хабаровском крае:

Год	Частный жилищный фонд, тыс.	Год	Частный жилищный фонд, тыс.
	кв. м		кв. м
1999	12 722,6	2005	17 916,8
2000	13 598,3	2006	18 790,7
2001	14 369,9	2007	19 206,8
2002	15 159,6	2008	19 794,8
2003	15 830,7	2009	20 975,1
2004	16 684,1	2010	21 870,3

По исследуемому ряду динамики произведите следующее: 1) определите аналитическую форму выражения основной тенденции исследуемого ряда динамики по прямой; 2) определите параметры выбранной функции на основе метода наименьших квадратов.

Задача 2. По данным о числе семей, получивших жилишные условия в Хабаровском крае:

Год	Число семей, получивших жильё	Год	Число семей, получивших жильё
	и улучшивших жилищные		и улучшивших жилищные
	условия		условия
1999	4 144	2005	1 540
2000	5 148	2006	1 495
2001	3 561	2007	1 392
2002	2 848	2008	1 143
2003	2 481	2009	1 094
2004	2 774	2010	1 116

По исследуемому ряду динамики произведите следующее: 1) определите аналитическую форму выражения основной тенденции исследуемого ряда динамики по параболе второго порядка; 2) определите параметры выбранной функции на основе метода наименьших квадратов.

Задача 3. По данным о потреблении фруктов и ягод в расчёте на душу населения в Хабаровском крае:

Год	Потребление фруктов и ягод	Год	Потребление фруктов и ягод
	расчёте на душу населения, кг		расчёте на душу населения, кг
1999	22	2005	63
2000	27	2006	69
2001	32	2007	70
2002	38	2008	69
2003	45	2009	73
2004	53	2010	75

По исследуемому ряду динамики произведите следующее: 1) определите аналитическую форму выражения основной тенденции исследуемого ряда динамики по экспоненте; 2) определите параметры выбранной функции на основе метода наименьших квадратов.

Задача 4. По данным о числе дошкольных учреждений в Хабаровском крае:

Год	Число дошкольных учреждений	Год	Число дошкольных учреждений
1999	461	2005	418
2000	454	2006	419
2001	440	2007	424
2002	430	2008	435
2003	427	2009	437
2004	421	2010	440

По исследуемому ряду динамики произведите следующее: 1) определите аналитическую форму выражения основной тенденции исследуемого ряда динамикина основе кривой Гомперца; 2) произведите прогноз на 3 − 4 периода упреждения.

Задача 5. По данным о числе студентов в самостоятельных государственных высших учебных заведений в Хабаровском крае:

Год	Число студентов в самостоятель-	Год	Число студентов в самостоятель-
	ных государственных высших		ных государственных высших
	учебных заведений, тыс. чел.		учебных заведений, тыс. чел.
1999	54,0	2005	81,8
2000	58,3	2006	82,5
2001	69,3	2007	82,9
2002	76,0	2008	83,1
2003	75,2	2009	83,4
2004	81,1	2010	80,3

По исследуемому ряду динамики произведите следующее: 1) определите аналитическую форму выражения основной тенденции исследуемого ряда динамики по прямой, параболе второго порядка, экспоненте, кривой Гомперца; 2) выберите и обоснуйте модель на основе графического метода; 3) определите параметры выбранной функции на основе метода наименьших квадратов; 4) проверьте правильность выбранного уравнения тренда на основе средней квадратической ошибки; 5) рассчитайте абсолютные и относительные показатели колеблемости; 6) определите тип колебаний методом «поворотных точек»; 7) определите показатель устойчивости числа студентов в динамическом ряду; 8) рассчитайте коэффициент корреляции Спирмена и установите, существует ли тенденция в этом динамическом ряду; 9) на основе выбранного уравнения тренда сделайте прогноз на 3 – 4 периода упреждения; 10) произведите оценку точности полученных прогнозов на основе: абсолютной и относительной ошибки прогноза; средней абсолютной и относительной ошибки; средней квадратической ошибки; коэффициента несоответствия.

Контрольные вопросы и задания к разделу IV

1. Перечислите основные методы выявления типа тенденции.

2.Сформулируйте сущность метода аналитического выравнивания.

3.Какие сглаживающие функции Вы знаете?

4.Каким образом происходит выбор математической модели развития изучаемого явления?

5.В чём особенность построения прогноза и определение доверительных интервалов при реализации метода аналитического выравнивания?

6.Перечислите основные типы колебаний в динамическом ряду.

7.Назовите основные абсолютные и относительные показатели колеблемости.

8.Сформулируйте сущность метода «поворотных точек».

9.Перечислите основные показатели меры устойчивости.

10.В чём особенность расчёта показателя устойчивости тенденции развития социально-экономических процессов?

11.Перечислите показатели, на основе которых можно оценить точность полученных прогнозов.

12.На какие три группы можно разделить характеристики определения надёжности прогнозов?

13.Перечислите основные модификации коэффициенты несоответствия.

