Гурбич Лабораторныы практикум по курсу Обшчая физика раздел Електричество 2014
.pdfгде имеющее размерность времени произведение RC, обозначенное буквой τ, называют временем релаксации. Из (3.10) видно, что τ есть промежуток времени, в течение которого заряд конденсатора уменьшается в e раз. Поскольку напряжение на конденсаторе пропорционально заряду, то его зависимость от времени будет аналогичной:
U (t) =U0e− |
t |
|
τ , |
(3.11) |
где U0 = q0/C – начальное напряжение на конденсаторе. Закон изменения тока найдем, подставляя (3.10) в (3.4):
I = −dqdt = I0e−τt ,
где I0 = q0/τ – сила тока в момент t=0. Теперь рассмотрим цепь, содержащую
первоначально незаряженный конденсатор емкости C, включенный последовательно с сопротивлением R и источником ЭДС ε (рис. 3.2). При замыкании ключа в момент времени t = 0 в цепи начинает протекать ток, заряжающий конденсатор. Ток будем считать положительным, когда он течет к положительно заряженной обкладке конденсатора, т.е.
(3.12)
Рис. 3.2
I = |
dq |
. |
(3.13) |
|
|||
|
dt |
|
Применяя закон Ома для неоднородного участка цепи, запишем
RI = ϕ1 −ϕ2 +ε. |
(3.14) |
Учитывая, что поле в конденсаторе направлено от обкладки 2 к обкладке 1, для разности потенциалов между точками 1 и 2 получим
ϕ −ϕ |
|
= −U = − |
q |
. |
(3.15) |
2 |
|
||||
1 |
|
C |
|
||
|
|
|
|
Тогда с учетом (3.13) и (3.15) соотношение (3.14) можно переписать, как
dq |
= |
ε−q / C |
. |
(3.16) |
dt |
|
|||
|
R |
|
21
Введя обозначение ε – q/C = u и разделяя переменные, получим
|
du |
|
= − |
|
1 |
dt . |
|
|
(3.17) |
|||
|
u |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
RC |
|
|
|
|||||
Интегрируя, найдем |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ln u = − |
|
t +ln const . |
(3.18) |
|||||||||
|
RC |
|||||||||||
Таким образом, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u = const e− |
t |
|
|
(3.19) |
||||||||
RC |
|
|
|
|||||||||
или с учетом введенного обозначения |
|
|
|
|||||||||
ε−q / C = const e− |
t |
|
||||||||||
τ |
, |
(3.20) |
где τ = RC – время релаксации.
Для определения константы заметим, что при t = 0 конденсатор не заряжен, т.е. q(0) = 0. Тогда const = ε. Окончательно для зависимости заряда на конденсаторе от времени получим
q(t) = qm (1−e− |
t |
|
τ ) , |
(3.21) |
где qm = εC – предельное значение заряда на конденсаторе при t ∞.
Поскольку U = q/C, напряжение на конденсаторе при зарядке будет возрастать по тому же закону:
U (t) =ε(1−e− |
t |
|
τ ) , |
(3.22) |
асимптотически приближаясь к ε, а ток со временем согласно (13) и (21) будет экспоненциально убывать:
|
I = |
dq |
= I0e− |
t |
|
|
|
τ |
, |
(3.23) |
|||
|
|
|||||
|
|
dt |
|
|||
|
где I0 = ε/R – сила тока в началь- |
|||||
|
ный момент. |
|
||||
|
Графики зависимости |
напря- |
||||
|
жения на конденсаторе от време- |
|||||
|
ни в процессе разрядки (3.11) и |
|||||
|
зарядки (3.22) показаны на рис. |
|||||
|
3.3 слева и справа соответствен- |
|||||
Рис. 3.5 |
но. Именно из этих зависимостей, |
22
наблюдаемых при помощи осциллографа, в лабораторной работе определяется время релаксации τ. При известных параметрах цепи (R и C) оно может быть получено и расчетным путем.
Рис. 3.3
Оборудование и методика
Принципиальная схема используемой в работе установки приведена на рис. 3.4. Для зарядки и разрядки конденсатора используется периодический импульсный сигнал прямоугольной формы. Конденсатор заряжается в течение длительности импульса и разряжается через выходную цепь генератора в промежутках между импульсами. Для того чтобы конденса-
тор успевал практически полностью зарядиться до амплитудного значения импульса U0, длительность импульса tимп должна быть намного больше времени релаксации τ, а для обеспечения почти полной разрядки временной интервал между импульсами (T – tимп, где T – период) должен существенно превышать τ. Сказанное проиллюстрировано на рис. 3.5, где показано изменение напряжения на конденсаторе при различных соотношениях между τ и tимп.
