Тренд − это некоторая аналитическая функция, которая описывает общую тенденцию развития явления на базе лишь одного фактора – фактора времени (t). Тренд не полностью воспроизводит характер тенденции развития и не может рассматриваться как закон развития явления.

Закон развития явления — выражает сущность, природу явления, не поддающуюся описанием тренда.

Временные ряды, в которых можно установить тенденцию и случайный компонент, можно выразить уравнением вида

yˆt f (t) (t) ,

где − некоторая функция времени, описывающая тенденцию временного ряда, называется трендом;

− случайная величина ( случайный компонент ).

Функция определяет общую тенденцию развития изучаемого явления. Для построения модели и прогноза социально-экономических явлений необходимо осуществить проверку гипотезы о наличии тенденции

висходном временном ряду.

1.2.Моделирование тенденции

Анализ и моделирование тенденции временного ряда целесообразно начинать с выявления наличия тенденции. Для этой цели наиболее эффективны такие методы как метод Фостера − Стюарта, критерий серий, кумулятивный Т-критерий и фазочастотный критерий знаков разностей отклонений Валлиса и Мура.

Основные подходы к выявлению тенденции основаны на статистической проверке гипотез о случайности ряда.

Наиболее часто в практике анализа временных рядов используются критерии проверки "наличия-отсутствия" тренда: метод Фостера – Стюарта и критерий серий, основанный на медиане выборки.

Гипотеза о наличии тенденции процесса может быть проверена с помощью метода Фостера − Стюарта. Этот метод может быть реализован в виде следующих этапов:

5

1. Каждый уровень ряда сравнивается со всеми предшествующими, при этом определяются значения вспомогательных характеристик mt и lt :

Величина d t может принимать значения 0; 1; -1.

n

3. Рассчитывается характеристика D d t .

t 2

4. С помощью t -критерия Стьюдента проверяется гипотеза о том, что можно считать случайной разность D 0 (т.е. ряд можно считать случайным, не содержащим тренд). Для этого определяется

6

tнабл. tт абл. , то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

Например: Изменение числа родившихся в Хабаровском крае представлено в таблице 2:

Таблица 2 − Число родившихся в Хабаровском крае, чел.

Проверить утверждение об отсутствии тенденции в изменении числа родившихся с помощью метода Фостера – Стюарта. Доверительную вероятность принять равной 0,95.

Решение

Вспомогательные вычисления по методу Фостера − Стюарта представлены в таблице 3.

Таблица 3 − Вспомогательные вычисления по методу Фостера − Стюарта

7

12

3. D d t 8 .

t 2

4. Значение D для n 12 берём из таблицы 1.

tнабл. 3,923 tт абл. 2,201, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается. С

вероятностью 0,95 тренд во временном ряду имеет место быть.

Критерий серий, основанный на медиане выборки, реализуется по

серией понимается последовательность подряд идущих плюсов или минусов. Один плюс или один минус тоже будет считаться серией. Определяется max (n) − протяжённость самой длинной серии.

5. Проверка гипотезы основывается на том, что при условии случайности ряда должны выполняться следующие неравенства (для 5% уровня значимости)

Если хотя бы одно из неравенств нарушается, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

Квадратные скобки в правой части неравенства означают целую часть числа. Целая часть числа A − [A] − это целое число, ближайшее к А и не превосходящее его.

Например: Проверим гипотезу об отсутствии тенденции в изменении числа родившихся (таблица 2) с помощью критерия серий, основанного на медиане выборки. Вспомогательные вычисления представлены в таблице

4.

Таблица 4 − Вспомогательные вычисления для критерия серии

1. От исходного ряда yt переходим к ранжированному y|t , расположив значения исходного ряда в порядке возрастания;

2. Так как n 12 (чётное), следовательно, медиана

4.(12) 4 − число серий;

max (12) 5 − протяжённость самой большой серии. Делаем проверку:

9

Оба неравенства выполняются, следовательно, с вероятностью 0,95 имеется тренд во временном ряду, что согласуется с выводом, сделанным с помощью метода Фостера − Стюарта.

Кумулятивный Т-критерий позволяет определить наличие не только самой тенденции, но и её математического выражения — тренда. Выдвигается основная гипотеза ( H 0 : ) об отсутствии тенденции в исходном временном ряду.

Расчётное значение критерия определяется как отношение накопленной суммы квадратов отклонений эмпирических значений уровней временного ряда от их среднего значения ( Z2n ) и самих отклонений по формуле

Z n2

T n ,

где Z n − накопленный итог отклонений эмпирических значений от среднего уровня исходного временного ряда;

y2 − общая сумма квадратов отклонений, определяемая по

Если анализируется достаточно длинный временной ряд, то для расчёта значений критерия можно использовать нормированное отклонение:

10

существует тенденция, описываемая трендом. В противном случае, если tнабл. tт абл. , признается отсутствие тенденции в ряду динамики.