5.Изучение сезонных колебаний в динамическом ряду

5.1. Расчёт индексов сезонности

Динамические ряды, состоящие из месячных или квартальных уровней обычно содержат периодические колебания, связанные со сменой времён года, и называются сезонными.

Для выявления интенсивности сезонных колебаний применяют различные способы расчёта индексов сезонности:

1)метод простых средних;

2)метод помесячных отношений;

3)метод скользящих средних.

Метод простых средних состоит в определении простой средней за одни и те же месяцы всего изучаемого периода, а затем в сопоставлении полученных средних со средней за весь изучаемый период.

Например: Имеются данные о механическом движении населения в Хабаровском крае (таблица 26):

Решение

Таблица 26 − Расчётная таблица

Месяц		Сальдо миграции, чел.			Сальдо	Индексы
	2008		2009	2010	миграции в	сезонности,%
					среднем за 3
					года
январь	-17,0		-186,0	-153,0	-118,7	230
февраль	-57,0		71,0	-110,0	-32,0	60
март	69,0		-5,0	71,0	45,0	-90
апрель	263,0		189,0	-463,0	-3,7	10
май	112,0		13,0	-150,0	-8,3	20
июнь	358,0		-34,0	-301,0	7,7	-10
июль	-88,0		-91,0	-379,0	-186,0	360
август	-182,0		-181,0	-358,0	-240,3	460
сентябрь	174,0		14,0	-193,0	-1,7	3,2
октябрь	-179,0		-93,0	-170,0	-147,3	280
ноябрь	164,0		-61,0	-219,0	-38,7	70
декабрь	89,0		416,0	-219,0	95,3	-180

1. Определяем среднемесячный уровень сальдо миграции за 3 года:

yt я нв

yt фев

17 ( 186) ( 153) 118,7 ; 3

57 71 ( 110) 32,0 и т.д. 3

2.	Вычисляем среднюю из среднемесячных уровней:
yt		118,7 ( 32) 45 ( 3,7) ( 8,3) 7,7 ( 186) ( 240,3) ( 1,7) ( 147,3)
		12

( 38,7) 95,3 52,4 .
3.	Находим индексы сезонности:
		I s	yt за м еся ц (кварт ал)	100 ;

			yt

I s я нв	yt я нв	100	188,7	100 230% ;	I s фев	yt фев	100	32	100	60%	и
	yt		52,4			yt		52,4

т.д. (таблица 26).

4. Изобразим сезонную волну на графике (рисунок 4):

			1
	12	6,0	2
	12		2
		4,0
11		2,0	3
		0,0
10		-2,0	4	индекс сезонности
9			5
	8		6
			7

Рисунок 4 – Сезонная волна сальдо миграции в Хабаровском крае

Метод помесячных отношений заключается в том, что вычисляется по каждому году цепные темпы роста месячных уровней, а затем из полученных отношений определяется средняя арифметическая.

Например: По данным предыдущего примера (таблица 26) рассчитаем индексы сезонности методом помесячных отношений:

Решение

Таблица 27 − Расчётная таблица

Месяц	Помесячные отношения,%			Средняя	помесячных
	2008	2009	2010	отношений,%
январь	-	-209,0	-36,8		-122,9
февраль	335,3	-38,2	71,9		123,0
март	-121,1	-7,0	-64,5		-64,2
апрель	381,2	-3780,0	-652,1		-1350,3
май	42,6	6,9	32,4		27,3
июнь	319,6	-261,5	200,7		86,3
июль	-24,6	267,6	125,9		123,0
август	206,8	198,9	94,5		166,7
сентябрь	-95,6	-7,7	53,9		-16,5
октябрь	-102,9	-664,3	88,1		-226,4
ноябрь	-91,6	65,6	128,8		34,3
декабрь	54,3	-682,0			-313,8

1.	Найдем цепные темпы роста:
		Tp фев 57	100 353,3% ;	Tp м арт		69	100 121,1% и т.д.
		Tp фев 57	100 353,3% ;	Tp м арт		57	100 121,1% и т.д.
		17				57
2.	Рассчитаем их среднюю арифметическую:
y		209 ( 36,8)	122,9% ;	y	335,3 ( 38,2) 71,9			123% и т.д.
y	я нв	209 ( 36,8)	122,9% ;	y				123% и т.д.
t	я нв	2		t фев			3
		2					3

(таблица 27).

Метод подвижных или скользящих средних. Главный уровень определяется путём вычисления 12-ти месячных скользящих средних.

Например: Воспользуемся данными о механическом движении населения в Хабаровском крае (таблица 26).

