60

L 3, следовательно, гипотеза Н0 не отвергается, а расхождения эмпирического и теоретического распределений носят случайный характер.

Задачи

8.1. В течение рабочей недели поводилось наблюдение за работой 50 станков и регистрировались неисправности, требовавшие остановки станков для их регулировки. Результаты наблюдений следующие:

Требуется вычислить вероятности и теоретические частоты числа неисправностей, считая, что распределение последних подчиняется закону нормального распределения.

8.2. По цеху имеются следующие данные о распределении рабочих по стажу работы:

На основе приведённых данных проверить соответствие эмпирического распределения закону нормального распределения, используя критерий согласия К. Пирсона ( = 0,01).

8.3. Результаты статистического обследования фирм, участвовавших в международной выставке, представлены в следующей таблице:

1. Вычислим теоретические частоты, соответствующие нормальному распределению. 2. Испытаем нулевую гипотезу, состоящую в том, что распределение подчиняется нормальному закону на основе критерия χ2 с 5% уровнем значимости.

61

8.4. По данным задачи 8.3 испытайте нулевую гипотезу о том, что распределение подчиняется нормальному с помощью критериев В. И. Романовского, А. Н. Колмогорова, Б.С. Ястремского.

8.5. Распределение 1 000 семей по уровню душевого дохода за месяц характеризуется следующими данными:

На основе критерия χ2 проверьте, согласуется ли распределение семей по среднедушевому доходу с нормальным распределением с вероятностью

0,95.

8.6. По данным задачи 8.5 проверьте близость эмпирического и теоретического распределений с помощью В.И. Романовского, А.Н. Колмогорова, Б.С. Ястремского.

2.3. Проверка гипотез о связях

Для установления и оценки уровня значимости связи применяются различные статистические критерии (тесты).В качестве критериев чаще используются χ2 Пирсона, t − статистика Стьюдента, F − критерий Фишера.

Классическим тестом, используемым в тех случаях, когда данные расклассифицированы в двумерной таблице, является хи-квадрат тест, как было показано в предыдущем параграфе, 2 – это сумма квадратов разностей между фактическими и теоретическими частотами, делёнными

62

Как правило, χ2 – тест применяется для анализа двух переменных, не имеющих количественного выражения, однако с успехом может быть использован и при анализе взаимосвязи количественных переменных.

Традиционно распределение двух качественных признаков задается таблицей сопряжённости. Таблица сопряжённости (таблица частот, перекрестная классификация, корреляционная таблица, комбинированная таблица) представляет собой совместное распределение двух качественных признаков, то есть величин частот или частостей наблюдений, обладающих одновременно r – значением одного и S − значением другого признака. Таблица сопряжённости двух переменных

В таблице сопряженности представлены так называемые маргинальные частоты, образующие крайний правый столбец, а также самую нижнюю

63

случае, т.е. когда χ2расч.< χ2табл, гипотеза принимается.

Для конкретного применения методов, основанных на χ2, необходимо обеспечить выполнение следующих условий:

1)выборку необходимо получить из независимых наблюдений;

2)ни одна из ожидаемых частот не должна быть слишком мала (минимум 5). Если частоты оказываются меньше 5, то необходимо объединить соседние категории признака или обратиться к другому критерию;

3)не имеют смысла вычисления критерия χ2 в том случае, когда таблица сопряжённости содержит ячейки с нулевым значением

наблюдаемых частот, т.к. интерпретация полученного показателя χ2 значительно усложняется.

Например. По данным опроса, 187 предпринимателей, работающих в кафе и ресторанах, относительно оценки возможностей деятельности при разных формах собственности получены следующие данные (таблица

2.3.2).

