560_Dmitrieva_o._E._Sbornik_zadach_1semestr_
.pdfОтветы к занятию 17. |
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17.1. |
0,0 - точка минимакса; 8x 8y z 4 ; |
x 2 |
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y 1 |
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z 4 |
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8 |
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1 |
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x |
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y |
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z |
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17.2. |
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, 1 - точка минимума; |
x 2y z 0 ; |
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2 |
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1 |
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2 |
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17.3. |
0,3 - точка минимума. |
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17.4. 17.5.
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2 |
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2 |
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0, |
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- точка минимума, 2, |
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- точка минимакса. |
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3 |
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3 |
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2,1 - точка минимума, 2, 1 - точка максимума; |
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1,2 , 1, 2 |
- точка минимакса. |
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17.6. |
0,0 - точка минимума, 1,0 , 1,0 - точки максимума; |
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0,1 , 0, 1 - точки минимакса. |
17.7. |
1,1 , 1,1 . |
17.8. |
0,0 - точка минимакса, |
x y z 1 0 |
; |
x 1 |
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y 1 |
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z 1 |
. |
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z |
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17.9. |
0,0 - точка минимакса; |
x y 2z |
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0 ; |
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x 1 |
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y 1 |
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2 |
. |
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1 |
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2 |
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1 |
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2 |
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1 |
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1 |
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17.10. |
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- точка максимума; |
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17.11. |
0,0 |
- точка максимума; |
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17.12. |
5,2 - точка минимума. |
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61
Индивидуальные задания по математическому анализу 1 курс 1 семестр
1.Вычислить пределы:
Вари |
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Пределы |
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ант |
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5x3 x2 1 |
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x2 x 12 |
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lim |
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; |
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lim |
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; |
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1 |
x |
7 x3 x |
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x 3 x2 5x 6 |
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3 |
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1 2x 1 |
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arctg 2 x |
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lim (1 tg x)ctg x . |
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lim |
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; |
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lim |
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; |
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x 1 |
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2 x x |
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x |
0 |
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x |
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x |
0 |
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lim |
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5x2 1 |
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; |
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|
lim |
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8x3 1 |
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; |
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2 3x |
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6x2 5x |
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2 |
x |
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2x |
4 |
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x 1 2 |
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1 |
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lim |
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2 |
2x |
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; |
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lim |
1 cos(2x) |
; |
lim |
x ln(x) ln(x 2) . |
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x 2 2 |
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2x x2 |
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x 0 |
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x sin(x) |
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x |
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lim |
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x3 x |
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; |
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lim |
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3x2 |
8x 3 |
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x2 3x |
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3 |
x x4 3x2 |
1 |
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x 3 |
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lim |
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x 1 2 |
; |
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lim |
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tg kx |
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; |
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lim(1 2sin x)ctg 2 x . |
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x5 |
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x 5 |
