Zaharov_E.D._i_dr._Perehodnye_processy_v_elektr._cepyah_s_raspred._parametrami

УДК 321.3.011(075) З–38

Рецензент:

И.А. Мелик-Шахназарова – к.т.н., и.о. зав. кафедрой ТЭЭП РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина

Захаров Е.Д., Синицына Н.В.

З–38 Переходные процессы в электрических цепях с распределёнными параметрами: Учебно-методическое посо-

бие. – М.: Издательский центр РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина, 2018. – 20 с.

В работе изложены краткие сведения по расчету переходных процессов в электрических цепях с распределенными параметрам (длинных линиях). Приведены волновые уравнения и алгоритмы их решений для расчета падающих и отраженных волн, возникающих в длинных линиях при коммутациях. Даны подробные рекомендации по обозначениям и методические указания, позволяющие упростить вычисления и построение графиков распределения волн напряжения и тока по линиям и изменения этих величин в заданных точках линий.

Приведены варианты схем и исходных данных для индивидуальных контрольных заданий.

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов факультета АиВТ, изучающих курс «Теория поля (Спецглавы)».

Захаров Е.Д., Синицына Н.В., 2018

РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина, 2018

3

Постановка задачи расчёта переходных процессов в электрической цепи с распределёнными параметрами

В линейной электрической цепи (схемы 1 … 28), содержащей источник постоянного напряжения, три состыкованные однородные длинные линии и сосредоточенные параметры, происходит коммутация, то есть подключается или отключается источник энергии, или участок цепи. Задача имеет ненулевые начальные условия, то есть по некоторым линиям до коммутации текут токи, или они находятся под напряжением.

1.Требуется найти напряжения и токи после коммутации в любой точке линии в зависимости от времени: u(x, t), i(x, t), при ограничении t ≤ t*.

2.Для найденных функций построить графики распределения напряжений и токов вдоль линий через заданное время t* после коммутации;

3.Построить графики изменения токов и напряжений в заданной точке линии A за время t ≤ t* после коммутации.

Поставленная задача решается с помощью волновых уравнений

(1)

–

где (км) – координата, отсчитываемая вдоль линии; (с) – время;

(км/с) – скорость распространения волны вдоль линии.

4

Общее решение волновых уравнений для однородных линий имеет вид

u(x, t) = uп(x, t) + uо(x, t) = f1(t – x/v) + f2(t+ x/v)

(2)

i(x, t) = iп(x, t) + iо(x, t) = f1(t – x/v)/zв – f2(t+ x/v)/zв ,

где zв (Ом) – волновое сопротивление линии, задаётся в исходных данных;

f1 и f2 – функции, зависящие от граничных условий, вычисляются в процессе решения задачи; индексы п, о обозначают падающую и отражённую волны.

Для расчёта переходных процессов в длинных линиях при ненулевых начальных условиях используется метод сведения к нулевым начальным условиям и два алгоритма:

алгоритм расчёта падающих волн;

алгоритм расчёта отражённых волн.

По первому алгоритму определяются падающие волны, которые распространяются в обе стороны вдоль однородных линий от точки коммутации до точки неоднородности, сохраняя свою форму. Точкой неоднородности является конец линии, или стык двух линий, содержащий, в том числе, сосредоточенную нагрузку

(R, L, C).

По второму алгоритму в точках неоднородности рассчитываются все последующие переходные процессы и определяются:

напряжение и ток в нагрузке;

отражённые волны напряжения и тока;

преломлённые волны напряжения и тока, проходящие в следующую линию.

Расчёт отражённых волн по второму алгоритму продолжается до истечения времени, ограниченного в исходных данных (t* ).

5

Рекомендации по обозначениям

1.Рекомендуется ввести координату x вдоль всех линий, например: слева – направо, от точки 0, где начинаются первая по порядку линия до точки l1+l2+l3, где заканчивается последняя по порядку линия.

2.Рекомендуется отметить на оси x начало и конец каждой конкретной линии, а также отметить заданную точку A (координатой x*).

3.Рекомендуется также токи и напряжения, распространяющиеся в линию с номером k, помечать индексом k: например: ukп(x, t) – напряжение падающей волны в линии lk, или ikо(x, t) – ток отражённой волны в линии lk.

4.Поскольку после первого же отражения все вновь рождающиеся волны будут отражёнными, независимо от направления их распространения, рекомендуется перед расчётом выбрать положительное направление (например: слева – направо) и обозначить искомые величины uпi(x, t), iпi(x, t) для волн, распространяющихся в линию li слева – направо (прямая, положительная), а волны, распространяющиеся в линию lj справа – налево соответственно обозначить uоj(x, t), iоj(x, t) (обратная, отрицательная).

При таких обозначениях на любых участках линий будут выполняться равенства

где индекс «о» будет предупреждать об отрицательном знаке между напряжением и током uо и iо.

6

Методические указания для решения задач

Сведение к нулевым начальным условиям

Для расчёта переходных процессов в длинных линиях, по которым текут токи, или которые находятся под напряжением, применяется метод сведения к нулевым начальным условиям. Прежде всего, необходимо найти начальные условия переходного процесса, то есть вычислить напряжения и токи в установившемся режиме до коммутации и построить графики их распределения u(x,0), i(x,0) в зависимости от координаты x (км), самостоятельно выбираемой вдоль линий. Кроме начальных условий необходимо найти также напряжение на ключе (рубильнике) Uруб, если коммутация состоит в его замыкании, или ток через рубильник Iруб, если коммутация состоит в его размыкании. Эти значения будут единственными начальными условиями при расчёте падающих волн. Все дальнейшие расчёты выполняются при нулевых начальных условиях.

