Елютин Експерименталная физика.Лабораторный практикум 2011
.pdf
|
|
|
||
|
|
на |
||
4 |
||||
|
|
|||
f (t) |
|
|
||
|
|
на |
||
|
||||
|
4 |
|||
|
||||
|
|
|||
|
|
T |
,0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|||||
|
2 |
|
|
. |
|
|
0, |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
||
Поскольку в данном случае f (t) – нечетная функция, из выражения (40.7) имеем
|
|
4 |
T 2 |
|
|
|
2 n |
|
1 |
n |
|
|
|
cos x |
|
n |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
bn |
|
|
|
f |
(t)sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
t dt |
|
|
sin x dx |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
T |
0 |
|
|
|
|
|
|
T |
2n |
0 |
|
|
|
|
|
|
2n |
|
0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos(0) cos( n) |
|
|
|
|
1 ( 1)n |
|
|
1 |
, |
|
при нечетном n |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
при чётном n |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Искомое разложение имеет следующий вид: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 n |
1 |
|
|
|
|
6 n |
|
1 |
|
|
10 n |
|
|
|||||||||||||||||
f (t) sin |
|
t |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
t |
|
|
|
|
sin |
|
t ... |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
3 |
|
|
|
T |
|
|
|
5 |
|
T |
|
|
|||||||||||||||||
Заметим, что при t |
T |
|
можно получить |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
4 |
4 |
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
В качестве примера разложения в ряд Фурье четной функции
рассмотрим функцию f (t) |
|
t |
|
на |
|
|
T |
|
T |
с периодом T. В соот- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ветствии с формулой (40.6) можно получить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
4 T 2 |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a0 |
|
|
|
0 |
tdt |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n |
|
|
|
|
|
|
2 n |
|
|
T 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
4 |
|
T 2 |
|
|
|
4 |
tsin |
|
|
|
|
t |
|
|
cos |
|
|
|
|
t |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
T |
|
|
|||||||||||||||||||||
an |
|
|
0 |
t cos( nt)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
T |
|
T |
|
|
|
|
2 n |
|
|
|
|
|
2 n 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
91
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2T |
|
|
при нечетном n |
||||||
|
T |
|
cos(n ) cos(0) |
|
|
T |
|
( 1)n 1 |
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
при четном n. |
||||||||||||||
Искомое разложение есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
f (t) |
T |
|
|
2T |
|
|
2 t |
1 |
6 t |
1 |
|
|
5 t |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
... |
. |
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
T |
25 |
|
T |
|
|
|||||||||||||||
В частности, при t 0 |
|
и T 2 отсюда легко получить, что |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
8 |
(2n 1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
заданной на сегменте 0,T , |
|||||||||||||||||||
|
Разложение в ряд Фурье функции, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
представляет собой важный случай для практических применений. Одним из примеров такой функции является импульс напряжения в электрической цепи, состоящей из источника тока напряжением U0 , ключа и резистора R. Импульс тока возникает при замыкании и размыкании ключа за время T. Спустя время T после момента первого замыкания процесс возобновляется (рис. 40.3). Поскольку при t 0 функция не равна нулю, то разложение надо проводить в ряд косинусов. Функция U (t) может быть единственным образом продолжена на всю ось t так, что получится четная функция с периодом 2T. К графику заданной функции на сегменте0,T (рис. 40.3) присоединим фигуру, симметричную с ним отно-
сительно оси ординат. Затем к образовавшейся фигуре присоединим все ее горизонтальные смещения на расстояния кратные 2T. Тогда получится график четной функции с периодом 2T , совпа-
дающей с заданной функцией U (t) на сегменте 0,T .