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x0 sin mx |
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x0 |
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lim |
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5x2 7x |
; |
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lim |
x2 x 2 |
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; |
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x2 |
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3 2x x2 |
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4 |
x x4 |
7 |
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x 1 |
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lim |
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x2 1 1 |
; |
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lim |
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1 cos2 (x) |
; |
lim |
2x 1 ln(x 3) ln(x) |
. |
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|||||||||||||||||||||||||||
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x 0 |
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x2 2 2 |
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x 0 |
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2x2 |
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|
x |
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||||||||||||||||||||||||||
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x2 x 1 |
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5 14x 3x2 |
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|||||||||||||||||||||||||
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lim |
; |
|
lim |
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; |
|
lim |
x |
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x2 x 1 ; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x |
1 |
2 |
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|
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|
x |
2 |
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2x 15 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
x |
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x 5 |
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|
x |
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|||||||||||||||||||||||||||
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sin2 (5x) |
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3x 4 x 2 |
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||||||||||||||||||||||
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lim |
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|
; |
|
lim |
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|
. |
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||||||||||||||
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tg |
2 |
(3x) |
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||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
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|
|
|
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|
x 3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62
lim |
5x2 4x 1 |
; |
|
lim |
x2 |
x 12 |
; |
|
|
|
|
|
||||
3x2 x 4 |
|
4 3x x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
; lim |
2 arcsin(x) |
; |
|
1 |
2 |
|||||
lim |
x a |
x |
lim |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
x |
|
|
|
x 0 |
3x |
|
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
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|
x2 x 5 |
|
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|
|
|
|
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|
20 x x2 |
|
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|
|
3 |
1 3x2 1 |
|
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||||||||||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||
|
|
|
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|
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x2 x3 |
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|||||||||||||||||||
7 |
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x x2 x4 3x |
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x 5 3x2 11x 20 |
|
|
x 0 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
xctg (x) ; |
|
|
|
|
|
|
x |
ln(2a x) ln(a x) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||
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lim |
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5x2 3x 1 |
; |
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lim |
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3x2 x 10 |
; |
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lim |
|
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x2 1 1 |
; |
|
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x5 x2 |
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x x2 |
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6 |
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x2 16 4 |
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8 |
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x |
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x 2 |
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x 0 |
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sin( x) |
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2 |
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1 |
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x2 |
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lim |
; |
lim |
|
x |
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. |
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2 |
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x 0 |
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sin( x) |
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x |
|
x |
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1 |
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lim |
5x3 x2 12x |
; |
|
lim |
|
2x2 x 10 |
; |
|
lim |
5 22 x |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3x2 x 1 |
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|
|
|
2 x x2 |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
9 |
|
x |
|
|
|
x 2 |
|
|
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|
|
x 3 1 |
4 x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin(2x) |
|
|
|
|
lim (3x 5)(ln(x 5) ln(x)) . |
|
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lim |
|
|
; |
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x 0 |
arcsin(x) |
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x |
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||||
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|
lim |
|
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3x3 1 |
; |
|
|
lim |
3x2 14x 5 |
; |
|
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|
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|||||||||||||||||||
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5x3 x2 4 |
|
|
15 |
2x x2 |
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|||||||||||||||||||||||