Например: Проверим гипотезу об отсутствии тенденции в изменении числа действующих строительных организаций в Хабаровском крае (таблица 5) кумулятивного T-критерия.

Решение

Таблица 5 − Вспомогательные вычисления по методу кумулятивному Т- критерию

1. Рассчитываем среднюю величину и дисперсию числа действующих строительных организаций:

11

3. Рассчитываем значения критерия:

тренда отвергается, следовательно в изменении числа действующих строительных организаций в Хабаровском крае существует тенденция, описываемая трендом.

Фазочастотный критерий знаков разностей Валлиса и Мура

также позволяет определить наличие основной тенденции в целом во временном ряду и относится к группе непараметрических методов оценивания тенденции.

Выдвигается основная гипотеза ( H 0 : ) о том, что знаки разностей между ( yi 1 yi ) образуют случайную последовательность. При этом формируется понятие фазы как последовательности одинаковых знаков разностей.

Если знаки при определении числа фаз (без 1-й и последней) образуют случайную последовательность, то расчётное значение критерия определяется по формуле

где tнабл. − фазочастотный критерий разностей;

n − число уровней ряда, которое распределено нормально; h − число фаз.

Если расчётное значение ( tнабл. ) критерия превысит табличное tт абл.

при заданном уровне значимости , то гипотеза H 0 : о том, что знаки разностей между последовательными уровнями временного ряда образуют случайную последовательность, отвергается. Следовательно, уровни исходного временного ряда не образуют случайную последовательность, а

12

имеют определённую закономерность в их изменении, а следовательно, в ряду существует тенденция.

При больших выборках ( n 30 ) поправка на непрерывность может быть опущена и формула расчёта будет следующая:

Если tнабл. 3 , следовательно, данная последовательность случайна. Например: Изменение численности экономически активного

населения в Хабаровском крае представлено в таблице 6:

Таблица 6 − Численность экономически активного населения в Хабаровском крае, тыс.чел.

Проверить утверждение об отсутствии тенденции в изменении численности экономически активного населения с помощью метода Фазочастотного критерия знаков разностей Валлиса и Мура. Доверительную вероятность принять равной 0,95.

13

Решение

1. Находим знаки отклонений ( yi 1 yi ) и проставляем нумерацию фаз

( h 2 ).

2. Рассчитаем tнабл. :

отвергается. Следовательно, численность экономически активного населения не образуют случайную последовательность, а имеют определённую закономерность в их изменении, а следовательно, в ряду существует тенденция.

1.3. Основные показатели динамики экономических явлений

Для анализа ряда динамики явлений применяются статистические показатели: абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста, причём они могут разделяться на цепные, базисные и средние.

Для получения обобщающих показателей динамики развития определяются средние величины: средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста.

Описание динамики ряда с помощью среднего прироста соответствует его представлению в виде прямой, проведённой через две крайние точки. В этом случае, чтобы получить прогноз на один шаг вперёд, достаточно к последнему наблюдению добавить значение среднего абсолютного прироста.

уˆn 1 уn ,

где yn − фактическое значение в последней n -й точке ряда; yˆ n 1 − прогнозная оценка значения уровня в точке n 1;

14

y - значение среднего прироста, рассчитанное для временного ряда y1 , y2 , ... , yn :

y n y1 . n 1

Например: По данным таблицы о числе крупных и средних сельхозорганизаций в Хабаровском крае (таблица 7) рассчитаем цепные абсолютные приросты ( уц уi yi 1 ).

Таблица 7 − Число крупных и средних сельскохозяйственных предприятий в Хабаровском крае

Цепные абсолютные приросты примерно одинаковы Они незначительно варьируют от -6 до 3, что свидетельствуют о близости линейному процессу развития. Поэтому можно рассчитать прогнозные значения:

Применение среднего темпа роста (и среднего темпа прироста) для описания динамики ряда соответствует показательной или экспоненциальной кривой, проведённой через две крайние точки. Поэтому использование этого показателя в качестве обобщающего целесообразно для тех процессов, изменение динамики которых происходит примерно с

15

постоянным темпом роста. В этом случае прогнозное значение на i шагов вперед может быть получено по формуле

Т р − средний темп роста, рассчитанный для ряда y1 , y2 , ... , yn (не в % выражении).

Например: По данным о вводе в действие жилых домов в Хабаровском крае постройте прогноз на 2011 − 2013 гг. методом среднего темпа роста (таблица 8).

