Джепаров Нейтронные исследования конденсированных сред 2012

образом (мы принимаем, что для каждого атома имеется только один изотоп).

Определяем для элементарной ячейки величины

§ 6. Преломление нейтронов на границе раздела сред

При распространении волн в упруго и когерентно рассеивающей среде происходит интерференция сферических волн, рассеянных на отдельных атомах, с распространяющейся плоской волной, в результате чего волновой вектор плоской волны меняется по величине. Если в пустоте он был равен k , то в среде он становится равным k ' . Отношение

называется коэффициентом преломления. При прохождении через границу вещества из-за симметрии сила, действующая на нейтрон, ортогональна поверхности.

51

Амплитуда волны в точке z есть сумма амплитуд нерассеянной и рассеянных волн:

рическая волна, рассеянная на одном ядре. Вынося из-под знака интеграла не зависящие от ξ множители и переходя к интегриро-

ванию по dr с помощью соотношения ξdξ = rdr , получаем:

Подставляя полученное значение в (6.4), находим

53

При z ' > z член, возникший вследствие рассеяния, пропорционален e−ikz , т. е. описывает волну, отраженную от слоя z ' . Нас же интересует случай z ' < z , когда рассеянная волна распространяется в том же направлении, что и нерассеянная. Опуская знак модуля в этом случае, получаем:

Таким образом, благодаря рассеянию нейтронов слоем толщиной z ' с координатой z ' , амплитуда волны в точке z умножается на постоянный множитель, не зависящий ни от z ' , ни от z , кото-

z ' = 0 и кончая z ' = z (всего N = z / z ' слоев), то в результате умножения каждый раз на этот множитель нейтронная волна в сплошной среде примет вид

Таким образом, волновая функция приобретает обычное выражение для плоской волны eik ' z , но с измененным волновым вектором k ' . Подставляя (6.9) в (6.1) находим коэффициент преломле-

54

При выводе данной формулы мы пренебрегли отражением нейтронов от тонких слоев и рассматривали только прохождение. Однако волна, отразившаяся от одного тонкого слоя, может вторично отразиться от другого слоя и попасть в точку z . Формула (6.10) получена без учета перерассеяния нейтронов тонкими слоями, что верно, только если рассеяние слабое, т. е. коэффициент преломления близок к единице. Для тепловых нейтронов это условие выполняется с большой точностью, например, для нейтронов с длиной волны λ = 4 Å коэффициент преломления отличается от единицы

на величину порядка 10−5 .

Коэффициент преломления не зависит от того, является ли среда кристаллической или однородно аморфной, ибо, как видно из формулы (6.6), сдвиг фазы волны, вызываемый рассеивающим слоем, не зависит от координаты слоя z ' . Эта нечувствительность к структуре вещества объясняется тем, что при рассеянии вперед множитель exp(iqr) , который определяет зависимость фазы рассе-

янной волны от координаты r рассеивающего центра, всегда равен единице ( q = 0 ). Коэффициент преломления зависит только от

средней амплитуды когерентного рассеяния единицей объема

∑ρν aν .

Мы показали, что для анализа преломления нейтронов, как и для световой волны, можно ввести усредненную характеристику среды

– показатель преломления. Следовательно, можно в данном случае рассматривать среду как непрерывную и характеризующуюся средним потенциалом взаимодействия U =U0 . Энергия в нейтрона

в вакууме

E = 2k2

2m

равна энергии нейтрона в веществе

E = 2k '2 +U0

2m

по закону сохранения энергии. Отсюда получаем:

Деля (6.11) на k 2 находим показатель преломления

55

Учитывая, что коэффициент преломления близок к единице, на-

что совпадает с (6.10). Для тепловых нейтронов формулы (6.10) и (6.15) эквивалентны, но для более медленных нейтронов коэффициент преломления существенно отличается от единицы, и необходимо пользоваться более точной формулой (6.15).

Выше мы предполагали, что средний потенциал не зависит от z . Однако это требование не является существенным. Если средний потенциал сам зависит от координат, то набег фазы k ' z в (6.8) следует заменить на интеграл от k '(z) по dz .