10 |
|
x |
|
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|
x 5 |
|
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|
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||||||||||||||||||||
|
lim |
|
x ; |
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tg(x) sin(x) |
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ln(x 1) ln(x) . |
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x2 1 |
lim |
; |
lim x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x |
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x 0 |
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x3 |
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|
x |
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||||||||||||||||
2.Найти точки разрыва функции |
y=y(x) |
и определить их характер. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сделать чертёж. |
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Вариант |
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Функция |
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||||||||||||
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|
|
x2 1, |
|
|
|
|
x 1, |
|
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|||||||||
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
y |
|
2x, |
|
|
|
1 x 3, |
|
|
|
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|
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||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
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|
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x 2, |
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x 3. |
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|||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
x 3, |
|
|
|
|
x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
y |
|
1, |
|
|
0 x 4, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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|
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|
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|
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|
x , |
|
|
x 4. |
|
|
|
|
|
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|||||||||||
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|
|
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|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63
3
4
5
6
7
8
9
10
|
|
|
2 |
|
x 0, |
|
2x |
|
, |
||||
y x, |
|
|
0 x 1, |
|||
2, |
|
|
x 1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
x 1, |
|
|
x 0, |
|||
|
|
|
|
|
0 |
x 2, |
y x2 , |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x 2. |
2x, |
|
|
||||
cos(x), |
x 0, |
|||||
|
|
|
|
|
|
0 x 2, |
y 1 x, |
|
|||||
|
|
2 |
, |
|
|
x 2. |
x |
|
|
|
|||
x, |
|
|
|
x 0, |
||
|
|
|
|
|
|
0 x 4, |
y tg (x), |
||||||
|
|
|
|
|
|
x 4. |
2, |
|
|
|
|||
sin(x), |
x 0, |
|||||
|
x, |
|
|
|
0 x 2, |
|
y |
|
|
|
|||
|
0, |
|
|
|
x 2. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
0, |
|
|
x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
0 x 2, |
y tg(x), |
||||||
|
|
x, |
|
|
x 2. |
|
|
|
|
|
|||
cos(x), |
x 2, |
|||||
|
0, |
|
|
2 x , |
||
y |
|
|
||||
|
2, |
x . |
||||
|
||||||
x 2, |
x 1, |
|||||
|
|
|
|
|
|
1 x 1, |
y x2 1, |
||||||
|
|
|
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x 1. |
x 3, |
64
3.Найти производные: |
|
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|||||||
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|
Функции |
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|
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|
|
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|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y |
|
|
1 |
|
|
|
12 |
; |
y 3 tg |
2 |
3x; y e |
|
|
arctg |
2 |
x; |
|
y |
|
|
1 |
|
|
|
|
3x |
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
9x 4 |
3 x310 |
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|
|
|
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|
1 x |
x4 |
|
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|
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||||||||||||
1 |
y arctg x 1 x2 |
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
|
x |
t arctg t; |
||||||||||||||||||||||||||
|
3arcsin |
2 |
x ; |
|
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10 |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||
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|
y ln 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
t |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e5 x e 5 x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
t. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
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|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y 5 1 sin |
2 |
( x) ; |
y |
|
|
|
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
; |
|
|
y |
ln x2 |
|
|
|
|
x4 1 ; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ln tg3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
t3 |
|
|
|
t 2 |
t; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
y arctg |
2 |
sin3 ( x) |
|
|
y ln |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
3 x |
|
|
|
|
; |
|
|
|
ln |
|
|
|
; |
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
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|
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|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
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|
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|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
y ln e2x 1 2arctg(ex ); |
|
||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
y sin6 (10x) cos6 (10x); |
|
y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
1 ln |
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||
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|
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|
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1 x |
2 |
2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x t2 2t; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y arccos |
|
|
ex |
|
y arctg |
1 |
1 x |
2 |
|
; |
|
|
t |
2 |
2t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
y x 1 |
x2 |
6; |
y 3 tg (6x) 1; |
|
y ln |
|
1 e2 x e4 x ; y 1 tg2 (3x) e x2 2 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y ln arcsin(4x) 2arctg (8 x) ; |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 x |
; |
|
|
|
|
|
t ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y sin ex |
3x 2 |
|
|
|
x 2t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
y t2 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
y sin(x) cos(x) e |
sin( x) cos( x) |
; |
|
|
|
x |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
; |
|
y ln |
3 |
3tg |
|
|
4 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|||||||||
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
2(t |
3 |
t); |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