Для наблюдения одновременно входного сигнала прямоугольной формы и напряжения на конденсаторе в работе используется двухканальный осциллограф HM400 (см. приложение в конце по-
23
собия с описанием принципов работы и органов управления осциллографом). Сигнал прямоугольной формы (Y1 на рис. 3.4) подается на один из каналов, а напряжение на конденсаторе (Y2)– на другой. В результате на экране осциллографа наблюдается картинка, подобная показанной на рис. 3.5. Структурная схема установки приведена на рис. 3.6.
Рис. 3.6
Прямоугольные импульсы для зарядки конденсатора подаются с преобразователя ФПЭ-09, который формирует их из сигнала синусоидальной формы, поступающего на вход преобразователя от генератора ГЗ-106. Питание преобразователя осуществляется от внешнего источника. В конструкции преобразователя предусмотрена возможность грубой (клавишами) и точной (ручкой) регулировки скважности1) импульсов. Требуемые значения сопротивления и емкости устанавливаются в схеме при помощи соответствующих магазинов.
Порядок выполнения работы
Подготовительные операции.
1.Собрать схему согласно рис. 3.6.
1)Скважностью называется отношение периода следования импульсов к их длительности.
24
2.Включить в сеть генератор, осциллограф и блок питания преобразователя импульсов.
3.Установить генератор в режим синусоидальных колебаний с частотой 100 Гц и амплитудой около 1 В.
4.Нажатием клавиши «_|–|_» перевести преобразователь импульсов в режим генерации сигналов прямоугольной формы.
5.Выбрать на осциллографе режим Dual и добиться устойчивого изображения на экране прямоугольного сигнала, поступающего по первому каналу (CHI).
6.Наблюдая прямоугольный сигнал, установить его скважность ручками «Грубо» и «Плавно» преобразователя импульсов таким образом, чтобы длительность импульса (см. рис. 3.5) была максимальной.
7.Установить в схеме сопротивление 20 кОм и емкость 1 нФ.
8.Перемещая по вертикали изображения сигналов поступающих по каналам CHI и CHII, получить на экране осциллографа кар-
тинку, подобную показанной на рис. 3.5 для τ << tимп.
Упражнение 1. Определение времени релаксации из кривой разрядки конденсатора.
1.Перемещая по вертикали и горизонтали изображения сигналов, поступающих по каналам CHI и CHII и подбирая длительность развертки и величину усиления в каналах, получить на экране осциллографа картинку, подобную показанной на рис. 3.7, a.
2.Определить амплитуду напряжения U0 в делениях шкалы и вычислить значение U0/e.
Рис. 3.7
25
3.Сместить сигналы по оси времени так, чтобы кривая разрядки
конденсатора пересекала ось ординат при напряжении U0/e (рис. 3.7, б).
4.Определить время релаксации в делениях шкалы и перевести его в секунды.
5.Оценить погрешность полученного значения времени релаксации. Принять погрешность преобразования для шкалы времени равной 3 %, а погрешность измерения для шкал времени и амплитуд определить в половину деления шкалы.
6.Определить время релаксации по формуле τ = RC. Принять погрешности R и C равными 10 % и определить погрешность рас-
четного значения τ. Сравнить экспериментально полученное значение τ с величиной, полученной путем расчета.
7. Повторить упражнение для R = 10 кОм, C = 3 нФ и R = 30 кОм, C = 2 нФ.
Упражнение 2. Определение времени релаксации из кривой зарядки конденсатора.
1.Установить в схеме R = 20 кОм и C = 1 нФ. Перемещая по вертикали и горизонтали изображения сигналов, поступающих по каналам CHI и CHII и подбирая длительность развертки и величину усиления в каналах, получить на экране осциллографа картинку, подобную показанной на рис. 3.8, a.
2.Определить амплитуду напряжения U0 в делениях шкалы и вычислить значение U0/e.
Рис. 3.8
26
3.Сместить сигналы по оси времени так, чтобы кривая зарядки конденсатора пересекала вертикальную ось при напряжении U0 –
U0/e (рис. 3.8, б).
4.Определить время релаксации в делениях шкалы и перевести его в секунды.
5.Оценить погрешность измерений и сравнить полученный результат с расчетным, следуя пп. 5–6 упражнения 1.
6.Повторить упражнение для R = 10 кОм, C = 3 нФ и R = 30 кОм, C = 2 нФ.
Контрольные вопросы
1.Что такое емкость? В каких единицах она измеряется в системе СИ?
2.Получите и решите уравнения, описывающие изменение напряжения на конденсаторе при его зарядке и разрядке.
3.Что такое время релаксации?
27
Работа № 4
ИЗУЧЕНИЕ ПЛОСКОГО КОНДЕНСАТОРА
Рассмотрим конденсатор, состоящий из двух одинаковых плоскопараллельных проводящих пластин достаточно больших размеров по сравнению с зазором между ними. Заземлим одну из пластин и сообщим другой пластине некоторый заряд q. Тогда на обращенной к зазору поверхности соседней пластины возникнет индуцированный заряд такой же величины, но противоположного знака. Зарядом конденсатора называется абсолютная величина равных по величине и противоположных по знаку зарядов каждой из пластин (обкладок) конденсатора.
Поле такого конденсатора сосредоточено между его обкладками и практически не зависит от расположения окружающих конденсатор внешних тел. Вектор напряженности поля E0 внутри конденсатора направлен от пластины, заряженной положительно, к пластине, несущей отрицательный заряд, а его модуль легко находится при помощи теоремы Гаусса:
E = |
σ |
, |
(4.1) |
|
|||
0 |
ε0 |
|
где σ = q/S – поверхностная плотность заряда (здесь S – площадь поверхности каждой из пластин, обращенной к другой пластине).
Под емкостью C конденсатора понимают отношение заряда конденсатора q к разности потенциалов ϕ1 – ϕ2 его обкладок:
C = |
q |
|
. |
(4.2) |
|
ϕ −ϕ |
2 |
||||
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
Потенциал однородного поля (а поле между пластинами практически однородно) убывает линейно вдоль направления вектора E0. Тогда разность потенциалов
ϕ1 – ϕ2 = E0d , |
(4.3) |
где d – зазор между пластинами конденсатора. Следовательно, из (4.1)–(4.3) получается, что емкость плоского конденсатора
C = |
ε0S |
. |
(4.4) |
|
|||
|
d |
|
28
До сих пор молчаливо предполагалось, что между обкладками конденсатора – вакуум. Теперь предположим, что пространство между обкладками заполнено однородным и изотропным диэлектриком. Тогда на поверхности диэлектрика, прилегающей к пластине с положительным зарядом, появится индуцированный связанный отрицательный заряд, а на противоположной поверхности диэлектрика – индуцированный связанный положительный заряд. Этот связанный заряд σ' является источником электрического поля с напряженностью
E ' = |
σ' , |
(4.5) |
|
ε0 |
|
причем σ' = Pn, где Pn – нормальная составляющая вектора поляризованности.
В результате в силу принципа суперпозиции поле внутри диэлектрика окажется векторной суммой полей, создаваемых сторонним зарядом, находящимся на обкладках конденсатора, и поверх-
ностным связанным зарядом: |
G |
G |
|
E = E |
+ E′, |
(4.6) |
|
|
0 |
|
|
причем векторы E0 и E′ коллинеарны и направлены навстречу друг другу. Поэтому модуль вектора напряженности будет равен
E = E − E ' = E − |
σ' . |
(4.7) |
|
0 |
0 |
ε0 |
|
Так как диэлектрик предполагается однородным и изотропным, то поляризованность диэлектрика пропорциональна напряженности поля:
(4.8)
Поскольку диэлектрик полностью заполняет объем, ограниченный эквипотенциальными поверхностями поля сторонних зарядов,
то вектор EG на границе между проводящей обкладкой конденсатора и прилегающим к ней диэлектриком перпендикулярен границе, т.е.
(4.9)
Тогда с учетом того, что σ' = Pn, из (4.7)–(4.9) получается
29
E = E − |
κε0 E = E −κE , |
(4.10) |
|||
0 |
ε0 |
0 |
|
|
|
откуда для напряженности поля внутри конденсатора имеем |
|
||||
E = |
E0 |
= |
E0 |
, |
(4.11) |
1+ κ |
|
||||
|
|
ε |
|
где ε – диэлектрическая проницаемость диэлектрика.
Поскольку при том же заряде напряженность поля в конденсаторе с диэлектриком уменьшилась в ε раз, то во столько же раз уменьшится и разность потенциалов между его обкладками. В ре-
зультате емкость конденсатора возрастет в ε раз: |
|
||
|
C = ε0εS |
. |
(4.12) |
|
d |
|
|
|
Если диэлектрик перекрывает только часть за- |
||
|
зора между пластинами, как показано на рис. 4.1, |
||
Рис. 4.1 |
то емкость будет равна |
|
|
|
C = ε0 (S −S ') + |
ε0εS ' , |
(4.13) |
|
d |
d |
|
где S и S' – полная площадь поверхности обкладки и площадь, перекрытая диэлектриком, соответственно.
Для целей настоящей работы представим выражение (4.13) следующим образом:
C = |
S ' |
ε |
|
(ε−1) + |
S |
ε |
|
. |
(4.14) |
|
d |
0 |
d |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Для сравнения результатов экспериментов с теорией к правой части соотношений (4.12) и (4.14) следует добавить так называемую паразитную емкость Cп, обусловленную нестрогостью предположения о том, что окружающие тела не влияют на поле между пластинами и тем, что подводящие провода и входные цепи измерительного прибора также обладают некоторой емкостью. Таким образом, для реального плоского конденсатора с диэлектриком из-
меряемая емкость равна |
ε0εS |
|
|
|
C = |
+Cп , |
(4.15) |
||
d |
||||
|
|
|
а для конденсатора с диэлектриком, перекрывающим только часть зазора между пластинами
30