Таблица 8 − Ввод в действие жилых домов, тыс. кв. м

Решение

1. Рассчитаем средний темп роста

2. Определим прогноз по формуле

yˆ2012 315,1*1,08322 369,7 ; yˆ2013 315,1*1,08323 400,5 .

16

Задания

Задача 1. Представлены данные о числе больничных учреждений в Хабаровском крае.

Требуется проверить утверждение об отсутствии тенденции в изменении числа больничных учреждений в Хабаровском крае с помощью метода Фостера − Стьюарта. Доверительную вероятность принять равной

0,95.

Задача 2. По имеющимся данным о числе зарегистрированных преступлений в Хабаровском крае определить наличие основной тенденции с помощью критерия серий, с уровнем значимости 0,05

Задача 3. Представлены данные об экспорте внешней торговли и международных услуг в Хабаровском крае.

17

исследуемом ряду на основе кумулятивного Т-критерия. Доверительную вероятность принять равной 0,95.

Задача 4. По имеющимся данным о перевезённых грузов автомобильным транспортом в Хабаровском крае определить наличие основной тенденции с помощью метода фазочастотного критерия знаков разностей Валлиса и Мура. Доверительную вероятность принять равной

0,95.

Задача 5. По имеющимся данным о потреблении яйца и яйцепродуктов в Хабаровском крае построить график и рассчитать прогноз на 2011 − 2013 гг. на основе среднего абсолютного прироста.

18

Задача 6. По данным о среднегодовой численности занятых в

экономике постройте график и рассчитайте прогноз на 2011 − 2013 гг.

методом среднего темпа роста.

Контрольные вопросы и задания к разделу I

1. Охарактеризуйте тип связи, исходя из входящих в неё компонентов временного ряда.

2.Сформулируйте понятие «тренд» и «тенденция». Покажите различие этих категорий.

3.Перечислите методы выявления наличия тенденции в динамическом

ряду.

4.Сформулируйте сущность метода Фостера − Стюарта.

5.Назовите основные этапы реализации метода кумулятивного Т- критерия.

6.В чём заключается сущность метода критерия серий?

7.Сформулируйте сущность метода фазочастотного критерия знаков разностей Валлиса и Мура.

8.Перечислите основные показатели динамики экономических явлений.

9.В чём сущность прогнозирования на основе среднего абсолютного прироста и среднегодового темпа прироста?

19

2.Сглаживание временных рядов

2.1.Сглаживание временных рядов с помощью простой скользящей

средней

Для выявления тенденции развития явления целесообразно использовать скользящие средние, так как они позволяют сгладить периодические и случайные колебания.

Алгоритм сглаживания временного ряда по методу простой скользящей средней:

1. Определяют длину интервала сглаживания g , который включает ряд последовательных уровней ряда ( g n ). Интервал сглаживания зависит от величины колебаний признака в динамическом ряду. Чем шире интервал сглаживания, тем больше погашаются колебания.

2.Изучаемый временной ряд сглаживания на участки, интервал сглаживания спускается по временному ряду с лагом равным 1.

3.Рассчитывают средние арифметические из значений временного ряда, образующих каждый участок.

4.Заменяют эмпирические значения ряда, находящиеся в центре каждого участка, на соответствующие средние значения.

Интервал сглаживания g рекомендуется выбирать в виде нечётного

числа g 2 p 1, так как значения скользящей средней приходятся на средний член интервала.

Наблюдения, используемые для расчёта среднего значения, называются активным участком сглаживания.

При нечётном значении g уровни активного участка представляются в виде: yt p , yt p 1 , ..., yt p 1 , yt p . Скользящая средняя определяется по формуле

где yi − фактическое значение i-го уровня;

yˆt − значение скользящей средней в момент t;

20

2 p 1− длина интервала сглаживания.

Если длина интервала сглаживания равна или кратна периоду колебаний, то при процедуре сглаживания полностью устраняются периодические колебания.

Метод простой скользящей средней используется в тех случаях, если графическое изображение динамического ряда похоже на прямую. В случае если тренд выравниваемого ряда имеет изгибы и для исследования необходимо сохранить мелкие волны, использование простой скользящей средней нецелесообразно.

Применение простой скользящей средней для нелинейного развития явления приводит к серьёзным искажениям. В этой ситуации более надёжным является использование взвешенной скользящей средней.

Например: Рассмотрим применение скользящей средней по данным грузооборота внутреннего водного транспорта по Хабаровскому краю (таблица 9).

Таблица 9 − Грузооборот внутреннего водного транспорта, млн т-км

21

Решение

Так как период сглаживания трудно обосновать, расчёты начинают с 3- членной скользящей средней. Первый сглаженный уровень получим для

2000 г.:

Последовательно сдвигая на один год начало периода скольжения, находим сглаженные уровни для последующих лет.