64

Таблица 2.3.2 − Исходные данные

Испытаем гипотезу о независимости переменных: Н0:nij nˆij . 1. Рассчитаем теоретические частоты:

- для оценки условий деятельности одного владельца

- для оценки условий деятельности товариществ

Таблица 2.3.3 − Теоретические частоты

Таким было бы распределение ответов о возможностях деятельности, если бы формы собственности никак не сказывались. Задавая уровень значимости 0,05 , находим по таблице значений χ2 – критерия Пирсона

(Приложение Б). 2 ( 0,05; df (r 1)(S 1) (3 1)(5 1) 8) 15,51

65

2. Определим χ2расч., показывающим различия между фактическими и теоретическими клеточными частотами:

небезразлична для деятельности кафе и ресторанов.

Задачи

9.1. По данным опроса 540 семейных групп (семья детей – семья родителей) требуется определить, имеет ли место зависимость образования детей от образования родителей с помощью критерия χ2 ( = 0,01).

9.2. По одному из факультетов имеются следующие данные о распределении 600 студентов-заочников по двум признакам − характеру работы и результатом сдачи экзаменов по специальным предметам:

Определить, случайно или неслучайно распределение в таблице, то есть сделать вывод о наличии или отсутствии зависимости успеваемости студентов-заочников от соответствия профиля работы с помощью критерия χ2 ( = 0,05).

66

9.3. Предположим, имеется следующее распределение 100 опытных участков (под овощной культурой) по двум признакам: степени полива и уровню урожайности

распределение, т.е. установить существует ли зависимость между поливом и урожайностью ( = 0,05).

9.4. Проверить гипотезу на независимость с помощью критерия χ2 ( = 0,1) между возрастом и социальным положением основных категорий потенциальных эмигрантов по следующим данным:

9.5. Фирма специализирующаяся по продаже недвижимости, зарегистрировала следующие данные относительно первоначально назначенной цены и срока продажи квартиры в днях:

Проверить гипотезу о независимости срока продажи от начальной цены при = 0,05 с помощью критерия χ2.

2.4.Проверка гипотез о средней и о доле

Встатистической практике наиболее часто проверяются два вида гипотез о средних величинах:

1) гипотеза о равенстве средней величины установленному нормативу;

67

2) гипотеза о равенстве средних значений признака двух совокупностей.

Предположим, что проверке подлежит гипотеза о среднем значении признака в генеральной совокупности Hо : х а . Альтернативная гипотеза может быть сформулирована следующим образом: H1 : х а , H1 : х а или

H1: х а .

В качестве критерия в этом случае целесообразно использовать нормированное отклонение выборочной средней от заданной величины:

где – средняя квадратическая ошибка выборочной средней, то есть средняя

ошибка выборки.

При большом объёме выборки ( n ≥ 30) рассчитывается по формуле

Если полученное по результатам обследования расчётное значение t − статистики меньше табличного, т.е. tрасч < tтабл. , то гипотеза не отклоняется. В противном случае нулевую гипотезу следует отклонить.

Например. При оценке влияния изменений в налоговой политике на платёжеспособность предприятий одного из регионов установлено, что до указанных изменений средний коэффициент покрытия по этим предприятиям соответствовал нормативу, равному 2. После внесения изменений в действующую налоговую систему было проведено выборочное обследование 49 предприятий региона, в результате которого установлено, что средний коэффициент покрытия на них составил 1,7 при среднем квадратическом отклонении 0,6.

Выдвинутая нулевая гипотеза состоит в том, что изменения в проводимой налоговой политике существенно не повлияли на платёжеспособность предприятий региона, то есть коэффициент покрытия остался на прежнем уровне Hо : х 2 . В качестве альтернативной может быть рассмотрена гипотеза о том, что указанные изменения повлияли на степень платёжеспособности предприятий:

68

Для проверки выдвинутой гипотезы примем уровень значимости0,05 . Так как вероятность Р х 2 t ) 0,05 , а n>30, то для значения

Так как tрасч > tтабл. , то выдвинутая гипотеза отклоняется, т.е. изменения в налоговой системе повлияли на платёжеспособность предприятий региона.

