Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хабаровский государственный университет экономики и права

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4927

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.11.2022

Размер:

830.93 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Министерство образования Российской Федерации Хабаровская государственная академия экономики и права Кафедра математики и математических методов в экономике

Высшая математика Приложения производной к исследованию функций

Методические указания и индивидуальные задания для студентов 1-го курса дневного отделения

всех специальностей

Хабаровск 2003

ББК В11

Х12

Высшая математика. Приложения производной к исследованию функций: Методические указания и индивидуальные задания для студентов 1-го курса дневного отделения всех специальностей / Сост. И.В. Ясеновская – Хабаровск: РИЦ ХГАЭП, 2003. – с. 32

Рецензент к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной математики ДВГУПС Е.Н. Ломакина

Методическая разработка предназначена для выполнения индивидуальных заданий по высшей математике для студентов первого курса всех специальностей дневного отделения.

Задания предусматриваются по следующими темам: «Исследование функций и построение графиков», «Исследование функций на наименьшее и наибольшее значения», «Приближенные вычисления с помощью дифференциала» и «Экономический смысл производной».

Структура методических указаний следующая: дана подробная схема исследования функции, рассмотрено решение типовых задач, составлены варианты заданий для самостоятельного решения. При подборе упражнений использовалась различная учебная литература. Основные понятия изучаемого раздела иллюстрируются задачами экономического содержания.

Утверждено издательско-библиотечным советом академии в качестве методических указаний.

1. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

Дифференциальное исчисление позволяет установить характерные особенности изменения функций: возрастание и убывание, максимумы и минимумы, направление выпуклости и вогнутости графика, наличие асимптот. Характерные точки – точки разрыва, экстремума, перегиба, пересечения графиков с осями координат служат опорными точками при исследовании функций и построении их графиков.

При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1.Найти область определения функции.

2.Исследовать функцию на четность–нечетность.

3.Найти вертикальные асимптоты.

4.Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты.

5.Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6.Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7.Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые

дополнительные точки, уточняющие график.

Заметим, что исследование функции проводится одновременно с построением ее графика.

Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график

		у	1	х	3	х	2	5 .
		у	6	х		х		5 .
			6
	Решение
1.	Очевидно, что функция определена на интервале х										(-			; +			).
2.	Функция нечетная, так как	f x	1			х	3	х	2	5		1	х	3	х	2	5	f x .
2.	Функция нечетная, так как	f x	6			х		х		5	6		х		х		5	f x .
			6								6

Следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.

3.Так как функция непрерывна на всей области определения, то точек разрыва она не имеет, а следовательно, не имеет и вертикальных асимптот.

4. Наклонная асимптота имеет вид y kx b , если существуют конечные пределы

k = lim	f x	,	b = lim f (x) kx .
	x
x			x

Найдем эти пределы для данной функции:

k = lim	х3 х 2 5	lim	1	х 2	х 2	5	.
	6х		6
x		x

Таким образом, функция не имеет ни наклонных, ни горизонтальных асимптот.

5. Очевидно, что у										1	5х		4		15х			2				5		х		2		х	2				3 .
5. Очевидно, что у									6		5х				15х							6		х				х					3 .
									6													6
Приравняем производную к нулю.
																	5		х 2				х 2						3							0,
																	6		х 2				х 2						3							0,
																	6

имеем три критические точки: х1=0,																									х2=					3,						х3= - 3 .
		Всю область определения разобьем на следующие три промежутка:

															;			3 ,											3;							3 ,				3;
							+								-																						-
															-																						-							+
																																												+
																																														х
									3																		0																3
									max																																		min
									max																																		min
		На каждом из этих промежутков																										устанавливаем															знак производной.

Очевидно,							что	y	0 на промежутке																					3;							3 ,			и y			0 на промежутках

	;		3				и		3; .							Следовательно,																						на					3; 3	функция
y	1	x	3	x	2		5	убывает, на																			и												- возрастает.
	1		3		2													;				3											3;
	6																	;				3											3;
	6
		Таким образом, определены промежутки																																						монотонности. В					точке

х3				3		функция			имеет						максимум.													В						точке						х2			3 функция		имеет

минимум,								ymin		f		3							3 ;									ymax									f			3			3 .	Обозначим
полученные точки:									А										- max; B																					- min.
полученные точки:									А				3;		3				- max; B																3; 3					- min.
6. Найдем
											y				5	4x3							6x								5			x 2x 2						3 .
											y				6	4x3							6x							3				x 2x 2						3 .
															6															3
Приравняем вторую производную к нулю.
																				5	x 2x 2												3				0 .
																		3			x 2x 2												3				0 .
																		3
Корни этого уравнения следующие:

														x				0; x												3		;				x					3	.
														x				0; x					2									;				x	3					.
															1								2							2							3			2
																														2										2

Всю область определения функции разобьем на промежутки:


;	3	,	3	;0 ,	0;	3	,	3	;	.
;	2	,	2	;0 ,	0;	2	,	2	;	.
	2		2			2		2

-	+	-
		-
		+
		+
		х

Следовательно,

на

промежутках

;

1,5

функция

выпукла (выпукла вверх), а на промежутках

1,5;0

1,5;

- вогнута

(выпукла вниз).

