Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5172

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

1.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

y lim

lim

f (x

f (x)

x 0

Основные правила дифференцирования

Если С – постоянное число,

U x ,V

V x

– функции, имеющие

производные, тогда:

(I);

(II);

C U

(III);

U V

(IV);

U V

(V).

Если у = f(u), U = φ (х) – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции y=f[(φ(x)] существует и равна произведению данной функции по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной х, т.е.

					y f (U ) U		(VI).
				Формулы дифференцирования основных функций
1.	x n	n x n 1 .
2.	a x	a x ln a a 0, a 1 .
3.	e x	e x .
4.	loga x	1				a 0, a	1 .

					x ln a
					x ln a
5.	ln x		1	.
5.	ln x			.
			x
6.	sin x		cos x .
7.	cos x				sin x .

8.	tgx	1			x		k .

			2			2
		cos		x

9.	ctgx	1		x		k .

		sin 2
		sin 2	x
10.	arcsin x		1			1 x 1 .


		1		x 2
		1		x 2
11.	arccos x		1				.



			1		x 2

12.

arctgx

x 2

13.

arcctgx

x 2

Пример 1. Найти производные функций:

a) y

sin cos 5x ;

b) y

3 x e3x 5

;

arctg

x 2

Решение:

а) функцию

можно

представить

виде

cos 5x .

Поэтому на

основании формулы (VI)

cosU U

cos cos 5x

cos 5x

5 sin 5x

cos cos 5x ;

b) данная функция представляет произведение двух функций, поэтому на

основании формулы (IV)

e3x 5 3e3x

x 3

e3x 5 x 3

e3x 5

x 3

e3x

3e3x 3

e3x

5 9e3x

e3x 9x

;

33 x 2

3 3 x 2

c)пусть U 2 . Получим y arctgU . По формулам (V) и (VI)

1 x

2x 1 x 2

1 U 2

1 x 2 2

1 2x 2

x 4

4x 2

x 2 2

1 x 2

2 1 x 2

2x 2x

1 x 2 2

2 2x 2

4x 2 2 2x 2

2 1 x 2

1 x

2 2

1 2x 2

x 4

1 x

2 2

1 x 2

1 x

Определение 2. Дифференциалом функции у=f(x) называется главная, линейная относительно x часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

dy f x x .

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной,

т.е. dx x . Итак, дифференциал функции равен произведению её производной на дифференциал аргумента: dy f xdx .

Для определения полного дифференциала функции Z=f(x,y) необходимо ввести

понятие частной производной нескольких переменных.

Величина f x x, y y f x, y называется полным приращением функции в точке (х,у). Если задать только приращение аргумента х или только приращения аргумента у, то полученные приращения функции соответственно:

x Z f x

x, y

f x, y и

y Z

f x, y

называются частными.

Определение 3. Частной производной от функции Z

x, y по

независимой переменной х называется конечный предел

Z x

lim

x Z

lim

f x

x, y

f x, y

вычисленный при постоянном у.

Частной производной по у называется конечный предел

Z y

lim

y Z

lim

f x, y

вычисленный при постоянном х.

Обозначается частная производная так:

Z x

, Z y

или

или f x

x, y , f y

x, y .

Пример 2.

Найти частные производные функций:

a) Z x ln y

;

b) Z x y

Решение:

а) при

нахождении частной

производной

по х будем

рассматривать у как величину постоянную.

Получим:

Z x ln y

ln y

Аналогично, дифференцируя по у, считаем х постоянной величиной, т.е.

Z y

x ln y

;

при фиксированном

у имеем степенную функцию от х. Таким

образом,

Z x

x y

При

фиксированном

функция

является

показательной

относительно у и

Z y

x y ln x .

Полный дифференциал функции Z

f x, y

вычисляется по формуле

dy .

Пример 3.

Найти полный дифференциал функции

Z x 4

5x 2 y 2 y 3 ;

4x3

10xy

5x 2

6 y 2

5x 2

6 y 2 ;

4x3

10xy

5x 2

6 y 2 dy .

Общая схема исследования функций и построения графиков

Для полного исследования функции и построения её графика рекомендуется

использовать следующую схему:

1)найти область определения функции;

2)найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты (если они существуют);

3)исследовать функцию на чётность (нечётность) и на периодичность (для тригонометрических функций);

4)найти экстремумы и интервалы монотонности функции;

5)определить интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба;

6)исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты;

7)найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Исследование функции проводится одновременно с построением её графика.

	Пример.		Исследовать		функцию		y x 4 2x 2 5 и построить её
график.	Решение:
1.	Область определения			;	.
2.	Функция непрерывна во всей её области определения. Следовательно,
нет ни точек разрыва, ни вертикальных асимптот.
3.	Функция чётная, так как			f	x	f x	:
f	x	x 4	2 x 2	5 x 4		2x 2	5 f x .

График функции симметричен относительно оси ординат.

4. Экстремумы и интервалы монотонности.

y 4x3 4x	4x x 2		1 .	Из	уравнения 4x x2 1 0 получим три
критические точки:	x1	1,	x2	0,	x3 1. Исследуем характер критических

точек. Для этого методом пробных точек определяем знак производной в каждом из интервалов: (- ∞; -1), (-1; 0), (0 ; 1), (1; + ∞).