Алгоритм расчёта падающих волн

Первый начальный переходный процесс начинается в момент времени t = 0 в точке x1 на линии, где находится ключ. Строится эквивалентная схема замещения данного участка линии, которая включает в себя все элементы, находящиеся в точке линии с координатой x1. При этом замыкающийся ключ заменяется в схеме источником ЭДС, равным Uруб, но направленным встречно направлению, найденному в предыдущем п. 1, а размыкающийся ключ заменяется источником тока, равным Iруб, но также направленным встречно тому направлению, которое найдено в п.1. Кроме того, в схему включаются все ветви, узлы и параметры (R, L,

7

C), которые находятся в данной точке x1. Линия, примыкающая к данной точке, или две линии (li, lj), примыкающие с двух сторон, заменяются в эквивалентной схеме своими волновыми сопротивлениями (zвi, zвj).

Таким образом, задача сводится к расчёту переходного процесса в эквивалентной схеме с сосредоточенными параметрами, в которой необходимо найти токи и напряжения на волновых сопротивлениях, заменяющих длинные линии. Найденные величины представляют собой падающие волны, рождающиеся в точке x1: u(x1, t), i(x1, t), то есть функции изменения напряжения, и тока в точке x1 в зависимости от времени t. Если эти волны будут распространяться в положительном направлении в линию lj, тогда в соответствии с рекомендацией № 4, их следует обозначить uпj(x1, t), iпj(x1, t), а если в отрицательном в линию li, тогда uоi(x1, t), iоi(x1, t).

Графики этих функций необходимо построить, вычислив их значения с шагом по времени 0,1 мс, в заданном диапазоне времени 0 ≤ t ≤ t*. В дальнейшем эти расчёты будут использованы для построения искомых графиков распределения напряжения и тока вдоль линий в момент t*.

Так как величины x (км) и t (с) связаны константой v (км/с) (x = t∙v), функции двух переменных u(x, t), i(x, t) могут быть преобразованы в функции одной комбинированной переменной с помощью известных из теории волновых уравнений соотношений для однородных линий. Для падающих волн эти соотношения имеют вид:

uп(x, t) = uп(0, t – x/v)

(4)

iп(x, t) = iп(0, t – x/v),

8

а для отражённых волн:

uо(y, t) = uо(l, t – y/v)

(5)

iо(y, t) = iо(l, t – y/v),

где l – длина конкретной рассматриваемой линии,

y = l-x – координата, отсчитываемая от конца этой линии.

Зафиксировав координату t = t*, можно вычислить функции распределения напряжения и тока в момент t*. Эти функции яв-

ляются фрагментами искомых графиков u(x, t*), i(x, t*) рас-

пределения волн в диапазоне изменения координаты x вдоль конкретной рассматриваемой линии li, или lj.

Подобным же образом зафиксировав координату x*, мож-

но вычислить одномерные функции изменения напряжения и тока в заданной точке A, которые являются фрагментами искомых графиков u(A, t), i(A, t) в рассматриваемом диапазоне изменения t ≤ t*.

Алгоритм расчёта отражённых волн

Все дальнейшие расчёты выполняются с помощью данного алгоритма. Двигаясь вдоль линии (например: l1), падающая (или отражённая) волна uп1 доходит до точки неоднородности x2, где находится конец линии l1, или сосредоточенная нагрузка, или стык двух линий (например: l1 , l2). Приход падающей волны в данную точку неоднородности порождает очередной переходный процесс, в ходе которого часть энергии пришедшей волны тратится в нагрузке, часть энергии порождает новую отражённую волну uо1, возвращающуюся назад в линию (l1) и оставшаяся часть энергии порождает новую волну uп2, проходящую в следующую линию (l2). Для построения эквивалентной схемы замещения в рассматриваемой точке линии получим уравнение, свя-

9

зывающее uн(x2, t), iн(x2, t) и uп1(x2, t) в точке x2. Это уравнение имеет общий вид и может быть применено для любой точки неоднородности на линии (xj), поэтому индексы мы опускаем

Поскольку в каждой точке линии выполняются уравнения (2), они выполняются также и для нагрузки, то есть

uн(x, t) = uп(x, t) + uо(x, t)

(6)

iн(x, t) = iп(x, t) + iо(x, t)

Умножим второе уравнение на zв:

zв ∙ iн(x, t) = zв ∙ iп(x, t) + zв ∙ iо(x, t)

Сложим полученное уравнение с первым и с учётом (3) по-

Полученному уравнению соответствует эквивалентная схема расчёта переходного процесса, в которой:

сосредоточенная в точке x2 нагрузка входит в схему без изменений;

волна, пришедшая в точку x2 представлена источником ЭДС равным 2∙uп;

примыкающие линии заменяются своими волновыми сопротивлениями;

ключ замыкается в момент прихода падающей волны в данную точку.

Впостроенной схеме с сосредоточенными параметрами рассчитывается очередной переходный процесс и определяются uн(x2, t), iн(x2, t), а затем с их помощью определяются все остальные искомые функции:

по уравнениям (6) вычисляются отражённые волны uо1(x2, t), iо1(x2, t), которые возвращаются назад в l1, навстречу па-

10