Решение

1. Расчёт 12-членной скользящей средней проведем по формуле средней хронологической:

						y		1/ 2 y1 y2 ... y12			1/ 2 y13	;
										13 1
y				1/ 2 ( 17) ( 57) 69 263 112 358 ( 88) ( 182) 174 ( 179) 164 89 1/ 2
	1									13 1
										13 1
( 186) 51,8 ;
y			1/ 2 ( 57) 69 263 112 358 ( 88) ( 182) 174 ( 179) 164 89 ( 186) 1/ 2 71												50,1
y	2														50,1
	2								13 1
									13 1
и т. д.
		Таблица 28 − Расчётная таблица

Месяц					12-членная скользящая					Индекс колеблемости, %				Индексы
						средняя								сезонности,
					2008	2009	2010			2008	2009		2010	%
январь					-	2,0	-123,2			-	-9110,2		147,4	-4481,4
февраль					-	-4,7	-139,2			-	3625,5		89,3	1857,4
март					-	-7,8	-151,0			-	107,1		-51,0	28,1
апрель					-	-13,5	-160,8			-	-2438,7		306,5	-1066,1
май					-	-9,3	-193,9			-	-96,0		93,3	-1,4
июнь					-	5,7	-214,0			-	365,9		155,3	260,6
июль					51,8	-0,5	-			-169,9	-1594,2		177,1	-708,5
август					50,1	-4,8	-			-363,4	39490,9		-	-882,0
сентябрь					52,3	-28,8	-			332,5	-289,7		-	19563,8
октябрь					46,2	-62,8	-			-387,7	322,5		-	21,4
ноябрь					39,0	-80,7	-			421,0	97,1		-	-32,6
декабрь					18,5	-103,8	-			481,1	-515,4		-	259,1

2. Рассчитаем индекс колеблемости по формуле Kij yij 100 , yi

где i − номер месяца; j − номер года.

K71	88	100 169,9% ;	K81	182	100 363,4% и т.д.
	51,8			50,1

3. Рассчитаем индекс сезонности по формуле I s Kij 100 , m

где m − число индексов колеблемости за месяц.

	I s я нв		Kij		100		- 9 110,2 147,4		-4 481,4 ;

				m			2
				m			2
I s я нв		Kij		100		3 625,5 89,3		1 857,4		и т.д. (таблица 28).
I s я нв		m		100			2	1 857,4		и т.д. (таблица 28).
		m					2

5.2. Модели периодических колебаний

Построение модели сезонной волны позволяет изучать размах сезонных колебаний. Модель периодических колебаний хорошо описывает ряд Фурье:

	m
ˆ	a0 (ak cos kt bk sin kt) ,
yt	a0 (ak cos kt bk sin kt) ,
	k 1

где k − определяет номер гармоники ряда Фурье (обычно от 1 до 4). При решении уравнения параметры определяются на основе

положений метода наименьших квадратов.

Для вычисления параметров уравнения ряда Фурье используют следующие формулы:

a y		;	a	2 y cos kt	; b	2 y sin kt	.

0	n		k	n	k	n

Последовательные значения t (времени) выражаются в радиальной мере или в градусах и определяются от 0 с увеличением (приростом),

равным 2 , n

где n −число уровней эмпирического ряда.

Для изучения сезонности используют n 12 (по числу месяцев в году) или n 4 (по числу кварталов в году).

При n 12 значения представлены в таблице 29.
Таблица 29 − Значения синусов и косинусов n 12 , при k 1,								k 2

t	cos t	cos 2t	cos3t	cos 4t	sin t	sin 2t	sin 3t		sin 4t
0	1	1	1	1	0	0	0		0
/ 6	0,866	0,5	0	-0,5	0,5	0,866	1		0,866
/ 3	0,5	-0,5	-1	-0,5	0,866	0,866	0		-0,866
/ 2	0	-1	0	1	1	0	-1		0
2 / 3	-0,5	-0,5	1	-0,5	0,866	-0,866	0		0,866
5 / 6	-0,866	0,5	0	-0,5	0,5	-0,866	1		-0,866
	-1	1	-1	1	0	0	0		0
7 / 6	-0,866	0,5	0	-0,5	-0,5	0,866	-1		0,866
4 / 3	-0,5	-0,5	1	-0,5	-0,866	0,866	0		-0,866
3 / 2	0	-1	0	1	-1	0	1		0
5 / 3	0,5	-0,5	-1	-0,5	-0,866	-0,866	0		0,866
11 / 6	0,866	0,5	0	-0,5	-0,5	-0,866	-1		-0,866

На практике при выравнивании ряда Фурье обычно рассчитывают не более 4 гармоник, а затем определяют гармонику, которая наилучшим образом описывает периодичность изменений уровней динамического ряда.

Так при k 1: yˆtI a0 a1 cost b1 sin t ;

k 2 : yˆtII a0 a1 cost b1 sin t a2 cos 2t b2 sin 2t ;

k 3 : yˆtIII a0 a1 cost b1 sin t a2 cos 2t b2 sin 2t a3 cos3t b3 sin 3t ;

k 4 :

yˆtIV a0 a1 cost b1 sin t a2 cos 2t b2 sin 2t a3 cos3t b3 sin 3t a4 cos 4t b4 sin 4t .

Остаточные дисперсии ост2	( y	yˆ	)2	, рассчитанные по каждой из
	t	t
		n
		n

четырёх гармоник, позволяют сделать вывод, какая гармоника Фурье лучше описывает периодичность изменений в исследуемом временном ряду.