Для подавляющего большинства веществ a > 0 , поэтому n <1, т. е. среда является оптически менее плотной, чем вакуум. При переходе волны в оптически менее плотную среду может иметь место

56

явление полного внутреннего отражения: если угол скольжения θ меньше, чем некий критический угол θc , то нейтроны не могут преодолеть границы сред и полностью от нее отражаются. Критический угол θc определяется из условия

Так как θc 1, можно разложить cosθc , в результате чего полу-

Критический угол θc для бериллия при длине волны, равной 2 Å, составляет 12 угловых секунд.

§7. Малоугловое рассеяние нейтронов на неоднородностяхвещества

В § 1 было показано, что рассеяние тепловых нейтронов на ядрах изотропно, так как длина волны нейтрона много больше размера ядра. В обратном предельном случае больших размеров рассеивателя (или больших скоростей нейтрона) рассеяние резко анизотропно и направлено вперед. Данная ситуация носит название малоугловое рассеяние и реализуется, если λ / d 1, где λ – длина волны, d – характерный размер рассеивателя. Для тепловых нейтронов малоугловое рассеяние обычно происходит на неоднородностях вещества, так как есть отличие средних потенциалов взаимодействия нейтронов с веществом внутри неоднородности и вне ее. Данный вопрос был подробно рассмотрен в §3, где было показано, что в качестве потенциала рассеяния неоднородности надо брать среднее значение от псевдопотенциала Ферми.

Большинство рассеянных нейтронов находятся в узком конусе с углом раствора θ 1/ kd . Действительно, вспоминая формулу Борна для амплитуды рассеяния

57

быстро осциллирующая функция и интеграл от его произведения на медленно меняющуюся функцию U (r) близок к нулю.

Рассмотрим простейший пример: рассеяние на шаре радиуса d ,

т. е. U (r) =U0 при r < d и U (r) = 0 при r ≥ d . Вычисляя амплитуду согласно (7.1) и возводя ее модуль к квадрат, находим дифференциальное сечение рассеяния:

Полуширина данной функции равна q1/ 2 ≈1,81/ d . Таким обра-

зом, как показано на рис. 7.1, ширина линии сечения рассеяния обратна размеру рассеивателя.

Рис. 7.1. Потенциал (а) и сечение рассеяния (б) на шаре радиуса d

При малых углах рассеяния в выражении q = 2k sinθ / 2 можно ограничиться первым членом разложения синуса в ряд, что дает

Покажем, что при малоугловом рассеянии вектор рассеяния q ортогонален волновому вектору k .

58

Малоугловое рассеяние на ансамбле рассеивателей

Рассмотрим теперь малоугловое рассеяние не на одном, а на ансамбле рассеивателей, что соответствует рассеянию нейтронов на реальных образцах. Представим образец в виде совокупности N

N

рассеивателей и запишем его потенциал: U (r) = ∑Ui (r - ri ), где

факторы) отдельных рассеивателей. Тогда, возводя (7.3) по модулю в квадрат, имеем для интенсивности рассеяния ансамблем:

В эксперименте наблюдается интенсивность рассеяния, усредненная по большому числу неоднородностей в образце. Группируя члены с i = j и усредняя по ансамблю, получаем

59

где rij = ri −rj . Рассмотрим случай, когда неоднородности не очень

сильно отличаются по размерам, а их форма близка к сферической. Тогда можно считать, что флуктуации формы и размера рассеивателей слабо влияют на их расположение в пространстве. Имеем

Здесь во втором слагаемом мы разделили усреднение по параметрам одной неоднородности и по положениям неоднородностей. Будем предполагать, что изучаемая система изотропна, т.е. характер расположения частиц в ней не зависит от направления. Тогда для расчета среднего значения двойной суммы в (7.5) введем функцию плотности вероятности pij , которая дает вероятность найти части-

цу в объеме dvi , положение которого дается вектором ri , и одновременно другую частицу в объеме dv j , соответствующем вектору rj . Учитывая еще, что усреднение функции exp(−iqr) по всем ори-

ем, приходящийся на одну частицу. Действительно, отсутствие дальнего порядка делает расположение неоднородностей практиче-

60