– если В2-АС>0, то функция Z=f(x,y) в точке (х0 у0) имеет экстремум:

максимум при А<0 минимум при A>0

-если В2-АС<0, то экстремума нет.

-если В2-АС=0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Пример. Фирма продает товар на двух рынках в количествах x и y. Заданы функции дохода фирмы на каждом из этих рынков:

R1(х) = (351 – х) х , R2(у) = (451 – 2у) у

и функция полных издержек фирмы: C = Q2 + Q + 10, где Q = х + у. Определить, при каком объеме выпуска продукции достигается максимум прибыли и какая часть продукции должна продаваться на втором рынке.

Решение.

Поскольку прибыль равна разности между доходом от продаж и полными издержками производства

J = (351 – х)х + (451 – 2у) у - C = 351 х – х2 + 451 у – 2у2 – (х+у)2 - х - у - 10 = 350 х + 450 у - 2x2 - 3у2 – 2ху - 10.

Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции – равен-ство частных производных J X и JY нулю.

Итак, оптимальный объем выпуска продукции Q = 135, причем на втором рынке должен продаваться 41% от общего объема производства.

4.7. Метод наименьших квадратов

Пусть между переменными величинами х и у имеется или предпо-лагается некоторая функциональная зависимость y=f(x), подлежащая определению. С этой целью выполнены наблюдения, а результаты их представлены в таблице в виде n пар соответствующих значений переменных x и у:

Эти данные можно представить графически, если в прямоугольной системе координат построить точки, координаты которых – пары соответствующих значений переменных х и у , т.е. точки

А1(х1,у1), А2(х2,у2), ………..,Аn(xn,yn).

1. Предположим что анализ опытных данных (в том числе и расположение точек А1, А2,…,Аn на плоскости) привел к выводу, что между перемен-ными х и у существует линейная зависимость

у = х+b ,

(1)

которая графически изображается прямой на плоскости.

Искомой прямой следует считать ту, для которой сумма квадратов разностей ординат точек A1, A2,…An

и ординат точек на прямой (1), имеющие одинаковые с точками A1,

A2,…An

абсциссы минимальна.Параметры и b этой «наилучшей» прямой определяются из системы уравнений:

(2 )

Система (2) называется системой нормальных уравнений. Пример 1.Данные о стоимости основных производственных

фондов 5 предприятий х (млн руб.) и среднесуточной переработки свеклы у (тыс.ц) приведены в таблице:

Предполагая, что между переменными х и у существует линейная зависимость, необходимо: а) найти, пользуясь способом наименьших квадратов, параметры этой зависимости; б) определить среднесуточную переработку свеклы предприятием, имеющим стоимость основных фондов 9 млн руб.

Решение. Результаты вспомогательных вычислений для получения коэф-фициентов системы нормальных уравнений (2) поместим в следующей таблице:

Следовательно, система нормальных уравнений при n = 5 ( число пар значений переменных) имеет вид:

25a 5b 38,

135a 25b 206.

Решая ее, найдем: a = 1,6, b = -0,4, а искомая функциональная зависимость такова: у = 1,6x - 0,4.

Среднесуточную переработку свеклы предприятием, имеющим стоимость основных фондов 9 млн руб. найдем, подставив значение x=9 в найденное уравнение зависимости между х и у:

ух=9 = 1,6 9 - 0,4 = 14 (тыс.ц )

2. Пусть зависимость между переменными х и у выражается показательной функцией

у=b ax

(3)

Логарифмируя обе части этого уравнения, получим lgy=x lga+lgb.

Следовательно, между значениями переменной x и логарифмами значений переменной у существует линейная зависимость с параметрами

lga и lgb. Поэтому, если воспользоваться способом наименьших квадратов, то логарифмы а и b параметров функции (3) определяются из системы уравнений

которая получена из системы (2) заменой в ней а и b их логарифмами,

а уi – на lg yi.

Пример 2. Средняя годовая численность рабочих и служащих на некотором предприятии характеризуется следующими условными данными:

Предполагая, что рост численности рабочих и служащих происходил

по показательной кривой у = bаx, найти параметры a и b этой зависи-мости, пользуясь способом наименьших квадратов. Решение. Систему координат выберем так, чтобы 1995г. соответствовало ее начало - это упростит вычисления. Следовательно, при решении задачи исходим из следующих данных: