Троян Физические основы методов исследования наноструктур и поверкхности 2014

ляции, а векторы a, b и с – основными векторами решетки Бра-

ве. Для примера на рис.6.1, а приведена структура объемноцентрированной кубической (о.ц.к.) решетки Браве.

Примитивная (элементарная) ячейка решетки – это объем пространства, который, будучи подвергнут всем трансляциям, образующим решетку Браве, заполняет все пространство, нигде не пересекаясь и не оставляя промежутков. Ее определение не является однозначным.

бическая ячейка (б), ячейка Вигнера–Зейтса (в) и первая зона Бриллюэна для о.ц.к. решетки Браве. Объем примитивной ячейки равен половине объема условной кубической ячейки. Ячейка Вигнера–Зейтса представляет собой «усеченный октаэдр», шестиугольные грани которого рассекают пополам отрезки прямых, соединяющих центральную точку с вершинами куба условной о.ц.к. ячейки. Квадратные грани октаэдра рассекают пополам отрезки прямых, соединяющих центральную точку с центральными точками каждой из шести соседних кубических ячеек 78)

Отметим, что элементарная ячейка содержит только одну точку решетки Браве, поэтому объем любой элементарной ячейки независимо от ее определения равен обратной плотности точек в решетке

V0 1/ n .

Условная элементарная ячейка – область, которая заполняет все пространство без перекрытия, будучи подвергнутой трансляциям, принадлежащим некоторому подмножеству всех трансляций,

78) Н. Ашкрофт, Н. Мермин, Физика твердого тела. – М.: Мир, 1979.

231

образующих решетку Браве. Таким образом, условная ячейка может не совпадать с элементарной и не обязательно содержит одну точку решетки. Обычно условную ячейку выбирают больше элементарной таким образом, чтобы она обладала необходимой симметрией. Так, для о.ц.к. решетки условной ячейкой является кубическая, в то время как элементарная ячейка имеет более сложную структуру (см. рис.6.1, б). В то же время для простой кубической решетки элементарная и условная ячейки совпадают.

Величина, определяющая характерный размер условной ячейки, называется постоянной решетки. Таким образом, постоянная решетки может быть больше, чем минимальное расстояние между атомами в кристаллической решетке.

Ячейка Вигнера–Зейтса – это элементарная ячейка с центром в некоторой точке решетки и занимающая область пространства, лежащую ближе к данной точке, чем к остальным. Для о.ц.к. решетки Браве ячейка Вигнера–Зейтса представляет собой «усеченный октаэдр», вписанный в куб условной ячейки (см. рис.6.1, в).

Для каждой решетки Браве можно построить обратную решетку, образованную множеством точек с радиусами-векторами (век-

где основные векторы обратной решетки определяются соотношениями :

мерность волнового вектора и описывает плоскую волну exp(igr ) ,

обладающую периодичностью прямой решетки Браве. Из условия периодичности

exp(igr ) exp(ig(r R))

следует, что exp(igR) 1 и

232

где т – целое число. Тогда из выражений (6.1) и (6.2) получаем

2 h k l 2 m .

Следовательно, сумма произведений h k l является целым числом. Поскольку числа , и могут быть любыми целыми числами, то и h, k и l также являются целыми числами.

Элементарная ячейка Вигнера–Зейтса для обратной решетки называется первой зоной Бриллюэна. В качестве примера на рис.6.1, г показана первая зона Бриллюэна для о.ц.к. решетки Браве.

6.2.2. Двумерные кристаллические решетки

Поверхность представляет собой разрыв трехмерной периодичности кристалла в одном из направлений. По аналогии с трехмерным случаем кристаллическую решетку поверхности характеризу-

где векторы as и bs называются основными векторами поверхно-

стной решетки. Анализ свойств симметрии двумерных систем приводит к пяти различным типам поверхностных решеток Браве:

1) квадратная (с осью вращения четвертого порядка), для которой основные векторы равны по модулю ( as bs ), а угол между

ними составляет 90 ;

2)прямоугольная ( as bs , 90 );

3)прямоугольная центрированная ( as bs , 90 );

4) гексагональная (с осью вращения шестого порядка,

as bs , 60 );

5)косоугольная ( as bs , ).

Изображения ячеек данных решеток приведено на рис.6.2.

233

6.2.3. Индексы Миллера для атомных плоскостей

Ориентация любой плоскости может быть задана указанием вектора ее нормали. Поскольку для каждого семейства параллельных атомных плоскостей трехмерного кристалла соответствующие им векторы обратной решетки нормальны, то их используют для обо-

Индексами Миллера для атомной плоскости называются координаты наименьшего вектора обратной решетки, перпендикулярного к данной плоскости, в системе координат, заданной основными

Индексы Миллера имеют простую геометрическую интерпретацию: они обратно пропорциональны отрезкам, отсекаемым данной атомной плоскостью на координатных осях прямой решетки

кристалла, задаваемых ее основными векторами. Так, плоскость

(100) отсекает единичный отрезок от оси, задаваемой вектором a , и

параллельна осям, задаваемым векторами b и c , а плоскость (111) отсекает отрезки единичной длины от всех трех координатных осей

(рис.6.5).

Для обозначения плоскости в прямой решетке используют индексы Миллера в круглых скобках (hkl). Если обозначают не кон-

235

кретную плоскость, а семейство эквивалентных для данного кристалла плоскостей, то индексы Миллера заключают в фигурные скобки {hkl}. Для кубической решетки эквивалентными плоскостями являются плоскости (100), (010) и (001), которые могут быть обозначены как {100}. Для обозначения направления в прямой решетке (т.е. вектора нормали к определенной плоскости) используют индексы Миллера в квадратных скобках [hkl]. Семейство эквивалентных направлений обозначают индексами Миллера в угловых

скобках hkl . Черта над индексом Миллера обозначает знак «ми-

нус».

Поскольку поверхность монокристалла совпадает с одной из его атомных плоскостей, для ее обозначения также используют индексы Миллера. Например, поверхность кристалла каменной соли с кубической решеткой может быть задана как NaCl (100). Иногда для удобства в обозначении индексов Миллера используют избыточный векторный базис, т.е. систему координат, задаваемую более чем тремя векторами. Типичным примером является обозначение плоскости гексагональной решетки высоко ориентированного пиролитического графита ВОПГ (0001) (рис.6.6, б).

Рис.6.6. Кристаллическая решетка NaCl. Черные и белые шары обозначают ионы Nа+ и Cl-. По отдельности черные и белые шары образуют две вставленных друг в друга г.ц.к. решетки 80) (а); кристаллическая решетка высокоориентированного пиролитического графита (ВОПГ), состоящая из параллельных атомных слоев с гексагональной атомной структурой [5] (б).

В общем случае, вследствие явления реконструкции поверхностная кристаллическая решетка может отличаться от двумерной решетки соответствующей атомной плоскости в объеме трехмерно-

236

го кристалла. Соотношение между векторами трансляции поверх-

Для обозначения реконструированной поверхности, а также двумерной решетки, образуемой на поверхности кристалла адсорбированными атомами, используют систему обозначений Вуда. Согласно этой системе, если соотношение модулей векторов поверх-

ностной и объемной решеток составляет as Na и bs Lb , поверхностная решетка повернута на угол относительно объемной, то обозначение плоскости поверхности (hkl) материала Х имеет вид: X hkl N L R . Решетка адсорбированных атомов вещества А

на поверхности Х обозначается как X hkl N L R A . Например, адсорбции кислорода на поверхности никеля Ni(110) приводит к образованию поверхностной решетки Ni 110 c 2 2 O , где символ с обозначает центрированную решетку (рис.6.7).

Рис.6.7. Структура поверхностной центрированной прямоугольной

решетки Ni 110 c 2 2 O ,

поверхностной решетки, образуемой адатомами кислорода [4]

237

6.3. Дифракция на кристаллической решетке

6.3.1. Дифракция на трехмерной решетке

Явление дифракции на решетке наблюдается в том случае, когда период решетки d сравним с длиной волны падающего излучения. Условие наблюдения дифракции при зеркальном отражении от параллельных атомных плоскостей (рассеянии на угол 2 ) – условие дифракции Брегга–Вульфа, – имеет вид:

где т – целое число, а – угол Брегга (см. рис.6.8).

Рис.6.8. Схема дифракции Брегга– Вульфа на атомных плоскостях кристалла с межплоскостным расстоянием d. Показаны падающий и отраженный лучи для двух соседних

плоскостей. Разность хода равна

2d sin 80)

Альтернативным описанием дифракции является описание Лауэ. Пусть на кристалл падает плоская волна с волновым вектором

лельные атомные плоскости, от которых происходит отражение, и направленный по нормали к данным плоскостям.

80) Н. Ашкрофт, Н. Мермин, Физика твердого тела. – М.: Мир, 1979.

238

Поскольку направление падающей волны известно, то такое по-

для прямой кубической решетки с межатомным расстоянием (постоянной решетки) d. Период обратной решетки составляет при

этом . Сферой Эвальда называется сфера радиуса k с центром в точке Р.

Рис.6.10. Построение сферы Эвальда для дифракции на кристалле с простой кубической решеткой и межатомным расстоянием d. Волновой вектор па-

дающего луча k 0 показан в том же масштабе, что и

щается в начало координат (000) обратной решетки.

Сфера с радиусом k 0 и

центром в начале координат называется сферой Эфальда. Если какая-либо точка обратной решетки оказывается лежащей на

сфере Эвальда, то удовлетворяется дифракционное условие Брегга. При этом волновой вектор дифрагировавшего электронного луча равен k . В показанном при-

данной точки на сфере Эвальда [4]

Тогда если какая-либо точка обратной решетки А с координатами (hkl) попадает на сферу Эвальда, то для нее автоматически выполняется условие дифракции Брегга-Вульфа в записи Лауэ (6.12). Каждой такой точке можно сопоставить дифрагировавший луч, который образует точечный рефлекс на дифракционной картине. Как

240