Например: По данным о механическом движении населения в Хабаровском крае (таблица 26) определить модель сезонной волны, рассчитав четыре гармоники ряда Фурье.

Решение

1. Рассчитаем показатели, необходимые для получения уравнения по первой гармонике (таблица 29):

1886

52,4 ; a

2 y cos t

2 995,5

27,7 ;

2 y sin t

2 812

45,1.

Отсюда уравнение первой гармоники yˆ I a

a cost b sin t имеет вид:

yˆ I

52,4 27,7 cost 45,1sin t

2. Определим теоретические значения первой гармоники:

ˆ I

52,4 27,7 1

45,1 0 24,7 ;

y(0)

ˆ I

52,4 27,7

0,866 45,1 0,5 -5,3 ;

y( / 6)

y( / 3)

52,4 27,7 0,5 45,1 0,866 1,4 и т.д. (таблица 30).

ˆ I

3. Рассчитаем уравнение второй гармоники

yˆ II

cost b sin t a

cos 2t b

sin 2t .

Находим параметры a2 и b2 :

2 cos 2t

2 (-709,5)

39,4 ;

2 y sin 2t

2 ( 740,4)

41,1;

yˆ II

52,4 27,7 cost 45,1sin t 39,4cos 2t 41,1sin 2t .

4. Определим теоретические значения второй гармоники:

yˆ II

52,4 27,7 1 45,1 0 39,4 1 41,1 0 64,2

52,4 27,7 0,866 45,1 0,5 39,4 0,866 41,1 0,5 61,2 и т.д. (таблица

y( / 6)

ˆ II

30).

5. Рассчитаем уравнение третьей гармоники:


yˆ III a		0	a		cost b		sin t a		2	cos 2t b			sin 2t a	3	cos3t b sin 3t :
t		0	1		1				2		2			3			3
a				3 cos 3t		3 153		12,8 ;			b	3 sin 3t				3 (-69)	5,8 ;
	3				n		36				3		n		36
					n		36						n		36

yˆtIII 52,4 27,7 cost 45,1sin t 39,4cos 2t 41,1sin 2t 12,8cos3t 5,8sin 3t .

6. Найдём теоретические значения третьей гармоники:

yˆ(III0) 52,4 27,7 1 45,1 0 39,4 1 41,1 0 12,8 1 5,8 0 51,4 ;

ˆ III				52,4		27,7 0,866 45,1 0,5 39,4 0,5 41,1 0,866 12,8 0 5,8 1 67 и
y( / 6)
т.д. (таблица 30).
7. Определим уравнение четвёртой гармоники
yˆ IV		a		0	a cost b sin t a			2	cos 2t b		sin 2t a		cos3t b		sin 3t a	4	cos 4t b sin 4t ;
t					1	1				2	3		3				4
a			4 cos 4t				4 ( 576,4)	64		; b		4 sin 4t		4 171,5	19,1;
	4
					n	36				4		n	36

yˆtIV 52,4 27,7 cost 45,1sin t 39,4cos 2t 41,1sin 2t 12,8cos3t 5,8sin 3t 64cos 4t

19,1sin 4t .

8.Рассчитаем теоретические значения четвёртой гармоники:

yˆ(IV0) 52,4 27,7 1 45,1 0 39,4 1 41,1 0 12,8 1 5,8 0 64 1 19,1 0 115,4 ; yˆ(IV/ 6) 52,4 27,7 0,866 45,1 0,5 39,4 10,5 41,1 0,866 12,8 0 5,8 1 64 ( 0,5)

19,1 0,866 18,4 и т.д. (таблица 30).

9.Сальдо миграции наилучшим образом описывается уравнением параболы второго порядка вида yˆt 57,1 2,5t 0,35t 2 .

10.Рассчитаем вклад в дисперсию каждой гармоники (таблица 31).

;

27,72 45,12 1 400,7 ;

( 39,4)2 ( 41,1)2

1 620,8 и т.д.

Вклад

дисперсию

определяется

по

формуле:

с2

1 400,72

980 910,2 и т.д. (таблица 31).

Вклад отдельный определяется:

9 80910,2	100 42,3% ;	1313 472,0	100 56,6% (таблица 31)
2 319 838,2		2 319 838,2

Таблица 30 − Расчётные данные для определения четырёх гармоник Фурье

Месяц	Сальдо	t	y cos t		y sin t			I	y cos 2t		y sin 2t			II	y cos 3t		y sin 3t			III	y cos 4t		y sin 4t		IV
	мигра-						yˆt						yˆt						yˆt						yˆt

