Тригонометрические пределы. Первый замечательный предел
ПР13. Найдите тригонометрические пределы простой подстановкой:
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
.
Пример 19. Легко видеть, что
а)
;
б)
.
Предел
помогает, если при вычислении
тригонометрических функций получается
неопределённость
.
Оказывается, если при
функция
,
то выполнено приближённое равенство
,
и все 4 функции примерно равны собственному аргументу. Тем самым, если аргумент , указанные функции являются эквивалентными бесконечно малыми (предел их соотношения равен 1).
Так,
,
,
поскольку
.
Как применить это при вычислении
пределов, показано в примерах.
ПР14. Раскройте неопределённость при помощи эквивалентных бесконечно малых величин:
1)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
2)
; б)
; в)
; г)
; д)
.
Пример 20. Если заменить функции собственным аргументом, то
а)
;
б)
;
в)
.
ПР15.
Раскройте неопределённость
при помощи эквивалентных бесконечно
малых и тождества
:
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
.
Пример 21.
.
Пример 22.
(учли, что по смыслу
задачи
,
иначе
не существует).
При переходе к эквивалентным бесконечно малым следует проявлять осторожность, когда присутствует разность или сумма функций, тем более, если после упрощений получается 0 в числителе или знаменателе:
.
Попытка перейти
в числителе к разности
приведёт к ошибке: либо решим, что в
числителе «чистый» 0, и потому ответ
равен 0, либо вовсе зайдём в тупик.
Второй замечательный предел
Предел
применяют для раскрытия неопределённостей
вида
,
связанных с показательными функциями
.
Равносильное
свойство:
Однако, как при вычислении любого предела, начинать следует с подстановки предельной точки. Если вместо точки указана бесконечность, пытаются упростить пример, найдя предел основания, степени и т.п. И только при возникновении неопределённости применяют замечательный предел.
Схема применения 2-го замечательного предела
Пусть при
оказалось, что
,
а
.
Тогда
.
Считаем, что
,
где
при
.
Тогда
.
Поскольку
,
то
.
Найдём предел
,
и если он равен числу A,
то весь предел равен
.
ПР16. Найдите пределы простой подстановкой:
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
.
Пример 23.
.
ПР17.
Найдите пределы, воспользовавшись
свойствами показательной функции
,
а именно – её значениями при
,
когда
или
:
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
.
В задании 2 в каждом примере получаются 2 ответа – в зависимости от знака бесконечности.
Пояснение. Если
,
то
и
.
Если
,
то
и
.
При
зависимость
не является функцией (точнее, это функция,
разрывная в каждой действительной
точке).
Пример 24.
Видно, что
.
Тогда, поскольку
при
величина
обращается в 0,
.
Пример 25.
Находим
.
Основание
,
а в этом случае
.
Поэтому
.
Пример 26.
Здесь
.
Но функция
– это то же, что
.
А эта функция стремится к 0 при
и обращается в
при
.
Тогда
.
ПР18. При помощи 2-го замечательного предела раскройте неопределённость , когда аргумент стремится к бесконечности:
1) а)
б)
; в)
; г)
;
2) а)
б)
; в)
; г)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
;
4) а)
; б)
; в)
; г)
;
5) а)
; б)
; в)
; г)
.
Пример 27.
.
Пример 28.
Найдём
.
Представим основание так:
(а лучше сразу
заметить, что
).
Тогда
.
Но
.
Поэтому
.
ПР19. При помощи 2-го замечательного предела раскройте неопределённость , когда аргумент стремится к 0:
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
.
Пример 29. Преобразовав степень, получаем
а)
;
б)
.
ПР20. Найдите пределы
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
.
Пример 30.
Найдём
.
Здесь
,
и тогда
.
В степени присутствует
,
но
,
поэтому
.
Это и есть ответ.
Пример 31.
Найдём
.
Представив
,
получаем, что
.
Теперь находим
.
Преобразуем показатель степени так:
.
Тогда
Ответ:
.