4925

21

Свойство 3. Оценка как мера эффективности выпускаемой продукции. Это свойства также следует из теоремы 2. Пусть x j* 0 . Это означает, что продукция j – го вида производится оптимальном плане. Из (2.11) имеем

продукции равна стоимости единицы этой продукции. Такую продукцию

i

производится, потому что аналогичная оценка ресурсов превышает цену единицы этой продукции. Такую продукцию будем считать нерентабельной.

Свойства 4. Оценка как средство балансировки затрат и результатов в оптимальном плане. Это свойство следует из условия (2.7) теоремы 1:

Левая часть этого равенства означает стоимость произведенной продукции, т.е. результат производства, а правая - оценку ресурсов, т.е. затраты экономической системы. В оптимальном плане результаты производства балансируются затратами системы на это производство.

В случае неоптимальности плана по известной теореме линейного

между запасами ресурсов и их расходом после производства продукции:

Оптимальное решение этой задачи можно исследовать с точки зрения ее входных параметров (цен на продукцию, запасов ресурсов) по свойствам двойственных оценок. Получив оценки ресурсов, можно проанализировать производственную ситуацию с точки зрения:

1)влияния изменения объемов каждого вида ресурсов на значение целевой функции (на доход от реализации произведенной продукции);

2)дефицитности (лимитированности) ресурсов каждого вида.

3)эффективности выпуска j-го вида продукции с точки зрения определения превышения оценок ресурсов j на производство единицы j–го вида продукции над ее ценой c j из (2.4)

23

Окончательно математическая модель задачи с измененными ограничениями имеет вид

2.2.Постановка задачи

Некоторое предприятие из четырех видов имеющихся ресурсов может производить пять видов различной продукции. Исходные данные задачи представлены в табл.2.2.1.

Найти:

1)оптимальный план выпуска продукции, обеспечивающий максимальный доход от реализации произведенной продукции;

2)оптимальное решение двойственной задачи;

3) исследовать полученные оптимальные решения по свойствам двойственных оценок;

4)провести анализ модели на чувствительность:

а) в границах устойчивости дефицитного ресурса и за границами устойчивости; б) в границах устойчивости цен на рентабельную продукцию и за

границами устойчивости;

5)решить задачу с заданным ассортиментом выпуска продукции;

24

6) решить задачу в условиях реализации излишка недефицитного ресурса и приобретения дефицитного.

Составим математическую модель исходной задачи. Найти

Двойственная задача:

Найти оптимальные оценки ресурсов У*( y1*, y2*, y3*, y4*), удовлетворяющие условиям:

Система ограничений (2.15) характеризует использование ресурсов на производство продукции. Целевая функция z (2.16) определяет стоимость произведенной продукции.

Ограничения двойственной задачи (2.17) характеризуют оценки ресурсов на производство единицы каждого вида продукции. Целевая функция w (2.18) характеризует оценку ресурсов.

2.3. Ход выполнения работы

Данную задачу будем решать, используя пакет прикладных программ (ППП) QM for Windows, содержащий раздел линейного программирования.

Задав в диалоговом окне число ограничений (Number of Constraints), равным 6 (два резервных для ассортиментного выпуска продукции), и число переменных (Number of variables), равным 6 (одна резервная), и, щелкнув в случае необходимости Maximize (максимум), введем коэффициенты и знаки неравенств в таблицу исходных данных. Нужный знак ограничения можно установить с помощью щелчка по стрелке вниз,

25

появляющейся в соответствующем столбце, если в него поместить курсор ввода.

После решения задачи щелчком по меню Window можно вызвать окна результатов решения: Linear Proqramminq Results, Ranqinq, Solution List

(Рис. 2-3)

Рис 2. Окно результатов решения задачи На рис.2 раскрыто окно результатов. В последней строке этого отчета

под соответствующими переменными указаны их значения в оптимальном решении, а также значение целевой функции (в столбце RHS). В последнем столбце (Dual-двойственный) указаны двойственные оценки оптимального решения.

Рис.3. Окно границ устойчивости параметров задачи

На рис.3 показано окно Ranqinq - (размах), в котором отражены границы устойчивости параметров исходной задачи. В столбце Value -(величина) указаны значения переменных в оптимальном плане задачи. В столбце Reduce - (уменьшенный) указаны величины, на которые нужно уменьшить левую или увеличить правую части соответствующего ограничения двойственной задачи для того, чтобы они сравнялись. В следующем столбце Oriqinal Val - (первоначальная величина) указаны коэффициенты целевой функции при соответствующих переменных. В последних двух столбцах указаны нижние и верхние границы изменения этих коэффициентов. Если коэффициенты изменяясь, не будут выходить за пределы этих границ, то основные переменные исходной задачи не изменят свой статус в оптимальном решении, т.е. если были базисными в оптимальном решении, то таковыми останутся и в новом решении (структура выпуска продукции не изменится).