Для того чтобы сделать более определённый вывод о характере этих изменений, альтернативную гипотезу сформулируем следующим образом: изменения в налоговой системе привели к снижению платёжеспособности

а в пределах от – t до + t соответственно 0,45 · 2 = 0,9. По таблице находим для данной вероятности значение t – статистики: t=1,65. Так как tрасч > tтабл. (3,5 > 1,65), то нулевая гипотеза должна быть отклонена, т.е. с вероятностью 0,95 можно считать, что изменения в налоговой системе привели к снижению платёжеспособности предприятий региона.

Если для проверки выдвинутой гипотезы используется малая выборка, то значение t − статистики определяется с помощью распределения Стьюдента.

Например. Часовая выработка забойщика при добыче угля в шахте по норме составляет 400 кг. Фактическая выработка соответствовала норме. При переходе в новый забой условия работы забойщиков усложнились. Для проверки обоснованности нормы в новых условиях был проведён учёт работы 9 забойщиков. Их средняя часовая выработка составила 388 кг с

2=171.

71

платёжеспособность предприятий не зависит от принятой на них формы собственности.

Выдвинутую гипотезу можно проанализировать иначе. Зная величину

среднеквадратической ошибки разности двух выборочных средних ~ ~ ,

хi x2

можно с заданной вероятностью указать предел возможных расхождений

Стьюдента.

Например. Воспользуемся данными предыдущего примера (таблица 2.4.1.). Определяем среднеквадратическую ошибку разности двух выборочных средних:

можно утверждать с вероятностью 0,95, что платёжеспособность не зависит от формы собственности предприятий.

Аналогично два вида гипотез могут проверены и для доли:

1)гипотеза о равенстве доли единиц, обладающих определённым признаком с нормативом;

2)сравнение долей единиц, обладающих определённым признаком, в двух совокупностях.

Порядок гипотез первого вида аналогичен порядку, приведённому для средней, то есть проверяется гипотеза H 0 : p a , где p − доля единиц,

обладающих изучаемым признаком в генеральной совокупности; a – норматив. Альтернативными могут быть гипотезы трёх видов:

1) H1 : p a ; 2) H1 : p a ; 3) H1 : p a .

В качестве критерия может быть принято значение t-статистики.

72

где w – доля изучаемого признака в выборке; μw – средняя ошибка выборки для доли.

Табличное значение t-статистики как для доли, так и для средней, находится на основе интеграла вероятностей Лапласа (Приложение Г) или по распределению Стьюдента (для малой выборки) (Приложение Д).

Например. Партия изделий принимается, если доля бракованных не превышает 2%. Среди случайно отобранных 1 000 изделий 40 оказались бракованными. Можно ли при уровне значимости 0,01 принять партию?

Выдвигается нулевая гипотеза H 0 : w 0,02 . В качестве конкурирующей принимается альтернативная гипотеза H 0 : w 0,02 .

Табличное значение t-статистики находим на основе интеграла

tтабл.=2,68.

Поскольку tрасч.> tтабл, то выдвинутая гипотеза отклоняется, т.е. партию изделий принять нельзя.

При сравнении долей единиц, обладающих определённым признаком, в двух совокупностях применяется схема, аналогичная приведённой ранее для проверки соответствующей гипотезе о средней.

73

В качестве критерия используется t-статистика. Расчётное значение

где w1 и w2 – доля единиц, обладающих изучаемым признаком в сравниваемых выборках;

w1 w2 – стандартная ошибка выборки.

Стандартная ошибка выборки может быть рассчитана по формуле

где p – доля признака в генеральной совокупности; n1 и n2 − объём каждой их двух выборок.

Так как при проверке нулевой гипотезы величина p неизвестна, то можно использовать её оценку, полученную по результатам выборочного обследования:

где m1 и выборок.

Сравнивая расчётное и табличное значение t-статистики делают вывод об отклонении или принятии нулевой гипотезы. Если tрасч.>tтабл. гипотезу отклоняют, и наоборот.