Так

как

вторая

производная

при

переходе

через точки

x1 0; x2

1,5;

1,5

меняет

знак,

то

все

эти

точки

являются

абсциссами точек перегиба. Находим их ординаты:

1,5

1,5 ;

1,5

1,5 .

Таким образом, точками перегиба являются следующие точки:

	7			7
O 0;0 ; C 1,5;	7	1,5 ; Д	1,5;	7	1,5 .
O 0;0 ; C 1,5;	8	1,5 ; Д	1,5;	8	1,5 .
	8			8

7. Найдем точку пересечения графика функции с осью Оу. Тогда при

х = 0 получаем из уравнения у

х3

х 2

5 , что и у = 0. Итак, ось Оу

график функции пересекает в точке О(0;0).

Для нахождения точек пересечения графика с осью Ох решим

уравнение f x 0 .

0 .

Отсюда получаем х = 0; x

5 . Тогда график функции пересекает ось Ох

в трех точках О(0;0); Е 5;0

; F

5;0 .

График функции изображен на рис. 1.

F	D	O	E

			х

5	3				3	5
	3	C
		C
		3
					B
Рис.1. График функции у			1	х3	х 2	5 .
			6

Пример 2. Исследовать функцию и построить её график

y	x 2	4x	4	.
	x 2	3x	2

Решение

1.Найдем область определения функции. Для этого необходимо решить квадратное уравнение

	x2	3x	2	0;
	x1	1,	x2	2.
Следовательно, область определения функции x							;1 1;2		2;	.
2. Исследуем функцию на четность и нечетность
f x	x 2	4	x	4	x 2	4x	4	.
f x	x 2	3	x	2	x 2	3x	2	.
	x 2	3	x	2	x 2	3x	2

Очевидно, что данная функция не является ни четной ни нечетной.

3. Проведем классификацию точек x1 1, x2 2 разрыва функции. Для

этого вычислим правосторонние и левосторонние пределы в точках разрыва.

lim

x 2

4x 4

lim

1 0 2

4 1 0 4

lim

x 1 x 2

1 0 1 1 0 2

x 1 0

lim

x 2

4x 4

lim

1 0 2

4 1 0 4

lim

x 1 x 2

1 0 1 1 0 2

x 1 0

Аналогично получаем

lim

;

lim

f x

x 2

Следовательно, точки x1 1 и x2 2 являются точками разрыва

второго рода, а прямые х = 1 и х = 2 – вертикальными асимптотами графика функции.

4. Найдем наклонную асимптоту графика функции

k	lim	f	x	lim	x 2	4x	4		0 ;
k	lim		x	lim	x x 2				0 ;
	x		x	x	x x 2	3x	2
b	lim		f x	kx	lim f x			1.
	x				x

Следовательно, горизонтальная асимптота у = 1 явилась частным случаем наклонной асимптоты.

5. Найдем производную данной функции
y	2x 4 x 2	3x 2	2x 3 x 2 4x 4	7x 2	12x 4
						.
		x 2	3x 2 2	x 2	3x 2 2	.

Таким образом, первая производная не существует в точках разрыва

функции x1	1,	x2		2 . Решая			уравнение y 0 ,			7x2 12x 4 0,

получим x	6		36	28	,	x	0,5, x		1,2 .
получим x					,	x	0,5, x	2	1,2 .
		14				1		2
		14

Наносим критические точки на числовую прямую.

-			-	-
	+		+			х
0,5		1	1,2	2		х
0,5		1	1,2	2
	min		max
Очевидно, что y		0 на промежутках		; 0,5 ; 1,2; 2	и 2;	, на
этих промежутках функция убывает. На промежутках, где y					0 - (0,5;1),

(1;1,2) функция возрастает.

Соответственно точками экстремума являются точки с абсциссами

х1 = 0,5 – минимум и х2 = 1,2 – максимум. Таким образом, уmin= f(0,5) = -

2,5 и уmax=f(1,2) = -10.

Обозначим полученные точки А(0,5; -2,5) – min и В(1,2; -10) – max.