На интервалах (-∞; -1) и (0; 1) функция			убывает, на интервалах		(-1 ; 0) и
(1 ; +∞) – возрастает. При	переходе	через критические точки			x1 = -1 и х3 =
1 производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно,				в этих точках
функция имеет минимум.	ymin f	1	4; ymin f 1 4 .	При переходе

через критическую точку х = 0 производная меняет знак с плюса на минус.

Следовательно, в				этой точке						функция имеет максимум уmax=ƒ(0)=5.
5. Интервалы выпуклости и точки перегиба.
y		4x3			4x		12x 2					4 4 3x 2				1 . Из уравнения 4 3x 2 1	0
получим	x1			1		0,57					и	x2			1	0,57 . Определяем знак	второй


				3											3
				3											3
производной в каждом из интервалов:
	;		1	,		1		;	1		,		1	;		.
								;			,			;		.
		3				3			3			3
		3				3			3			3

Таким	образом,			кривая,			вогнутая				на	интервалах				;		1	и	1	;	и
																			и		;	и
																		3		3
																		3		3
выпуклая на интервале							1	;	1	, а x1			1		, x2		1	– точки перегиба.


																3
							3	3						3		3
					1			1		4		1		2		40
y	f	x	f		1			1			2	1		5		40		4,4;


1		1			3			3				3				9
					3			3				3				9
y2		f x2		f	1			4,4 .


					3
					3
6. Наклонная асимптота имеет вид у = kx + b, если существуют конечные
пределы: k		lim		f x		b		lim		f	x	k x
пределы: k		lim		x	,	b		lim		f	x	k x		;
		x			,			x						;
		x						x

lim

x 4

2x 2

lim (x3

)

Таким образом, функция не имеет наклонных асимптот.

7. Дополнительные точки, уточняющие график:

f 2

13; f

5,6 . Построим график функции:

Применение понятия производной в экономике.

Эластичность функции

Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.

Определение. Эластичностью функции Ех(у) называется предел отношения относительного приращения функции у к относительному приращению переменной х при ∆х → 0

Ex y

lim

y .

(1)

x 0

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов

изменится функция у = f (х) при изменении независимой переменной х на 1%.

Эластичность функции применяется при анализе спроса и потребления. Если

эластичность спроса (по абсолютной величине)

то спрос считают

Ex y

1–

эластичным, если

нейтральным,

если

неэластичным

относительно цены

(или дохода).

Пример 1. Рассчитать эластичность функции y

x 2

1 и найти

значение показателя эластичности для х = 3.

По формуле (1) эластичность

функции:

Ex y

x 2x

Пусть х=3, тогда

Ex 3

1,42 .

Это

означает,

что

если

независимая

переменная возрастет на 1%, то значение

зависимой

переменной

увеличится на 1,42 %.

Пример 2. Пусть функция спроса у относительно

цены

имеет вид

y a e 2x , где а

– постоянный

коэффициент.

Найти значение

показателя

эластичности функции спроса при цене х = 3 ден.ед. Рассчитаем эластичность функции спроса по формуле (1)

Ex	y	x	y		x		2a e	2x	2x .

		y		a	e	2x


Полагая х=3 ден.ед., получим			Ex 3 y			6 . Это означает, что при цене х=3

ден.ед. повышение цены на 1% вызовет снижение спроса на 6%, т.е. спрос эластичен.

Интегралы

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции

ƒ(х) на промежутке X, если в каждой точке х этого промежутка

F/ (x) = f(x).

Если функция f(x) имеет первообразную F(x), то она имеет бесконечное множество первообразных, причём все первообразные содержатся в выражении

F(x) + С, где С – произвольная постоянная.

Определение. Совокупность всех первообразных функции f(x) на промежутке

X называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается f x dx, т.е. f x dx F x C .

Свойства неопределённого интеграла

Если a – постоянная величина, то a f

x dx a

f x dx .

f1 x

f 2 x

f3 x dx

f1 x dx

f 2 x dx

f3 x dx .

d[ f x dx]

f x dx .

x dx

x .

dF x

F x

C .

Таблица основных интегралов

C .

x k dx

x k

C k

1, k const .

C .

a x

a x dx

0, a

1 .

ln a

e x dx e x

C .

sin xdx

cos x

C .

cos xdx

sin x

C .

ctgx

C .

sin

2 x

10.

tgx

C .

cos2 x

11.

arcsin

C .

12.

arctg

C .

13.

C .

14.

x 2

0 .

x 2 a

Пример

Найти

интеграл

dx .

Решение:

1 2

4x 4

x 1

x x

4 x 2 dx 4

x 2 dx 8x 2

4 ln

2x 2

8 x

4 ln

Таблицу интегралов можно расширить, если применить формулы:

а)

f ax

b dx

F ax b

C ,

если f x dx F x C ;

б)

C .

Пример 2. Найти интегралы.

а)

4x 5

C ;

б)

sin 3x

2 dx

cos 3x

C ;

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.20221.04 Mб15167.pdf
#
13.11.20221.04 Mб65168.pdf
#
13.11.20221.04 Mб15169.pdf
#
13.11.20221.04 Mб15170.pdf
#
13.11.20221.04 Mб25171.pdf
#
13.11.20221.04 Mб15172.pdf
#
13.11.20221.04 Mб15173.pdf
#
13.11.20221.04 Mб35174.pdf
#
13.11.20221.04 Mб25175.pdf
#
13.11.20221.05 Mб35176.pdf
#
13.11.20221.05 Mб25177.pdf