Пределы дробно-рациональных функций с квадратичными выражениями
В случае неопределённости следует разложить квадратичное выражение на множители. Для этого можно
а)
воспользоваться тождеством
,
где
и
– корни уравнения
,
найденные по формуле
;
б)
учесть, что, когда
,
то
– один из корней, и другой корень
можно найти по теореме Виета, например,
из равенства
,
где
;
в)
применить равенство
,
где
.
Пример 7.
(решили уравнения
и
и применили 1-й способ).
Пример 8.
.
В уравнении
свободный коэффициент –10 разделили на
коэффициент, стоящий перед
(число 4). Результат разделили на известный
корень 2. Получили 2-й корень
.
Затем в уравнении
нашли 2-й корень из условия
,
где 2 – известный корень, а 6 – свободный
коэффициент (Теорема Виета).
Пример 9.
.
Скобка
получена как
,
а остальные найдены 3-м способом.
ПР6. Раскройте неопределённость , разложив дробь на множители:
1) а)
; б)
; в)
;
г)
;
2) а)
; б)
; в)
;
г)
;
3) а)
; б)
; в)
;
г)
;
4) а)
; б)
; в)
;
г)
.
Пример 10.
.
Предел дробно-рациональной функции в бесконечности
Пусть дана функция
(см. стр. 16) и надо найти
.
Оказывается, при
вся дробь ведёт себя так, как отношение
старших степеней:
.
Тогда
.
Обозначим
.
Возможны 3 случая:
1)
,
тогда
,
где
(
);
2)
,
тогда
,
где
(
);
3) , Тогда .
Таким образом, предел равен
а) бесконечности, если степень числителя больше, чем степень знаменателя;
б) 0 в противоположном случае;
в) отношению старших коэффициентов, если степени равны.
ПР7. Найдите пределы
1) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
;
ПР8. Найдите пределы
1) а)
; б)
; в)
;
2) а)
; б)
; в)
;
3) а)
; б)
; в)
.
Пример 11. Оставив в числителе и в знаменателе старшие степени, находим
а)
;
б)
;
в)
.
Пример 12. Оставив старшие степени, видим, что
а)
;
б)
;
в)
.
Обратите внимание, что знак бесконечности (если таковая получается) в ответе не указывается. Тем не менее, если обе старшие степени – чётные (или если обе нечётные), очевидно, их отношение всегда положительно, что можно учесть.
ПР9. Найдите
пределы функций
в точках
,
,
,
,
,
а также при
.
.
Пределы иррациональных функций
Если функция содержит корень, подставляем, как обычно, предельную точку. Сложности связаны с неопределённостью , когда приходится умножать числитель и знаменатель на сопряжённое выражение.
Выражения сопряжены
относительно
разности квадратов,
если их произведение превращается в
разность квадратов по формуле
.
Примеры сопряжённых выражений
а)
сопряжено с
,
при этом
;
б)
сопряжено с
,
и тогда
;
в)
сопряжено с
,
поскольку
,
причём под корнем всё остаётся без изменений;
г)
сопряжено с
:
.
ПР10. Найдите пределы иррациональных функций простой подстановкой:
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
;
4) а)
; б)
; в)
; г)
.
Пример 13. Подставив указанные точки, находим значения
а)
;
б)
.
ПР11. Раскройте неопределённость , умножив числитель и знаменатель дроби на подходящее сопряжённое выражение и сократив одинаковые скобки:
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
;
4) а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
.
Пример 14.
.
Пример 15.
.
Пример 16.
.
ПР12. Умножьте числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое к числителю, а затем – на выражение, сопряжённое к знаменателю. Сократив скобки, раскройте неопределённость :
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
3) а)
; б)
; в)
;
4) а)
; б)
; в)
.
Пример 17. Умножим, чтобы получить разность квадратов:
.
Пример 18. Так же, как в примере 17,
.
Иррациональные
пределы при
в случае неопределённости
находят подобно рациональным, при помощи
старших степеней, а в случае неопределённости
сводят её к
при помощи сопряжённого выражения.