6. Исследуем функцию на наличие точек перегиба.

y		14x 12 x 2	3x 2 2 2x 3 7x 2					12x 4 2x 7x 2			18x 12
y			x	2	3x 2	3				x 1 3	x 2 3
				2		3				x 1 3	x 2 3

Вторая производная существует на							;1 , (1;2), 2;		.
	Найдем точки, подозрительные на перегиб, для этого решим
уравнение
					2x 7x2	18x	12	0 .
Получим х=0; так как D<0, то 7x2						18x	12	0 .

Нанесем точки на ось

-	+			-		+
						х
	0	1				2
		разрыв			разрыв
Таким образом, на промежутках		; 0	и	(1; 2)	–	функция выпукла
(выпукла вверх), а на промежутках (0; 1)			и	2;	-	вогнута (выпукла
вниз).
Для точки с абсциссой х = 0 найдем её ординату y						f (0) 2 .

Таким образом, график функции имеет единственную точку перегиба С(0;-2).

7. Найдем точку пересечения графика функции с осью Оу. При х = 0, у = -2. Точка С(0;-2) – точка пересечения с Оу.

Для нахождения точек пересечения графика с осью Ох решим уравнение

		x2 4x 4	0 .
Получаем x 2	8 . Следовательно, x1		0,8, x2	4,8.

Назовем точки пересечения графика с осью Ох Д(0,8; 0) и Е(-4,8; 0). График функции изображен на рис. 2.

			9
	у
	1
	O	D
E	0	1	2	х
				х

Рис. 2. График функции y	x 2	4x	4	.
	x 2	3x	2

Пример 3. Исследовать функцию и построить её график

y x	ln x	.

	x
Решение

1. Данная функция определена в области определения функции y ln x . По определению логарифма получаем x 0; .

2.Функция не является ни четной ни нечетной.

3.Так как x 0 , то у функции имеется точка разрыва х = 0.

Определим вид точки разрыва. Поскольку область определения функции х>0, рассмотрим правосторонний предел

lim	f x	lim	x	ln x	.

				x
x 0	0	x 0	0

Следовательно, точка х = 0 – точка разрыва второго рода. Соответственно график функции имеет вертикальную асимптоту с уравнением х = 0.

4. Проверим функцию на наличие наклонных асимптот с уравнением y kx b , где

k lim

f (x)

lim 1

ln x

lim

ln x

lim

x 2

2x 2

lim f

x kx

lim

ln x

lim

0 .

x 2

2x 2

Получаем уравнение наклонной асимптоты у = х.

5. Исследуем функцию на монотонность.

y 1		1		ln x	.
y 1					.
			x 2
Приравняем производную к нулю.
1	1	ln x		0 .

		x 2
		x 2
	x2	1 ln x .
Учитывая, что производная		на		промежутке		0;	всегда

положительна, сделаем вывод, что функция на этом промежутке монотонно возрастает.

6. Найдем вторую производную функции

y	x 2x 1 ln x			2 ln x 3	.
y					.
	x 4			x3
Решаем уравнение y 0 , т.е.	2 ln x	3 0	,
	ln x	3 / 2	,
	x	e1,5 .

Исследуем полученную точку на перегиб

	-		+
			+
0		е1,5	х
0		е1,5

Действительно, на промежутке (0; е1,5) функция выпукла, а на промежутке (е1,5;+∞) – вогнута. Следовательно, точка с данной абсциссой является точкой перегиба функции.

Найдем её ординату	y	f e1,5	e1,5	ln e1,5	5.
Найдем её ординату	y	f e1,5	e1,5	e1,5	5.
				e1,5
Таким образом, получим точку А(е1,5; 5).
7. В силу того, что	x	0 , график функции			y x	ln x	не имеет точек
7. В силу того, что	x	0 , график функции			y x	x	не имеет точек
						x

пересечения с осью Оу.

Определим точки пересечения необходимо решить уравнение f x

функции с осью Ох. Для этого

0 .

ln x	0	,

x
x

x2 ln x .

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.2022828.68 Кб54922.pdf
#
13.11.2022828.81 Кб34923.pdf
#
13.11.2022828.93 Кб14924.pdf
#
13.11.2022829.17 Кб14925.pdf
#
13.11.2022830.72 Кб44926.pdf
#
13.11.2022830.93 Кб64927.pdf
#
13.11.2022831 Кб104928.pdf
#
13.11.2022831.77 Кб84929.pdf
#
13.11.2022831.95 Кб84930.pdf
#
13.11.2022832.93 Кб294931.pdf
#
13.11.2022834.6 Кб94932.pdf