26

В нижней части (рис.3) указаны границы устойчивости переменных двойственной задачи (двойственных оценок). В первом столбце (Dual Value) указаны двойственные оценки оптимального решения для каждого ограничения, во втором (Slack/Surplus) - значения балансовых переменных, в третьем (Oriqinal Val) - исходные значения правых частей ограничений. В последних двух столбцах - нижняя и верхняя границы изменения правых частей. Если правые части ограничений изменяясь, не выйдут за пределы этих границ, то двойственные оценки оптимального плана останутся неизменными.

Рис.4. Окно списка решения задачи

На рис.4 раскрыто окно (Solution List) списка решения задачи. В этом окне отражен перечень всех переменных задачи, их статус (базисная или свободная) и значения этих переменных.

Приведем математические модели исходной (2.15-2.16) и двойственной задачи (2.17-2.18) к основному виду, добавив в левые части систем ограничений неотрицательные балансовые переменные. Получим:

27

Здесь j означает превышение оценок ресурсов на выпуск единицы

j-го вида продукции над ценой единицы этой продукции.

Из (рис.2) выпишем оптимальное решение исходной и двойственной задачи соответственно:

x* (42,8571;0;0;0;59,5238);

y* (0,619;0;1,0952;0); zmax 630,9524.

Т.е. предприятие получит максимальную выручку в 630,9525 усл.ден.ед, если будет производить продукцию первого вида в объеме 42,8571 единиц, пятого 59,5238 ед. и откажется от производства продукции второго, третьего и четвертого вида (х2*= х3*= х4*= 0).

При таком производстве полностью будут израсходованы ресурсы первого и третьего вида, их остатки S1=S3=0. Остатки второго ресурса

S2=288,0952 и четвертого S4=133,3333.

Исследуем полученное оптимальное решение задачи по свойствам двойственных оценок. Под двойственной оценкой будем понимать оценку

единицы i–го вида ресурса ( yi ) или, по другому, теневой ценой i–го

ресурса.

1. Двойственная оценка как мера влияния на значение целевой функции. Двойственная оценка ресурса показывает, насколько изменится значение целевой функции при изменении объема соответствующего ресурса на единицу, если изменение этого ресурса не выходит за границы устойчивости. Согласно этому свойству дополнительное приобретение второго и четвертого ресурсов при неизменных объемах первого и третьего даст нулевой вклад в целевую функцию. Данная ситуация вполне объяснима. Узкими местами производства являются первый и третий ресурсы, так как они лимитированы в производстве и расходуются без остатка. Приобретение дополнительно второго и четвертого ресурсов при неизменных объемах первого и третьего видов ресурсов будет лишь загружать склады предприятия. При приобретении дополнительно дефицитных ресурсов производство расширяется и дополнительный выпуск продукции влечет за собой увеличение дохода. Причем, увеличение дохода при увеличении i–го ресурса на величину bi (в

границах устойчивости) ∆z = yi bi .

В нашем примере каждая дополнительная единица первого и третьего ресурса приведет к увеличению дохода соответственно на 0,619 и 1,0952 усл.ден.ед. Именно с точки зрения вклада в целевую функцию третий ресурс является более дефицитным. Таким образом, при наличии выбора

28

руководитель предприятия должен ориентироваться на увеличение дохода,

впервую очередь, за счет третьего ресурса.

2.Двойственная оценка как мера дефицитности ресурсов. Согласно этому свойству оценка недефицитного (т.е. не полностью используемого) ресурса равна нулю, дефицитный ресурс имеет положительную оценку.

Проверим это свойство для первого и второго ресурса, подставив

значение х * в первое и второе ограничения исходной задачи.

Остаток второго ресурса S2 800 511,9045 288,0955. Аналогично для третьего и четвертого вида ресурсов. Более дефицитным является третий ресурс, как имеющий более высокую оценку. Меру дефицитности здесь можно определить с точки зрения изменения значение целевой функции в зависимости от изменения запаса ресурса, что связано со вторым свойством двойственных оценок.