Например. По результатам выборочного обследования домохозяйств двух областей Дальневосточного региона были получены данные о доле доходов от предпринимательской деятельности в источниках доходов домохозяйств (таблица 2.4.3).

Таблица 2.4.3 − Выборочное обследование домохозяйств

75

При вероятности 0,95 w1 w2 =1,96·0,003 05=0,005 98. При вероятности

0,99 w1 w2 =2,58·0,003 05=0,007 87. Поскольку фактическая разность двух выборочных долей 0,005 (0,075-0,070) меньше найденных предельных ошибок, можно принять нулевую гипотезу.

Таким образом, оба варианта проверки гипотезы о несущественности различий доли доходов от предпринимательской деятельности по результатам выборочных обследований в двух областях доли один и тот же результат.

Задачи

10.1. Крупная торговая фирма желает открыть в новом районе города филиал. Известно, что в прошлом году фирма работала прибыльно при еженедельном среднем доходе жителей района 14 700 рублей. Цена на продукцию фирмы в связи с инфляцией возросла. Для проверки работы фирмы в новых условиях было проведено выборочное обследование 100 жителей района. Их средний еженедельный доход составил 4 750 рублей с дисперсией 400. Определите, будет ли фирма работать прибыльно, если уровень дохода жителей района останется на уровне прошлого года ( = 0,01).

10.2. Предположим, что выборочное обследование восьми студентов академии показало, что на подготовку к контрольной работе по статистике они затратили следующее количество часов: 8,5; 8,0; 7,8; 9,0; 7,2; 6,2; 8,4; 6,6. Оцените выборочные средние затраты времени и постройте доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности, приняв доверительную вероятность равной 0,95.

10.3. На предприятии выборочно проверен стаж работы у 12 мужчин и 8 женщин. Результаты наблюдения следующие:

76

Определить, можно ли считать расхождения в значениях выборочной средней стажа работы у мужчин и женщин случайным (на уровне значимости = 0,05).

10.4. Предположим, на предприятии из коллектива рабочих выборочно обследовано 25 мужчин и 25 женщин. Средняя месячная заработная плата мужчин оказалась равна 24 830 руб. при среднем квадратическом отклонении 200 руб., а у женщин 23 780 руб. при среднем квадратическом отклонении 300 руб. Определить, можно ли считать расхождение между средней заработной платой мужчин и женщин случайным при = 0,05.

10.5. Обработка детали № 427 производится в цехе на двух однотипных станках. При выборочном наблюдении (механический отбор единиц) были зарегистрированы следующие затраты на обработку детали:

На основе приведённых данных следует определить, существенно ли расхождение в затратах времени на обработку одной детали для этих двух станков, гарантируя результат с вероятностью 0,95.

10.6. На автотранспортном предприятии известны следующие результаты выборочного обследования пробега автомобильных шин одного типоразмера в городских условиях при работе водителей различной квалификации.

На основе приведённых данных следует определить, существенно ли расхождение среднего пробега автомобильных шин для двух групп, гарантируя результат с вероятностью 0,954.

10.7. Расход сырья на одно изделие случаен. Результаты наблюдений таковы:

Предположим, что расход сырья как при старой, так и при новой технологии имеет нормальное распределение, выясните, влияет ли технология на средний расход сырья на одно изделие = 0,05.

10.8. По результатам опроса жителей Приморского и Хабаровского краёв о доле доходов, потраченных на покупку валюты, были получены следующие данные:

Можно ли считать существенными различия в доле доходов, потраченных на покупку валюты, жителями Приморского и Хабаровского краёв с вероятностью 0,95.

10.9. По результатам выборочного обследования жителей Хабаровского края были получены данные о доле социальных групп с наибольшим и наименьшим среднедушевым доходом в месяц:

Можно ли при уровне значимости 0,1 считать, что расхождение доли населения, имеющего наибольший и наименьший уровень среднедушевого дохода несущественно?