	ции,
	чел. yt

2008
	-17,0	0		-17		0		-24,7		-17		0		-64,2		-17		0		-51,4		-17		0	-115,4
январь

февраль	-57,0	/ 6		-49,4		-28,5		-5,3		-28,5		-49,4		-61,2		0		-57		-67,0		24,7		-42,7	-18,4
март	69,0	/ 3		34,5		59,8		1,4		-34,5		59,8		-15,4		-69		0		-28,2		-17,3		-29,9	-12,6
апрель	263,0	/ 2		0		263		-7,3		-263		0		32,1		0		-263		37,9		0,0		0,0	-26,2
май	112,0	2 / 3		-56		97,0		-27,1		-56		-97,0		28,2		112		0		40,9		28,0		-48,5	89,5
июнь	358,0	5 / 6		-310,0		179		-53,8		179		-310,0		-37,9		0		358		-43,6		155,0		268,5	-28,1
июль	-88,0			88		0		-80,0		-88		0		-119,5		88		0		-132,2		88,0		0,0	-196,3
август	-182,0	7 / 6		157,6		91		-98,9		-91		-157,6		-154,2		0		182		-148,5		-78,8		136,5	-100,0
сентябрь	174,0	4 / 3		-87		-150,7		-105,3		-87		150,7		-121,2		174		0		-108,4		43,5		75,3	-92,9
октябрь	-179,0	3 / 2		0		179		-97,5		179		0		-58,1		0		-179		-63,8		0,0		0,0	-127,9
ноябрь	164,0	5 / 3		82		-142,0		-77,6		-82		-142,0		-22,3		-164		0		-35,0		-41,0		71,0	13,5
декабрь	89,0	11 / 6		77,1		-44,5		-51,0		44,5		-77,1		-35,1		0		-89		-29,3		-38,5		-66,7	-13,8

2009
январь	-186,0	0		-186		0		-24,7		-186		0		-64,2		-186		0		-51,4		-186		0	-652,7
февраль	71,0	/ 6		61,5		35,5		-5,9		35,5		61,5		-61,2		0		71		-67,0		-35,5		53,2	-18,4
март	-5,0	/ 3		-2,5		-4,3		0,5		2,5		-4,3		-15,4		5		0		-28,2		2,5		2,2	-12,6
апрель	189,0	/ 2		0		189		-7,3		-189		0		32,1		0		-189		37,9		189		0,0	-26,2
май	13,0	2 / 3		-6,5		11,3		-27,1		-6,5		-11,3		28,2		13		0		40,9		-6,5		-5,6	89,5
июнь	-34,0	5 / 6		29,4		-17		-53,8		-17		29,4		-37,9		0		-34		-43,6		17		-25,5	-28,1
июль	-91,0			91		0		-80,0		-91		0		-119,5		91		0		-132,2		-91		0,0	-196,3
август	-181,0	7 / 6		156,7		90,5		-98,9		-90,5		-156,7		-154,2		0		181		-148,5		90,5		135,7	-100,0
сентябрь	14,0	4 / 3		-7		-12,1		-105,3		-7		12,1		-121,2		14		0		-108,4		-7		6,1	-92,9
октябрь	-93,0	3 / 2		0		93		-97,5		93		0		-58,1		0		-93		-63,8		-93		0,0	-127,9

ноябрь	-61,0	5 / 3	-30,5	52,8	-77,6	30,5	52,8	-22,3	61	0	-35,0	30,5	-26,4	13,5
декабрь	416,0	11 / 6	360,3	-208	-51,0	208	-360,3	-35,1	0	-416	-29,3	-208	-312,0	-13,8
2010
	-153,0	0	-153	0	-24,7	-153	0	-64,2	-153	0	-51,4	-153	0	-115,4
январь	-153,0	0	-153	0	-24,7	-153	0	-64,2	-153	0	-51,4	-153	0	-115,4
январь
февраль	-110,0	/ 6	-95,3	-55	-5,9	-55	-95,3	-41,0	0	-110	-67,0	55	-82,5	-18,4
март	71,0	/ 3	35,5	61,5	0,5	-35,5	61,5	-35,6	-71	0	-28,2	-35,5	-30,7	-12,6
апрель	-463,0	/ 2	0	-463	-7,3	463	0	-8,3	0	463	37,9	-463	0,0	-26,2
май	-150,0	2 / 3	75	-129,9	-27,1	75	129,9	8,0	-150	0	40,9	75	65,0	89,5
июнь	-301,0	5 / 6	260,7	-150,5	-53,8	-150,5	260,7	-17,7	0	-301	-43,6	150,5	-225,7	-28,1
июль	-379,0		379	0	-80,0	-379	0	-79,0	379	0	-132,2	-379	0,0	-196,3
август	-358,0	7 / 6	310,0	179	-98,9	-179	-310,0	-134,0	0	358	-148,5	179	268,5	-100,0
сентябрь	-193,0	4 / 3	96,5	167,1	-105,3	96,5	-167,1	-141,4	-193	0	-108,4	96,5	-83,6	-92,9
октябрь	-170,0	3 / 2	0	170	-97,5	170	0	-98,5	0	-170	-63,8	-170	0,0	-127,9
ноябрь	-219,0	5 / 3	-109,5	189,7	-77,6	109,5	189,7	-42,5	219	0	-35,0	109,5	-94,8	13,5
декабрь	-219,0	11 / 6	-189,7	109,5	-51,0	-109,5	189,7	-14,9	0	219	-29,3	109,5	164,2	-13,8
Итого	-1886	-	995,5	812,0	-1884,5	-709,5	-740,4	-1926,4	153	-69	-1886,0	-576,4	171,5	-2423,2