3. Двойственная оценка как мера эффективности выпуска продукции. Наше предприятие выпускает продукцию первого и пятого вида, отказываясь от производства остальных видов продукции. Проверим эффективность производства для первой продукции, подставив значения

у* в первое ограничение двойственной задачи:

0,619 50 4 1,0952 30 4,988 5 ,

т.е. оценка ресурсов на производство единицы продукции совпадает с ценой единицы этой продукции. Аналогично для третьей продукции. Оценка же ресурсов на производство единицы второго, третьего и четвертого видов продукции превышает цену за единицу на 1,1429;1,5238 и 2,2381 усл.ден.ед. соответственно. Проверим для второй продукции:

80,619 10 2 1,0952 4 0 7,1424 6 на 1,1424.

Данная продукция нерентабельна, при ее выпуске предприятие терпело бы убытки. Для включения в план данной продукции предприятие должно либо поднимать цену, либо снижать издержки. Аналогично для третьего и четвертого видов продукции.

4. Двойственные оценки как мера соизмерения затрат и результатов. Вычислим значения целевых функций исходной и двойственной задач.

w 4000,619 8000 3501,0952 5000 630,9524.

Таким образом, эффект от выпуска продукции в оптимальном плане совпадает с затратами, исчисленными в ''теневых ценах''. Исходя из полученных оптимальных решений двойственных задач можно определить план действий при формировании запасов ресурсов для дальнейшего производства, определить ассортимент выпускаемой продукции, наметить мероприятия по переводу продукции из нерентабельной в рентабельную, как при этом можно изменять цены на продукцию и запасы ресурсов без

29

резкого изменения полученного оптимального решения. Речь здесь идет об определении границ устойчивости полученного решения.

Под устойчивостью понимается неизменность набора базисных переменных при изменении цен на продукцию и неизменность оценок при изменении запасов ресурсов. Базисными переменными в оптимальном решении исходной задачи являются х1 и х5, s2 и s4. Их значения отличны от нуля. Остальные переменные являются свободными.

На рис.3 приведены границы изменения цен на продукцию и запасов ресурсов. Цена на первую продукцию может меняться в пределах от 2,3333 до 7, на вторую - от 0 до 7,1429 (-Infinity, т.е. заменяем 0 исходя из смысла коэффициента):

переменные х1,х5,s2,s4, их значения также не изменяются. Значения уi и j

изменятся. Проверим это. Увеличим цену на пятую продукцию до 10 (в границах устойчивости). План выпуска продукции при этом x1*=(42,8571;0; 0; 0; 59,5238), т.е. сохранился полностью и по ассортименту и по количеству. Изменение дохода при этом z c5 x5 3 59,5238 178,5714

(809,5238-630,9524=178,5714).

У1* = (1,1905; 0; 0,9524; 0). Значения уi в оптимальном плане двойственной задачи изменились (рис. 5).

Рис.5. Окно результатов решения задачи с изменением с5 в границах устойчивости

Изменим теперь с5 за границами устойчивости (с5=5). Получаем

оптимальный план х2* = (66,6667;41,6667,0,0,0), у2* = (0,4667;0;1,1333;0),

z2max=583,3333. Т.е. изменился и ассортимент выпуска продукции и значения оценок ресурсов (рис. 6).

30

Рис.6. Окно результатов решения задачи с изменением с5 за границами устойчивости

Аналогичные рассуждения можно провести для других видов продукции.

Проведем теперь анализ первоначального решения задачи при изменении запасов ресурсов (правых частей ограничений-RHS). Утверждается, что как и в случае изменения цен, при изменениях в границах устойчивости базис останется неизменным, но значения базисных переменных изменится, т.е. сохранится ассортимент выпуска продукции. При этом yi и j останутся без изменения. Изменим запас

дефицитного ресурса третьего вида до 400 (не выходя за границы устойчивости), цены на продукцию заданы исходные.

Получим x3* = (57,3429;0;0;0;57,1429), y3* = (0,619;0;1,0952;0),

z3max = 685,7143.

Изменение целевой функции произошло на величину

z3 b3 yi 50 1,0952 54,76 или по-другому, Δz3 =685,7143-630,9524=54,76.

Т.е. структура выпуска продукции в оптимальном плане осталась без изменения, но производство продукции - в другом количестве. Оценки ресурсов yi и величины j остались неизменными (рис.7).

Рис.7. Окно результатов решения задачи с изменением b3 в границах устойчивости