y tg 3 (6x) e1 x |
1 ; |
y arcsin sin2 (x) 3 |
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y arctg |
|
|
; |
1 x; |
|
|
|
|
|
et |
2 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y 3 |
(2x 3)(3 x)2 ; |
|
y ln |
|
|
|
2x 1 |
|
2x ; |
y (8x3 |
21) 3 |
(7 4x3 )2 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
y arcsin |
|
1 x2 |
|
y |
|
|
arctg2 |
(4 x 1) |
; |
|
x e2t ; |
|
; |
|
y |
sin2 (x 4) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 x2 |
; |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 |
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y et sin(t) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
2x 1 ; |
|
|
y 3sin(2x) cos(2x) e2 x ; y 1 ln sin(2x) 2 ; |
y e x2 cos3 (2x 3); |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
sin(2t); |
|
|
|
|
|
|
|
||||
7 |
y arctg2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 ; |
|
y 2sin( x) ln tg2 (x) ; |
|
x t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 x |
|
ex |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin(4x); y ln |
e2 x e 2 x ; |
|
||||||||||||||||||
|
y ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
y |
|
1 sin(4x) |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(6 2x |
2 |
) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8 |
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
xarctg |
|
|
|
|
|
x 2t sin(2t); |
|||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
; y e2 x |
|
lg |
|
|
|
; y |
|
x |
x a ; |
|
sin |
3 |
(t). |
|
||||||||||||||||||
|
|
3 |
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 tg(5x) |
|
|
|
|
|
1 ln3 ( x) |
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x 1 |
|
x |
1 ; |
y |
|
|
1 tg(5x) |
; y e |
|
|
|
|
|
1 x |
2 ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x at cos(t); |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y ln |
|
|
e2 x |
1 |
arctg(e2 x ); y ln3 1 ex |
3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
at sin(t). |
y |
1 |
|
|
x ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 x2 1 |
|
|||
|
y |
6 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
y |
|
2 |
|
|
|
; y ln ctg |
|
|
; |
|
|
y arctg |
|
|
|
|
; |
||||||||||
|
|
x |
4x 5 |
|
|
|
|
|
sin (10x) |
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 1 |
|
|
||
10 |
y 3arctg |
3 |
( x) |
ln3 (2x2 ); |
y 1 arccos(3x) |
2 |
ln |
|
1 ex 1 ; |
x |
t |
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 1 |
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
4.Вычислить предел, используя правило Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предел
|
lim |
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
x |
ln(1 x) |
||
|
|
|
|
2 |
lim cos(x)tg(5x) |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
3 |
lim xarcsin x |
|
x 0 |
||
|
||
|
|
|
|
lim xarctg ( x) |
|
4 |
x0 |
66
|
lim |
1 cos(ax) |
|
5 |
1 cos(bx) |
||
x 0 |
|
lim x2e1 x |
|
|
|||||||
6 |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||||||||
7 |
lim sin(2x 1)tg( x) |
|||||||||
|
x1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8 |
lim |
x3 4x2 4x |
|
|
||||||
x |
3 |
10x 12 |
|
|
||||||
|
x 2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
9 |
lim |
1 e |
x |
x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
10 |
lim |
tg(x) |
|
|
|
|||||
|
|
|||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
cos(x) |
5.Провести полное исследование функции и построить их графики:
1
2
3
4
5
6
7
8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функции |
|
a) y |
|
|
|
3x2 |
|
|
; b) y x ln( x 1). |
|||||||||||||
x3 |
|
|
1 |
|||||||||||||||||
a) y |
|
|
4x3 |
|
|
|
; |
|
|
|
b) y ln(x2 1). |
|||||||||
x3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
a) y |
|
|
|
x3 |
|
|
; b) y xe2 x 1. |
|||||||||||||
|
x 1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a) y |
|
x2 |
1 |
; b) y e1 (3 x) . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
x2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a) y |
|
|
1 |
|
|
4x2 ; |
b) y ln x2 4 . |
|||||||||||||
|
|
x |
||||||||||||||||||
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|
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|||||
a) y x |
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2x |
|
; b) y e2x x2 . |
||||||||||||||
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||||||||||||
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x2 1 |
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||||||||||
a) y |
|
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|
x4 |
|
|
; |
|
b) y x 2arctg(x). |
||||||||||
x3 1 |
|
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||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a) y |
|
|
|
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|
x 1 |
; |
|
|
b) y x ln x . |
||||||||||
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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67
9
10
a) y |
2x 1 |
; |
b) y (x 1)e3x 1. |
||
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|||||
|
|
x2 |
|
|
|
a) y |
|
x 1 |
|
; b) y x ln(x). |
|
|
|||||
x2 3x 4 |
6.Для функции f (x, y, z(x, y)) 0 найти z и z .
x y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Функция
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y |
|
z3 y2 sin |
|
|
0 |
|||||
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||||||||
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|
z |
|
ex z x3 cos y 0 |
||||||||
x |
|
x2e2 y 0 |
||||||
arctg |
|
|
|
|||||
|
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|||||||
z |
|
|
|
|
|
|||
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|
|
|
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||
arcsin |
z |
|
|
y2e3x 0 |
||||
|
||||||||
y |
|
|
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|
tg z2 y3 0 x
ln(x2 yz) x3 z2 0
log |
(xy3 1) |
x |
0 |
|
|||
3 |
|
z2 |
|
|
|
|
z3 6xz y3 3 0
z ln (x z) |
y |
0 |
|
z |
|||
|
|
z2 x3 3y 4z 2 0
7. Для заданной функции z = f(x, y) и точек A и B найти:
a)приращение z при переходе от точки A к точке B;
b)дифференциал z в точке A;
c)касательную и нормаль к поверхности z = f(x, y) в точке A;
d)экстремумы z
68
|
|
z = f(x, z), A, B |
||
1 |
z xy y2 - 2x, |
A(1; 2), B(1, 03; 1,97) |
||
2 |
z x2 3xy y2 , |
|
A(1;2),B(1,03;1,97). |
|
3 |
z x2 y2 - x y, |
A(-2; 2), B(-2,02; 2,05). |
||
4 |
z 2x2 2xy y2 , A(1; 3), B(0,95; 2,94). |
|||
5 |
z x2 3xy - y2 , |
A(1; 3), B(0,96; 2,95). |
||
6 |
z xy 2x y, |
A(2; 2), B(1,93; 2,05). |
||
|
|
|
||
7 |
z 3y2 9xy y, |
A(1;3), B(1,07;2,94). |
||
8 |
z xy x y, A(1,5; 2,3), B(1,43; 2,35). |
|||
9 |
z y2 |
xy x2 , |
A( 4; 5), B( 3,92; 5,06). |
|
10 |
z x2 |
y2 x y, |
A(1; 3),B(1,08; 2,94). |
69
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Ч.1. –
М.: Наука, 1968. – 430 c.
2.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука,
1985. – 384 c.
3.Сборник задач по математике для втузов. Ч.1. Под ред. А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича - М.: Наука, 1986. – 462 c.
70