5172

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

б) y arctg

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

1.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

				21
	dx	1	2dx		1
в)						ln	3 2x	C ;

3	2x	2	3 2x	2

x dx

1 10x dx 1

C .

г)

5x 2

Замена переменной в неопределённом интеграле

(метод подстановки)

Одним из основных методов интегрирования является метод замены

переменной, описываемый следующей формулой:

x dx

t dt ,

где

– функция,

дифференцируемая

на рассматриваемом промежутке.

Пример 3. Найти интегралы:

а)

x 2 3

2x3 4 dx; б)

x 2 dx

;

в)

arctg 3 x

dx ;

г)

2 sin x dx

x 2

cos2 x

Решение:

3 2x3

1 t 5

а)

3 4

3 5

;

x 3 2x

6x dx dt

6 t dt

6 5

30 3 2x

x 2 dx

б)

3x 2 dx

arcsin t

arcsin x3

C ;

x 2 dx

t 2

arctg 3 x

arctgx

t 4

arctg

4 x

в)

;

x 2

cos x

2 sin xdx

sin x

2 ln

3 t 2

г)

3 cos2 x

sin x dx

t 2

2 ln

cos x

3 cos2 x

Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

		U dV U V V dU ,
где U	x , V	x – непрерывно дифференцируемые функции.

При использовании этой формулы за U берётся такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dV – та часть подынтегрального

выражения, интеграл от которой известен		или может быть найден.
Пример 4. Найти интегралы:
a) x e7 x dx ;	б) x3 ln x dx ;	в) arctgx dx .
Решение:

x e7 x dx			U		x		dU	dx							1	x e7 x	1	e7 x dx
															1		1
			dV		e	7 x	dx V	e	7 x	dx	1	e	7 x	7			7
а)						7 x			7 x		1		7 x	7			7
а)											7
											7
	1	x e7 x		1	e7 x		C.
7		x e7 x	49		e7 x		C.
7			49

ln x

x 4

x3 ln xdx

x 4 ln x

б)

x3dx

x 4

ln x

	U			arctgx	dU	dx

						x 2		x
arctgxdx					1	x 2	x arctgx	x	dx
arctgxdx							x arctgx	1 x 2	dx
в)	dV			dx	V dx	x
	dV			dx	V dx	x
x arctgx		1	ln x 2 1		C.
		1
	2
	2

Формула Ньютона – Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а;b] и F(x) – первообразная для f(x) на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона–Лейбница

f (x)dx F (x)

	a	F (b) F (a) .
	b	F (b) F (a) .
	b

e 3

Пример 5. Вычислить:

ln x

dx . Решение:

ln x

3 3

tdt

при

ln1

4 \ 3

при

ln e

3 3

16 1 .

Формула интегрирования по частям

U dV

U V

V dU

Пример 6.

/ 2

x cos xdx

x sin x

sin xdx

cos xdx

cos xdx sin x

sin

0sin 0

cos x

cos

cos 0

/ 2

Площадь плоской фигуры

	b		b
S	f x dx	S	f x	x	dx
	a		a
	Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y x 2 x , y x 3 ;		б) y ln x ,	x e , y 0 .
Решение. Следует сделать чертёж.
а) фигура ограничена параболой y		x 2 x и прямой y		x	3 .

Находим точки пересечения

линий:
y	x 2	x
		;
y	x	3
x 2	x	x	3;
x 2	2x	3	0;
x1	1	x2	3.

S	3	x 3 x2			x dx		3	2x 3 x2 dx x2			3	3x	3	x3		3
	3						3				3		3	x3		3
											1		1	3		1
											1		1			1
	1						1								;
	1						1								;
9	1	9	3	9	1		10	2		;
9	1	9	3	9		3	10		3	;
						3			3
б) фигура ограничена графиком функции y ln x ,												прямой		x e и y 0 –
осью абсцисс.

e ln xdx

ln x

x ln x

1 1

Задачи для выполнения контрольной работы № 2

1-20. Найти пределы:

а) lim

;

2 x

12x

2. a) lim

;

a) lim

;

2x2

a) lim

;

a) lim

2x 2

;

a) lim

;

б) lim

3x3

б) lim

2x2

x4 1

4x2

б) lim

x 3

3 64x3

1 2

б) lim

9x3

3x2

10x

б) lim

7x4

2x3

3x2

2x4

б) lim

x 1

7. a) lim

;

2 x

8. a) lim

;

2x2

9. a) lim

;

3 x2

10. a) lim

;

11. a) lim

;

2x2

12. a) lim

;

13. a) lim

;

14. a) lim

3x3

;

2 x

15. a) lim

;

16. a) lim

2x2

;

(x 1)2

17. a) lim

;

18. a) lim

2x2

;

3x2

19. a) lim

;

20. a) lim

9x2

; .

3x2

10x

б) lim

3 x3

2x2

б) lim

3x3

4x2

6x3

б) lim

3 x2

б) lim

9x2

3 x3

б) lim

3x3

б) lim

1 .

б) lim

8x3

4x2

б) lim

5 .

б) lim

3x2

б) lim

x .

б) lim

4x2

2x5

б) lim

4 x3

б) lim

1 .