Таблица 31 − Распределение дисперсии между гармониками

k	ak	bk	ck	Вклад	в	Вклад, %
				дисперсию		отдельный	суммарный
1	27,7	45,1	1400,7	9 80910,2		42,3	42,3
2	-39,4	-41,1	1620,8	1 313 472,0		56,6	98,9
3	12,8	-5,8	98,7	4 874,8		0,2	99,1
4	-6,4	19,1	202,9	20 581,2		0,9	100,0
Итого	-	-	-	2 319 838,2		100,0	-

Результаты расчётов свидетельствуют о том, что вторая гармоника наилучшим образом описывает исследуемый процесс.

11. Периодическая модель имеет вид:

	yˆ	t	(57,1 2,5t 0,35t 2 ) 27,7 cos t 45,1sin t 39,4 cos 2t 41,1sin 2t , а прогноз
		t
можно осуществлять, используя формулу:
yˆ	t l		(57,1 2,5t 0,35t 2 ) 42,4 27,7 cos t 45,1sin t 39,4 cos 2t 41,1sin 2t .
	t l

Прогноз на январь 2012 года будет составлять:

yˆ37 (57,1 2,5 37 0,35 372 ) 27,7 1 45,1 0 39,4 1 41,1 0 341.

Прогноз на февраль 2012 года:

yˆ38 (57,1 2,5 38 0,35 382 ) 27,7 0,866 45,1 0,5 39,4 0,5 41,1 0,866 362 .

5.3. Модели автокорреляции и авторегрессии

Наличие автокорреляции приводит к искажению средних квадратических ошибок коэффициентов регрессии и затрудняет построение доверительных интервалов, а также проверку их значимости по соответствующим критериям. Кроме того, автокорреляция может привести к сокращению числа наблюдений. Возникает автокорреляция в отклонениях от трендов, а также в случайных остатках уравнений регрессии, построенных по многомерным рядам динамики.

Автокорреляция – это корреляционная зависимость между последовательными (соседними) значениями уровней временного ряда.

Для оценки этой степени зависимости вычисляют коэффициенты автокорреляции между уровнями исходного ряда и уровнями того же ряда, но со сдвинутыми на шагов во времени.

r		yt yt		yt * yt		,
r		y				,
yt yt		y		* y
yt yt
			t		t
где yt уровни исходного ряда;
yt уровни того же динамического ряда,							но сдвинутые на	шагов
во времени;
величина лага, принимающая значения 1, 2, 3 и т.д. и
определяющая порядок	коэффициента						автокорреляции.	При

1 рассчитывают коэффициент автокорреляции первого порядка ( ra1 ), т.е. оценивается корреляция текущих значений временного ряда

( yt ) с предшествующими значениями ( yt 1 ).

С увеличением величины лага ( ) увеличивается порядок

автокорреляции:
ra2	автокорреляция второго порядка;
ra3	автокорреляция третьего порядка;
……..
ra автокорреляция порядка .

Значения		коэффициента	автокорреляции	изменяются	в пределах
1 ra 1.		Чем ближе его	значения к 1,	тем сильнее	зависимость

текущих уровней динамического ряда от предыдущих.

При анализе временных рядов необходимо знать: существует автокорреляция в уровнях ряда или нет. Самым распространенным методом проверки автокорреляции является критерий Дарбина − Уотсона.

Критерий Дарбина – Уотсона оценивает автокорреляцию остатка. Если автокорреляция в остатках ( yt yˆt ) отсутствует, то уравнение пригодно для прогноза.

При построении уравнения тренда предполагается, что lt yt yˆt представляют собой случайные величины, независимые переменные, среднее значение которых равно нулю ( lt 0 ). Это предположение имеет место, если вид функции выбран правильно. В противном случае наблюдается корреляция остатков за текущий ( lt ) и предыдущий ( lt 1 ) моменты времени.

О наличии или отсутствии автокорреляции остатков свидетельствует критерий Дарбина − Уотсона:

d(lt lt 1 )2 .

lt2

Сравнивая фактическое значение ( d ) с табличным при заданном n (число уровней динамического ряда) и m (числе параметров при t в уравнениях тренда), можно определить наличии или отсутствии автокорреляции в остатках.

При отсутствии автокорреляции	d 2 .	d 0 при наличии сильной
положительной автокорреляции и	d 4	при сильной отрицательной
автокорреляции.

Если автокорреляция отсутствует, то d 2 , при сильной положительной автокорреляции d 0 , в случае сильной отрицательной автокорреляции

d 4 .

Значения критерия Дарбина − Уотсона при 5% уровне значимости представлены в приложении А. В этой таблице d u верхняя доверительная граница критерия Дарбина − Уотсона, d l − нижняя.

Использование в практических расчётах критерия Дарбина − Уотсона основано на сравнении величины d , рассчитанной по формуле с теоретическими значениями d u и d l , взятыми из таблицы.