Для 2001 г. скользящая средняя составит:

Так как скользящая средняя относится к середине интервала, за который она рассчитана, то динамический ряд сглаженных уровней сокращается на (n 1) уровень при нечётном периоде скольжения и на n уровней при чётном периоде скольжения. Поэтому в нашем примере сглаженный ряд стал короче на два члена для трёхчленной средней и на четыре – для пятичленной.

При расчёте по чётным скользящим средним (в нашем примере 4- членная скользящая средняя) вычисления производятся следующим образом:

Как видно из расчётной таблицы, трёхчленная скользящая средняя показывает выравненный динамический ряд с однонаправленной тенденцией движения уровней. Сглаживание по трёхчленной скользящей средней дало более сглаженный ряд, так как для трёхчленной скользящей

22

2.2. Сглаживание по взвешенной скользящей средней

При исчислении простой скользящей средней все уровни временного ряда считаются равноценными. При расчёте взвешенной скользящей средней каждому уровню в пределах интервала сглаживания приписывается вес, зависящий от расстояния данного уровня до середины интервала сглаживания.

Веса для уровней ряда при сглаживании могут быть взяты как коэффициенты бинома Ньютона (таблица 10).

Таблица 10 − Весовые коэффициенты

Взвешенная скользящая средняя определяется как средняя арифметическая взвешенная:

yt − уровни динамического ряда, участвующие в расчёте за интервал n ;

f − веса.

Например: Рассмотрим применение взвешенной скользящей средней по данным грузооборота внутреннего водного транспорта по Хабаровскому краю (таблица 9).

23

Решение

Для рассматриваемого примера трёхчленная взвешенная скользящая средняя за 2000 г. будет равной:

При пятичленной взвешенной скользящей средней для 2001 и 2002 гг. получим:

Аналогично рассчитываются и для других лет взвешенные скользящие средние, результаты которых приведены в таблице 11.

Таблица 11 − Грузооборот внутреннего водного транспорта, млн т-км

Как видно из расчётов, взвешенные скользящие средние несколько ближе подходят к фактическим данным. Для них меньше, чем для простых

24

Из расчётов видно, что трёхчленная скользящая средняя лучше описывает закономерность движения уровней динамического ряда.

При устранении сезонных колебаний рекомендуется использовать четырёх- и двенадцатичленную скользящие средние. Чётное число уровней предполагает использование средней хронологической:

выпадают. Рассмотрим приём, позволяющий восстановить утраченные значения временного ряда:

1) рассчитать средний прирост на последнем активном участке

yt p , yt p 1 , ..., yt p 1 , yt p

y yt p yt p ,

g 1

где g − длина активного участка;

yt p − значение последнего уровня на активном участке; yt p − значение первого уровня на активном участке;

− средний абсолютный прирост.

2) вычислить p сглаженных значений в конце временного ряда, последовательно прибавляя средний абсолютный прирост к последнему сглаженному значению. Аналогично можно рассчитать первые потерянные уровни ряда.

2.3. Сглаживание полинома с помощью весовых коэффициентов

Сглаживание по взвешенной скользящей средней на каждом участке производится по полиномам 2-го и 3-го порядка.

Взвешенная скользящая средняя приписывает каждому уровню вес, зависящий от удаления данного уровня до уровня, стоящего в середине

25

активного участка. Для каждого активного участка подбирается полином вида

yˆt a0 a1t a2t2 ... antn ,

параметры полинома оцениваются по методу наименьших квадратов. При этом начало отсчёта переносится в середину активного участка. Например, длина интервала сглаживания g 5 , индексы уровней активного участка будут следующими i : -2, -1, 0, 1, 2.

Вэтом случае сглаженным значением для уровня, стоящего в середине активного участка, будет значение параметра a0 подобранного полинома.

Втаблице 12 показаны весовые коэффициенты при сглаживании по полиному 2-го или 3-го порядка (в зависимости от длины интервала сглаживания).

Таблица 12 − Весовые коэффициенты при сглаживании по полиномам второго и третьего порядка

В таблице использована символическая запись: приведены веса только для половины уровней активного участка, так как веса симметричны относительно центрального уровня. Кроме того, выделен вес уровня стоящего в центре участка сглаживания.

Свойства весовых коэффициентов, представленных в таблице 7:

1)симметричны относительно центрального уровня;

2)сумма весовых коэффициентов с учётом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице;

26

3) наличие положительных и отрицательных весовых коэффициентов, даёт возможность сглаженной кривой сохранять различные изгибы кривой тренда.

Например: Рассмотрим сглаживание полинома с помощью весовых коэффициентов по данным грузооборота внутреннего водного транспорта по Хабаровскому краю (таблица 9).

Таблица 13 − Расчётная таблица