10.10. Обработка детали № 318 производится в цехе на 2 станках, имеющих различную производительность

78

Можно ли считать несущественными различия в доле брака для двух станков ( = 0,05).

10.11. По результатам выборочного обследования домохозяйств двух городов были получены следующие данные о доле расходов на коммунальные услуги:

Можно ли считать существенными различия в доле расходов на коммунальные услуги в расходах домохозяйств двух городов ( = 0,01).

2.5. Дисперсионный анализ

Основным способом проверки гипотезы о связях признаков служит дисперсионный анализ. Заключение об отсутствии или наличии связи делается при этом на основе F -критерия. Критерий F представляет собой отношение выборочных дисперсий S12 и S22 , которые представляются как

Распределение дисперсионного отношения F зависит от числа степеней свободы df1 и df2 . Построены таблицы критических значений величины F при разном числе степеней свободы для разных уровней значимости (Приложение Е). Таблицей F-распределения можно пользоваться и при малых и при больших выборках. За S21 берётся большая из дисперсий, т.е. S21 > S22, соответственно df1 – число степеней свободы S21 , df2 – число степеней свободы S22 . Минимальное значение F=1 соответствует случаю равенства дисперсий, чем значительнее расхождение между дисперсиями, тем больше величина F.

Сущность дисперсионного анализа заключается в расчленении общей вариации на части и в сравнении полученных частных дисперсий. Испытуемая гипотеза при этом состоит в том, что если данные каждой

79

части представляют случайную выборку из нормально распределённой генеральной совокупности, то величина всех частных дисперсий должны быть пропорциональны своим степеням свободы и каждую из них можно рассматривать как приближённую оценку генеральной дисперсии. Нулевая гипотеза предполагает случайность различия сравниваемых величин S21 и S22 . Опровержение нулевой гипотезы служит доказательством действия того фактора, на основе которого производилась разбивка данных.

Очевидна связь дисперсионного анализа с методом аналитических группировок. При изучении связей признаков с помощью аналитических группировок совокупность разбивается на группы по значениям признакафактора и полагают, что различие средних результативного признака в группах определяются действием данного фактора. Задача состоит в оценке существенности различий между групповыми средними результативного признака, когда выделены лишь две группы, эта задача решается с помощью t - критерия. Если же число признаков больше двух, то существенность различия выделенных частей (групп) доказывается с помощью дисперсионного анализа на основе F-критерия. В зависимости от количества учтённых факторов, действующих на результативный признак, дисперсионный анализ подразделяется на однофакторный и многофакторный.

В случае выделения групп по одному фактору (однофакторная аналитическая группировка) общая вариация результативного признака – общая сумма квадратов отклонений индивидуальных значений от его общего среднего значения – может быть разложена на две составные части − вариацию, обусловленную действием факторного признака на результативный (факторная дисперсия) и вариацию, обусловленную действием всех прочих причин (остаточная дисперсия).

Сумма квадратов отклонений внутри групп определяется следующим образом:

где уij – значение результативного признака y i -й единицы в j -й

На основе разложения дисперсии в соответствии с гипотезой отсутствия различий между группами могут быть получены три оценки генеральной дисперсии, пропорциональные степеням свободы: на основе общей вариации, межгрупповой (факторной) и внутригрупповой (остаточной). Число степеней свободы равно:

1)для общей вариации dfобщ n 1;

2)для вариации между группами (межгрупповая вариация) dfфакт m 1

( m – число групп);

3) для вариации внутри групп: dfост n m .

Как и суммы квадратов отклонений, числа степеней свободы связаны между собой равенством: df общ dfфакт dfост. Рассчитываем дисперсии путём деления сумм квадратов отклонений на соответствующее число степеней

связанную с изменением фактора, по которому произведена группировка, а – вариацию, связанную с изменением всех прочих факторов, сравнение этих величин, рассчитанных на одну степень свободы, даёт возможность оценить существенность влияния признака-фактора на