Если расчётное значение d находится в интервале от d u до ( 4 du ), то

гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется,							если же dl d du
или 4 du	d 4 dl ,			то нет статистических оснований ни принять ,				ни
отклонить	эту		гипотезу		(область неопределённости).		Если d dl	или
d 4 dl , то это указывает на наличие автокорреляции.

		_______________________________________________
есть			?
	dl			d u	нет 4 du	? 4 dl есть
(+)						(-)

По длинному динамическому ряду можно определить серию коэффициентов автокорреляции, последовательно увеличивая величину лага: ra1 , ra2 , ra3 ,...,ra . Последовательность значений автокорреляции

называют автокорреляционной функцией. Эта функция даёт представление о внутренней структуре динамического ряда. С помощью автокорреляционной функции можно определить наличие или отсутствие в ряду динамики периодических колебаний и соответственно величину периода колебаний: он равен величине лага , при которой коэффициент автокорреляции наибольший.

Одним из важных вопросов анализа авторегрессии является определение порядка авторегрессионной модели. Низкий порядок модели может дать существенные результаты, так как в модели не использована важная информация за предыдущие моменты времени. Повышение порядка авторегрессионной модели может привести к снижению качества модели, поэтому анализ авторегрессии не ограничивается построением только одной модели, строится несколько моделей, по которым определяется её порядок. Сначала строится уравнение авторегрессии первого порядка:

yˆt a0 a1 yt 1 ,

и для неё находится коэффициент автокорреляции. Затем строится модель второго порядка:

yˆt a0 a1 yt 1 a2 yt 2 .

Для неё рассчитывается совокупный коэффициент автокорреляции R1 . Если R1 будет превышать r1 , то переходят к построению модели третьего порядка. Для этой модели также рассчитывается совокупный коэффициент автокорреляции R2 , который сравнивается с предыдущим. Эти расчёты повторяются до тех пор, пока множественный коэффициент автокорреляции практически станет неизменным при добавлении очередных уровней. Коэффициент множественной автокорреляции определяется по формуле

Rk r1 1 r2 2 ... rk k ,

где i коэффициенты регрессии в стандартизованном масштабе; ri парные коэффициенты корреляции.

Выбранная модель может быть использована при краткосрочном прогнозировании.

При анализе временных рядов иногда исследуется наличие или отсутствие автокорреляции между отклонениями фактических и выравненных уровней.

Если ra 0,3 необходимо проверять наличие автокорреляции в остатках с помощью коэффициента Дарбина − Уотсона для остаточных величин:

d t t 1 2 ,

где t отклонения эмпирических значений уровней от теоретических, полученных по уравнению тренда.

Если в рядах динамики или в остаточных величинах имеется автокорреляция, то оценки коэффициентов регрессии, полученные методом наименьших квадратов, будут несмещёнными, но неэффективными, так как наличие автокорреляции увеличивает дисперсии коэффициентов регрессии и затрудняет построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии и проверку их значимости.

Следовательно, прежде чем проводить корреляционно-регрессионый анализ временных рядов, необходимо исключить из исследуемых рядов автокорреляцию.

Существует четыре способа исключения автокорреляции:

1. Метод последовательных или конечных разностей. Модель имеет вид:

yt 1 a0 a1 x1,t 1 a2 x2,t 1 ... ak xk ,t 1 .

Сущность метода заключается в последовательном исключении величины предшествующих уровней из последующих:

x xi xi 1 ;	y1	yt yt 1 ;
y yi yi 1 ;		. . .

x1 xt xt 1 ;

x2 xt 1 xt 2 .

При коррелировании разностей измеряется теснота связи между разностями последовательных величин уровней в каждом динамическом

ряду. Коэффициент корреляции разностей показывает тесноту связи между изучаемыми рядами

r x y	x	y	.

	2x	2y

2. По отклонениям фактических значений уровней от теоретических, выравненных на основе тренда. Полученную модель можно представить следующим образом:

y yt a0 a1 x1 x1t a2 x2 x2t ak xk xk .

Если установлено наличие корреляции между эмпирическими и выравненными уровнями необходимо:

1)осуществить аналитическое выравнивание сравниваемых рядов по любому рациональному многочлену;

2)рассчитать отклонения эмпирических уровней от полученных теоретических значений;

3)определить коэффициент корреляции отклонений по формуле

r	d x		d y	,
r				,
d x d y		d x2 d y2
		d x2 d y2


где d y yi yt			d x xi	xt .

Коэффициент корреляции отклонений характеризует степень связи между отклонениями фактических уровней сравниваемых рядов от соответствующих им выравненных уровней коррелируемых рядов динамики.

5.4. Построение многофакторных моделей по динамическим рядам

При построении многофакторных моделей динамических рядов вводится время как дополнительный факторный признак. Тогда парные связи обращаются в связи многофакторные и расчёты коэффициента корреляции и уравнения регрессии проводятся методом множественной корреляции.

Коэффициент корреляции рассчитывается как множественный:

R 1 ост ,


		yi			1,2,t 2
где	ост	yi		y	1,2,t 2	.
где	ост		n			.
			n

2ост остаточная дисперсия;

2y общая дисперсия.