Из графика на рис. 40.3 и из сказанного ранее о разложении четных периодических функций в ряд Фурье (40.6) следует, что
1 T a0 T T
1 T an T T
|
|
U0 |
|
|
2U0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
U(t)dt |
|
dt |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|||
|
nt |
|
U |
|
|
nt |
|
2U0 |
|
n |
|
|||
U(t)cos |
dt |
0 |
cos |
dt |
sin |
. . |
||||||||
|
T |
|
n |
|
||||||||||
|
|
T |
|
|
|
T |
|
T |
||||||
92
Рис. 40.3
Таким образом, зависимость напряжения на резисторе от времени будет представлена в виде ряда
U(t) |
|
|
|
|
2 |
|
|
n |
nt |
||||||
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
cos |
|
|
|
U0 |
T |
n |
|
|
|
||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
T |
T |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
nt |
|
|
(40.8) |
||||
|
|
|
an |
cos |
. |
|
|
||||||||
|
|
T |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
T |
|
|
|||||
Спектр функции (40.8), т.е. множество значений an , для случая
T
5 изображен на рисунке 40.4.
а)
б)
Рис. 40.4
93
Если бы для анализа периодической функции f (t) одинаково важны были все члены бесконечного тригонометрического ряда Фурье (40.1), то гармонический анализ не имел бы такой практической ценности, так как с его помощью было бы очень трудно произвести какие-нибудь вычисления. В действительности амплитуды гармоник ряда Фурье с увеличением номера гармоники n имеют тенденцию к убыванию. В рассмотренной выше задаче, например,
2
an 0. Поэтому для практических целей оказывается воз-
n n
можным использовать вместо бесконечного ряда тригонометрических функций конечное число слагаемых. Число членов ряда Фурье, которые необходимо использовать в расчетах, определяется видом функции f (t) и заданной точностью вычислений.
Длительность фронтов импульсов (крутизна фронтов) существенно влияет на ширину спектра, т.е. на наличие в спектре импульсов высших гармоник. На рисунке 40.5,а показаны три импульса с разной крутизной фронтов. Первый импульс имеет более пологие фронты, чем третий. На рис. 40.5,б-г, где представлены спектры этих импульсов ясно видно, что спектр третьего импульса значительно богаче спектра первого импульса. Обратите внимание на то, что амплитудный спектр идеальных прямоугольных импульсов (рис. 40.4,б) еще более широкий, амплитуды высших гармоник
убывают с номером гармоники очень медленно по закону 1 , где n
n – номер гармоники. Используя этот факт, можно дать качественное объяснение, почему в цепи, содержащей резистор и конденсатор, в момент замыкания ключа ток течет через конденсатор беспрепятственно. Дело в том, что емкостное сопротивление конден-
сатора X |
|
|
1 |
. При резком включении тока (рис. 40.6,а) в его |
C |
|
|||
|
|
C |
||
спектре присутствуют высокочастотные гармоники (рис. 40.6,в), для которых конденсатор не представляет сопротивления. Из графика на рис. 40.6,б видно, что при плавном включении тока уширения спектра не происходит.
94
а)
б)
в)
г)
Рис. 40.5
95
а)
б)
в)
Рис. 40.6
Колебательный контур как простейший спектральный фильтр
Одной из наиболее часто встречающихся в физике и технике (особенно в радиотехнике и оптике) задач является определение отклика колебательных систем (таких, как электрический контур, маятник, механическая конструкция, атом и др.) на внешние воздействие.
Возбуждение колебательной системы, например маятника, внешней периодической силой F F0 cos t приводит через некоторое время к периодическому отклику системы в виде гармонического колебания:
x A( )cos( t ), |
(40.9) |
96
где
A( ) |
|
F0 |
m |
(40.10) |
||
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|||||
2
2 20 4 2 2
В формуле (40.10) 0 k – собственная частота колебаний сис-
m
темы, – коэффициент затухания, m – масса.
При возбуждении колебательного LCR -контура внешним генератором напряжением U U0 cos( t ) амплитуда колебания заряда на обкладках конденсатора задается формулой аналогичной выражению (40.10)
qm ( ) |
|
|
U0 L |
(40.11) |
||||||
|
|
|
|
, |
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 02 2 4 2 2 |
|
|
|
||
где 2 |
|
1 |
|
– собственная частота колебаний, |
|
R |
– коэффи- |
|||
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
LC |
|
|
|
|
2L |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
циент затухания.
Из формул (40.10) и (40.11) видно, что при выполнении условия
|
|
2 |
2 2 |
происходит резкий рост амплитуды функций |
РЕЗ |
|
0 |
|
|
(40.10) и (40.11), т.е. возникает резонанс. Движение системы происходит по закону (40.9) с максимальной амплитудой
x(t) Am cos( t ), где Am A РЕЗ .