б) lim

1 3

2x3

21-40. Найти производные

данных функций в п. (а,б), в п.(в) найти

полный дифференциал функции Z = f(x,y).

21. a) y

ctg3 1

x2 ; .

б) y

ex (sin 3x

3cos3x);

в)Z 7x2 y

4x 11y.

sin 4 3x ;

22. a) y

101

б) y

x arccos

x2 ;

в)Z xy5 3x7 y

3y 4 .

x 2

2 cos x

23. a) y

ln arctg

x2 ;

б) y

;

cos 2x

в)Z 4x2 y2

8y xy3.

24. a) y

;

б) y

arcsin(ln x);

в)Z 8x2 y3

2x 3y.

25. a) y

ln arctg

;

б) y

ctg

;

1 x

в)Z x3 y5

3y 2 .

4 y 2

26. a) y

sin 2x

cos 2x; .

б) y

arcsin

;

в)Z x4

3x8 y 5xy2

27. a) y

e x

arctge x

ln 1

e2x ;

б) y

16x

3 x2 ;

в)Z 7x3

4x3 y 5x.

y 2

28. a) y

arcsin(ln x);

б) y

3arccos 2x ;

в) Z

3x 2 y

4x 7 y.

29.

a) y

ln e

x ;

в) Z 2x7 y2

5x 3y2.

30.

5 cos x

a) y

в) Z

3x4

xy3

2 y5

3x.

31.

a) y

tg 2 x

cos 3x;

в) Z 5y6 x 3x7 y2

2x.

32.

a) y

e2x

e4x

;

в) Z x3 y

2x 7 y.

y 4

33.

a) y

3tgx

x sin 3 4x;

в) Z 8x5

x3 y 4y3

34.

a) y

5x3

;

5 x4

в) Z 5x3 y 2

6x 7 y.

35.

a) y

ctg

;

в) Z 6x 7 y2

x3 y4.

36.

a) y

ln x

cos5 (1

2x);

в) Z x4 y 8x y3x 2.

37.

ln 2 (1

e2x ;

a) y

2x)

б) y	1	arctg		x		3	;
					x2
	3		1

б) y	1	;

	arctg e 2x

б) y	arcsin 4x	;
	1 4x

б) y arctg 11 xx ;

б) y e x 1 e2x arcsin e x ;

1 x

б) y e 1 x ;

б) y tg	1	e x	;

	1	e x

б) y	1	;

	arctg e 2x

в) Z

2x3 y

4 y5

2x.

2 y

3x2

38.

a) y

e2x

ln tg

;

б)

;

в) Z 2x3 y y3x 4x 3.

ecos 2 x

39.

sin x

ecos x ;

б) y

x2 1 tg

;

в)

3x 2

y 2

e x

40.

arcsin

б) y

;

e x

в) Z 5x2 y2

xy3 3y4.

– 60. Исследовать функцию и построить график.

41.

3x 2

7 .

42.

1)(x

2) 2 .

43.

3x5

5x3 .

44.

45.

x 2

2 .

46.

x 2

3x .

x 2

x 4

47.

48.. y

3x 3 .

49.

x3 .

50.

1) 2 (x

5) .

51.	y	2			3x					x3 .
52.	y		1	x	3				5			x	2		6x	7 .
52.	y	3		x				2				x			6x	7 .
		3						2
53.	y		x3				6x 2						2x			6 .
54.	y	(x				1) 2 (x								3)2 .
55.	y			1	x		3				7		x	2	6x 2 .
55.	y			3	x			2					x		6x 2 .
				3				2
56.	y		x3				4x 2						3x		6 .
57.	y		1	x	3				1			x	2		6x	1.
57.	y	3		x				2				x			6x	1.
		3						2
58.	y	2x3						x 2					4x			5 .
59.	y	4x3						x 2					2x .
60.	y	(2				x)(x							1) 2 .

61–65. Предложение товара (S) относительно цены (р) определяется функцией S(p). Рассчитать эластичность функции предложения и найти значения показателя эластичности для заданных значений р. Дать экономическую

интерпретацию полученным результатам.
61.	S p	p	0,5 (усл.ед.),				р = 2 (ден.ед.).
62.	S p	7			(усл.ед.),		р = 3 (ден.ед.).

		7	p
63.	S p	2 p			1 (усл.ед.),		р = 4 (ден.ед.).
64.	S p	6		(усл.ед.),			р = 8 (ден.ед.).

		9	p
	S p	3 4			p 2
65.						(усл.ед.),	р = 4 (ден.ед.).

		1	8 p

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20221.04 Mб15167.pdf
#
13.11.20221.04 Mб65168.pdf
#
13.11.20221.04 Mб15169.pdf
#
13.11.20221.04 Mб15170.pdf
#
13.11.20221.04 Mб25171.pdf
#
13.11.20221.04 Mб15172.pdf
#
13.11.20221.04 Mб15173.pdf
#
13.11.20221.04 Mб35174.pdf
#
13.11.20221.04 Mб25175.pdf
#
13.11.20221.05 Mб35176.pdf
#
13.11.20221.05 Mб25177.pdf