II. Пределы и непрерывность
§ 4. Пределы функций
«Предел функции» – более общее понятие, чем «значение функции в точке».
Не всегда аргумент
можно подставить в формулу функции.
Так, функция
не имеет смысла в точке
,
но при
получается
.
Функция
не вычисляется в точке
,
но при
оказывается, что
.
В 1-м случае говорят,
что предел в точке 0 равен 2:
.
Во 2-м случае предел в точке
равен –3:
.
Кроме того, функции не определяются в бесконечности, поскольку такое понятие не выражается числом. Между тем предел в бесконечности находится по стандартным правилам и нередко достаточно просто.
Например, функция
при
вначале быстро возрастает, однако при
бесконечно большом аргументе стремится
к 0:
.
Также хорошо
известно, что функция
при
.
Для работы необходимо вспомнить, что
а) функции
,
где
,
называют основными
элементарными;
б) функции, составленные из основных элементарных при помощи конечного числа арифметических операций и суперпозиций (взятия функции от функции), называют элементарными.
Если функция
элементарна, то при вычислении
,
когда
– число, вначале пробуют подставить
в функцию
– найти
.
Если результат
получается, как обычное значение функции
– это и есть ответ. Если функция
неэлементарна или при подстановке
возникает неопределённость
,
,
применяют разные правила и схемы
вычисления пределов.
Предел дробно-рациональной функции в точке
Пусть даны точка
и функция
,
где
и
– некоторые многочлены. Надо найти
.
Найдём
и
.
Полученные числа обозначим соответственно
P
и Q.
Возможны 4 случая:
1)
,
тогда
– это обычное число (не обязательно
целое);
2)
,
тогда
;
3) , Тогда ;
4)
,
тогда
и
раскладываются на скобки так, что
для всех
,
где
– какие-то многочлены (полиномы).
Находим
и
и приходим к одному из случаев 1, 2 или
3.
Проще говоря,
– в 1-м и 2-м случаях предел равен значению функции в точке;
– в 3-м не равен конкретному числу и обозначается символом бесконечности;
– в 4-м случае надо разложить числитель и знаменатель на скобки, сократить одинаковые и подставить число заново.
ПР1. Найдите пределы простой подстановкой:
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
.
Пример 1. Подстановкой можно найти, что
а)
;
б)
;
в)
.
ПР2. Найдите пределы, подставив точку в функцию :
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
3) а)
; б)
;
в)
; г)
; д)
;
4) а)
; б)
; в)
;
г)
;
5) а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Пример 2. Так же, как в примере 1,
а)
;
б)
;
в)
(не
!)
ПР3. Подставив точку в функцию , проверьте, что пределы равны 0:
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
;
2) а)
;
б)
; в)
; г)
;
д)
;
3) а)
; б)
; в)
;
г)
;
д)
;
4) а)
; б)
; в)
; г)
;
5) а)
; б)
;
в)
; г)
.
Пример 3. Простая подстановка показывает, что
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
ПР4. Проверьте, что указанные пределы равны бесконечности:
1) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
4) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
.
Пример 4. Поскольку знаменатель равен 0, то
а)
;
б)
;
в)
.
ПР5. Раскройте
неопределённость
,
разложив дробь на множители-скобки и
сократив одинаковые скобки в числителе
и в знаменателе:
1) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
4) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
.
Замечание 1. Вам понадобятся формулы
;
;
.
Сумма квадратов
на действительные множители не
раскладывается.
Пример 5.
.
Также можно было
вынести за скобки числа 10 и 25 и сократить
на
.
Замечание 2. Обратите внимание, что попытка подставить число в первоначальную дробь берётся в скобки как приводящая к неопределённости (также заключаемой в скобки). Этим подчёркивается, что арифметическое выражение, взятое в скобки, не имеет смысла и потому не равно самому пределу. В то время как предел равен конкретному числу, что и выясняется при решении.
Замечание 3. Скобки при появлении необычных ситуаций ставят, чтобы отличать последние от бессмысленных выражений. Например,
– деление одной бесконечно малой величины на другую;
– деление числа 1 на бесконечно малую
величину;
и
– действия или величины, противоречащие
основам математики.
Пример 6.
.