Восприимчивость маятника к внешнему резонансному воздействию определяется добротностью Q :
Q 0 . 2
Чем выше Q, тем выше и острее пик резонанса, тем сильнее откликается колебательная система на внешнее воздействие.
Из предыдущих примеров следует, что импульс любой формы несет в себе некоторую совокупность гармоник, или, как говорят, имеет частотный спектр. Причем эффективный разброс частот спектра (т.е. тот интервал частот , для которого амплитуды гармоник еще велики) обратно пропорционален длительности импуль-
97
са (см. 40.8) 1
. Это условие справедливо и для отдельных фрагментов импульса. Если контур импульса сильно изрезан, имеет частые и резкие всплески (рис. 40.7), то спектр такого импульса шире, или, как говорят, богаче.
а)
б)
в)
Рис. 40.7
98
Описание лабораторной установки
иметодика выполнения экспериментов
Взадании 1 аналогово-вычислительный комплекс АВК-6 используется как генератор и как спектральный фильтр для спектрального анализа импульсных сигналов. В работе исследуются спектры сигналов прямоугольной, колоколообразной формы, и спектры гармонических сигналов, полученных на аналоговой модели маятника.
Основной блок АВК-6 для выполнения этого задания – блок спектрального анализа. Порядок обработки поступающих на вход блока сигналов ясен из рисунков на блоке. Данный блок по своей функции представляет колебательный контур, чья резонансная частота может плавно смещаться при установке кнопок Гц/В и вращении ручки 0.1-В-11. При совпадении частоты контура с частотой гармоник внешнего сигнала возникает резонанс. На выходе блока генерируется гармоническое колебание с частотой определяемой гармоники. Острота резонанса определяется в ячейке Q. Выходной сигнал может быть взят по модулю или возведен в квадрат в ячейке. Развертка осциллографа АВК равна полупериоду отображаемого колебания.
Измерение полупериода производится по встроенному в АВК частотомеру, который показывает длительность полупериода (длину горизонтальной черты на экране осциллографа АВК) в миллисе-
кундах. Момент времени t 0 соответствует левому концу отрезка.
Измерение амплитуды производится с помощью сигнала от выносного источника постоянного эталонного напряжения, выводимого на экран АВК через коммутатор в виде горизонтальной черты и одновременно отображаемого с помощью выносного цифрового вольтметра. Полезно вывести на экран сам импульс, гармонику и эталонное напряжение. Порядок измерения амплитуды следующий: вращая ручку U выносного блока постоянного напряжения, переместите по экрану измерительную черту до совмещения с наивысшей точкой измеряемого сигнала; отсчет по выносному вольтметру дает величину амплитуды в вольтах.
99
Блок нелинейности служит для формирования сигналов сложной формы. На вход блока может подаваться сигнал из набора стандартных сигналов АВК, который играет роль аргумента y. На
выходе блока получается нелинейная функция N y(t) . Настройка
блока нелинейности производится по экрану через коммутатор, путем подсоединения осциллографа к точкам, где надо проконтролировать сигнал. На рисунке 40.8 показан импульс колоколообразной искаженной формы, полученный при прохождении через блок нелинейности сигнала синусоидальной формы. Для получения сигналов произвольной формы можно также воспользоваться вспомогательным блоком АВК с набором алгебраических операций
( , ,mod).
Рис. 40.8
Задание 2 выполняется при помощи аналогово-цифрового преобразователя (АЦП) ADW11 и компьютера с установленной на нем программой adw10. На рисунке 40.9 представлена схема установки к заданию 2.
Эта программа имеет большое число возможностей для работы с данными: построение графиков и таблиц, фильтрация данных различными методам, определение параметров графика и т.д. Так как преобразование Фурье требует большого объема вычислений, то в этой программе для получения спектра сигнала используется специальный алгоритм быстрого преобразования Фурье – Fast Fourier Transformation (FFT). ADW11 имеет 8 каналов, 6 из которых предназначены для измерения напряжений, 2 – для измерения сопро-
100