При построении многофакторных моделей по динамическим рядам возникает проблема мультиколлинеарности. Под мультиколлинеарностью понимают наличие сильной корреляционной зависимости между факторами. Мультиколлинеарность возникает вне зависимости от связи между результативным и факторным признаками. Она искажает величину тесноты связи и оценки её статистической значимости.

В практических расчётах выделяют связи парные коэффициенты, которых по абсолютной величине больше 0,8, и исключают из модели мультиколлинеарные факторы. Кроме того, фактор можно отнести к числу мультиколлинеарных, если коэффициент корреляции, характеризующий зависимость результативного признака от этого фактора больше, чем коэффициент множественной корреляции между результативным признаком и множеством остальных факторов.

Очистив уровни ряда динамики от автокорреляции и мультиколлинеарности можно приступать к построению модели.

Зависимость результативного признака экономического явления от ряда факторных может быть записана уравнением:

yt a0 a1 x1t a2 x2t ak xk ,

( t 1,2,...,k ) .

Параметры этого уравнения находятся по способу наименьших квадратов и показывают, как меняется во времени действие отдельных факторов на результативный признак анализируемого социальноэкономического явления.

Следует отметить, что использование данного уравнения с большим числом факторных признаков требует использовать ряды в 6 − 7 раз больше, чем число факторов.

Задания

Задача 1. По представленным данным об индексах потребительских цен на товары и услуги в Хабаровском крае рассчитать индекс сезонности методом простых средних. Изобразить сезонную волну на графике. Сделать выводы.

Месяц	2008	2009	2010
январь	102,3	103,55	101,31
февраль	101,1	101,83	101,06
март	101,3	100,67	100,61
апрель	101,5	100,26	101,02
май	100,9	100,19	100,68
июнь	100,7	100,18	100,92
июль	101,6	100,88	100,66
август	100,4	100,03	100,00
сентябрь	101,0	100,64	100,00
октябрь	100,6	100,30	100,07
ноябрь	101,0	100,29	100,68
декабрь	101,0	100,29	100,86

Задача 2. По данным о числе родившихся в Хабаровском крае рассчитать индекс сезонности методом помесячных отношений. Изобразить сезонную волну на графике. Сделать выводы.

Месяц	2008	2009	2010
январь	1 461	1 383	1 380
февраль	1 302	1 361	1 370
март	1 295	1 487	1 590
апрель	1 423	1 434	1 368
май	1 339	1 296	1 249
июнь	1 265	1 387	1 482
июль	1 650	1 676	1 416
август	1 513	1 507	1 523
сентябрь	1 493	1 550	1 547
октябрь	1 581	1 519	1 459
ноябрь	1 269	1 440	1 458
декабрь	1 509	1 569	1 522
		83

Задача 3. По представленным данным о числе зарегистрированных браков в Хабаровском крае рассчитать индекс сезонности методом скользящих средних. Изобразить сезонную волну на графике. Сделать выводы.

Месяц	2008	2009	2010
январь	586	590	681
февраль	712	736	716
март	920	773	822
апрель	965	1 002	1 231
май	576	473	473
июнь	1 202	1 195	1 265
июль	1 175	1 341	1 558
август	1 939	1 587	1 498
сентябрь	1 420	1 548	1 507
октябрь	1 079	1 175	1 432
ноябрь	943	832	879
декабрь	963	1 092	977

Задача 4. По имеющимся данным о выполнении работ и услуг собственными силами по виду деятельности строительство определить модель сезонной волны, рассчитав четыре гармоники ряда Фурье. Построить периодическую модель и осуществить помесячный прогноз на

2011 год.

Месяц	2008		2009		2010
январь		1735,4		1490,2	3268,6
февраль		1678,1		1370,9	4297,7
март		1845,3		2303	4451,4
апрель		4690,5		2067,9	6453,8
май		2997,5		2781,5	5201,7
июнь		3766,7		3766,4	5114,3
июль		4131,3		3300,6	7103,4
август		3882,8		3814,4	6911,5
сентябрь		2985,4		3572	8342,9
октябрь		3672,9		4044,9	5339,2
ноябрь		3509,4		3749,4	4824,7
декабрь		2752,6		6540,2	5824,9

Контрольные вопросы и задания к разделу V

1.В чём особенности изучения сезонного компонента?

2.Назовите основные методы выявления сезонного компонента.

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20221.19 Mб45302.pdf
#
13.11.20221.19 Mб35303.pdf
#
13.11.20221.19 Mб75304.pdf
#
13.11.20221.2 Mб15305.pdf
#
13.11.20221.2 Mб05306.pdf
#
13.11.20221.2 Mб05307.pdf
#
13.11.20221.2 Mб15308.pdf
#
13.11.20221.2 Mб85309.pdf
#
13.11.20221.2 Mб45310.pdf
#
13.11.20221.2 Mб15311.pdf
#
13.11.20221.2 Mб45312.pdf