Непрерывность дробно-рациональных функций
Дробно-рациональные функции терпят разрыв только в тех точках, где знаменатель обращается в 0, при этом разрыв – либо устранимый, либо бесконечный скачок (частный случай разрыва 2-го рода).
Пример 9.
Исследуем на непрерывность функцию
.
Знаменатель обращается в 0 в точке , при подстановке получаем неопределённость . Раскроем её:
,
тогда
.
В точке
имеет место устранимый разрыв, на графике
получается прямая
,
из которой удалена точка с координатами
и
.
НФ7. Исследуйте на непрерывность функции и постройте их графики:
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
.
НФ8. Исследуйте на непрерывность дробно-рациональные функции. Покажите схематично поведение графика функции вблизи точки разрыва:
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
;
4) а)
; б)
; в)
; г)
.
Пример
10. Пусть
.
Эта функция не определена в точке
,
где знаменатель равен 0. Во всех других
точках она определена и потому непрерывна
по свойству элементарных функций.
Проверим точку . При подстановке её в функцию число 5 делится на бесконечно малую величину, получается бесконечность, и тогда – точка разрыва 2-го рода. Для построения схематичного графика находим пределы слева и справа:
а)
;
б)
.
Если подходить к точке слева, график падает круто вниз вдоль вертикальной прямой , а при подходе справа – круто поднимается вверх.
Пример
11. Пусть
.
Функция непрерывна во всех точках, кроме
той, где
,
т.е. кроме точки
.
При подстановке
получим
,
и потому
– точка разрыва 2-го рода. Найдём пределы
слева и справа:
а)
;
б)
.
При подходе аргумента x слева к точке 2 график поднимается вдоль вертикальной прямой , а при подходе справа – круто падает.
НФ9. Исследуйте на непрерывность дробно-рациональные функции. Покажите схематично поведение графика функции вблизи точки разрыва:
1) а)
; б)
; в)
;
2) а)
; б)
; в)
;
3) а)
; б)
; в)
;
4) а)
; б)
; в)
.
Пример
12. Пусть
.
Функция не определена при
.
Корни знаменателя – числа
и
.
Во всех других точках функция определена
и потому непрерывна как элементарная.
При
получим
,
и поэтому обе точки – точки разрыва
2-го рода. Дальнейшие действия лишь
уточняют знак бесконечности при подходе
к точкам с конкретных сторон. При
вычислении воспользуемся «методом
близкой точки». Его идея – узнать знак
функции в точках, близких
к тем, что нас интересуют.
Пусть . Вместо точек –5–0 и –5+0 возьмём соответственно –5,1 и –4,9:
а)
;
б)
.
При подходе слева к точке –5 график падает, при подходе справа – поднимается.
Пусть . Вместо точек 5–0 и 5+0 возьмём соответственно 4,9 и 5,1:
а)
.
б)
;
При подходе слева к точке 5 график поднимается, при подходе справа – падает.
Пример
13. Пусть
.
Корни знаменателя – числа
и
.
В остальных точках функция непрерывна.
Подставив, получим
и
– перед нами точки разрыва 2-го рода.
Для уточнения знаков бесконечности
применяем «метод близкой точки».
Для в качестве –6–0 и –6+0 берём соответственно –6,1 и –5,9:
а)
;
б)
.
Для в качестве –0 и +0 возьмём соответственно –0,1 и +0,1:
а)
;
б)
.
Вблизи точек –6 и 0 график ведёт себя одинаково – слева падает, справа растёт.
НФ10. Исследуйте на непрерывность дробно-рациональные функции. Покажите схематично поведение графика функции вблизи точки разрыва:
1) а)
; б)
; в)
;
2) а)
; б)
; в)
;
3) а)
; б)
; в)
;
4) а)
; б)
; в)
.
Пример
14. Пусть
.
Решив уравнение
,
получаем корни
и
.
В остальных точках функция непрерывна.
Подставив
,
получим
.
Значит,
– точка разрыва 2-го рода. Уточним знак
бесконечности:
а)
;
б)
.
Подставив
,
получим
.
В этом случае, как известно, надо упростить
дробь, разложив на скобки и сократив
одинаковые:
,
тогда
независимо от того, как подходить к
точке
.
Итак,
– точка разрыва 2-го рода, в которой знак
бесконечности меняется с «–» на «+»;
– точка устранимого разрыва, в которой
функция стремится к значению
.
Замечание 3.
Метод близкой точки требует осторожности.
Например, подставив в функцию
в качестве
число
,
получим, что
,
тогда как на самом деле
.
Дело в том, что между 2 и 2,1 находится
корень числителя – число 2,01.
Лучше усложнить
вычисления, взяв лишние 0 после запятой
– в данном случае можно взять
,
тогда
даёт верный вывод.