Джепаров Нейтронные исследования конденсированных сред 2012

которая отличается от (3.2) только фазовым множителем. Существенно, что при s-рассеянии это соотношение справедливо всюду вне области взаимодействия. В (3.3) видно, что расходящаяся волна пропорциональна значению амплитуды падающей (инициирующей) волны ϕ(r) = exp(ikr3 ) в точке расположения рассеивателя.

При рассеянии на системе, состоящей из N >1 неподвижных центров, инициирующая волна не совпадает с падающей и должна быть определена независимо. С учетом сферической симметрии рассеянной волны в (3.3) очевидно, что инициирующая волна на центре, расположенном в точке r, удовлетворяет уравнению

Уравнение (3.4) просто выражает тот факт, что, в силу принципа суперпозиции, инициирующая волна на любом центре складывается из падающей волны и волн, пришедших от других центров. Соответственно, волновая функция представляется соотношением

где r – любая точка вне центров рассеяния. Уравнения (3.4) и (3.5) называются системой уравнений многократного рассеяния. Существенно, что ψ(r) в (3.5) выражается только через амплитуду рассеяния и не зависит от деталей потенциала. Если бы мы попытались применить псевдопотенциал (2.18) и стандартную теорию эйконала (3.1), то получили бы ответ, существенно зависящий от ε, который, теперь, опираясь на решение (3.5), мы должны признать неверным.

Для получения решения уравнений (3.4) заметим, что, так как длина волны тепловых нейтронов порядка межатомного расстояния λ r0 , то показатель экспоненты в (3.5) меняется на величину

1 при переходе от одного члена суммы к другому. Следователь-

31

но, соседние слагаемые в суммах (3.4) и (3.5) существенно отличаются и суммы не могут быть заменены интегралами.

При рассеянии на объектах, протяженность которых существенно превосходит длину волны нейтронов, полезно ввести вместо быстро осциллирующей ϕ(r) более медленную функцию

χ(r) =ϕ(r)exp(−ikr3 ) , которая удовлетворяет системе уравнений

спадания ядра уравнения (3.6), в сумму в (3.6) дает вклад много слагаемых. Показатель экспоненты равен нулю, если ортогональ-

ная к начальному импульсу компонента (r − x) равна нулю, а

r 3 −x3 > 0 . Соответственно слагаемые с x из окрестности этого отрезка дают основной вклад в сумму. Так как в этой окрестности

Таким образом, для главных членов суммы (3.6) соседние слагаемые отличаются мало вследствие наличия в показателе экспо-

Здесь Ω − объем, приходящийся на один рассеиватель, V - объем гранулы. Теперь инициирующая волна определена для всех r. Уравнение (3.7) можно представить в форме

32

где введен эффективный нейтронооптический потенциал

Эффективный потенциал Ua(r) получается усреднением квази-

потенциала Ферми UF (r) = − 2πm2 f ∑x δ(r − x) по объему. Здесь,

как и ранее, предполагается, что x пробегает по положениям рассеивателей. Потенциал Ua(r) много меньше, чем кинетическая

энергия нейтронов E = 2k2 / (2m) , поэтому для нахождения ам-

плитуды рассеяния можно применить результаты (3.1) метода эйконала, переведя его предварительно в уравнение Шредингера с потенциалом (3.9).

Их можно получить и непосредственно из анализа интеграла в уравнении (3.8). Вычисляем интеграл по x в главном порядке по

большому k. При этом существенны малые (r − x) , т.е. в подынтегральном выражении в (3.7) можно заменить x на r в аргументе медленно меняющейся функции χ .

Интеграл по поперечным координатам можно вычислить переходом в импульсное представление, используя (2.4) и (2.8), получаем:

∫d 2 x exp(ik r − x )/ r − x =

Здесь предположено, что поперечные размеры гранулы достаточно велики, чтобы интеграл по x можно было брать в бесконечных пределах. Подставляя (3.11) в (3.10) и учитывая сделанное при замене суммы на интеграл требование r 3 −x3 > 0 , мы приходим к уравнению

33

мущенной прямолинейной траектории нейтрона с гранулой, то в ней χ(r , z(r )) =1. Уравнение (3.13) представляет собой стандарт-

ное уравнение эйконала для среднего потенциала Ua(r). Его решение

Выражение для волновой функции (3.5) можно записать в виде

и, с той же точностью, что и при выводе уравнения (3.7), фигурирующая здесь сумма может быть заменена интегралом:

34

и учитывая, что при рассеянии быстрых частиц вектор рассеяния ортогонален волновому вектору падающей волны, получаем

что совпадает с выражением (3.1). Полученные формулы справедливы и для малоуглового рассеяния на кристаллических зернах. Спецификой рассеяния на кристаллах, как будет показано в §5, является возникновение брэгговских пиков. Так как гранулы ориентированы хаотически, то вклад брэгговского рассеяния сводится к возрастанию фона и уменьшению интенсивности прямо прошедшего пучка. Соответственно, вклад брэгговского рассеяния в малоугловое рассеяние пренебрежимо мал.

Таким образом, вычисление волновой функции для задачи рассеяния нейтронов на системе неподвижных центров может быть проведено в приближении эйконала, но примененном не к истинному ядерному потенциалу и не к квазипотенциалу Ферми, а к среднему потенциалу (3.9). Так как размер области, где средний потенциал отличен от нуля (в рассмотренном частном случае это размер гранулы порошка) много больше длины волны нейтрона, то рассеяние будет малоугловым. Такое рассеяние будет подробно рассмотрено в § 7.

35

§ 4. Псевдомагнитное взаимодействие нейтроновсядрами*

До сих пор, рассматривая рассеяние нейтрона, мы не учитывали наличие у него спина. Это имело то основание, что если спин ядра равен нулю, то спиновое состояние нейтрона не влияет на взаимодействие. Если же ядро имеет некоторый спин I , то сильное взаимодействие нейтрона с ядром зависит от взаимной ориентации их спинов. Так как спин нейтрона S =1/ 2 , то модуль полного момента j = I +S может принимать два значения: j = I +1/ 2 (спины па-

раллельны) и j = I −1/ 2 (спины антипараллельны). Параллельному и антипараллельному направлению спинов отвечают две амплитуды рассеяния: a+ и a− . Соответственно, длина (и амплитуда) рас-

сеяния в данном случае является оператором, действующим на спиновую часть волновой функции

где χin – спиновая часть волновой функции начального состояния. Оператор a = a(S,I) линеен по операторам проекций спина Sα,

что является следствием равенства S =1/ 2 . В остальном же формула (4.1) следует из инвариантности амплитуды s-рассеяния к вращениям.

Первое слагаемое в (4.1) не содержит спиновых операторов, называется когерентной частью амплитуды рассеяния, и определяет амплитуду волны, когерентно рассеянной ядром. Действительно, эта часть рассеянной волны имеет ту же спиновую функцию, что и падающая волна, поэтому рассеянная и падающая волна когерентно складываются. Второй член содержит скалярное произведение операторов спина нейтрона и ядра: S I . Под действием этих операторов спиновая часть волновой функции меняется, следовательно, вторая часть рассеянной волны имеет, вообще говоря, другую

* Материал данного параграфа основан на монографиях [1] и [6].

36

спиновую зависимость. Естественно, что компоненты конечного состояния, ортогональные по спиновым переменным к начальному состоянию, не интерферируют с ним.

Найдем связь между амплитудами a+ , a− и коэффициентами b0 , b . Возводя соотношение j = I +S в квадрат, находим

Наличие двух различных амплитуд рассеяния приводит к появлению некогерентного рассеяния. При этом когерентное рассеяние определяется средней длиной рассеяния, а некогерентное – дисперсией длины рассеяния. Отметим, что «наивное» предположение, что средняя длина рассеяния равна (a+ + a− ) / 2 , оказывается невер-

ным. Действительно, вероятности того, что у двух частиц спины будут параллельны и антипараллельны, неодинаковы. Если спины ядра и нейтрона параллельны, то полный момент j+ = I +1/ 2 . Ему

отвечает N+ = 2 j+ +1 = 2I + 2 волновых функций. Соответственно антипараллельному направлению спинов отвечает N− = 2 j− +1 = 2I

37

состояний. Общее число состояний нейтрона и ядра равно

Nt = (2S +1)(2I +1) = 2(2I +1) .

Средняя амплитуда, определяющая когерентное рассеяние не-

Полное сечение рассеяния нейтрона на ядре согласно (1.27) равно произведению квадрата модуля длины рассеяния на полный те-

где теперь, однако, надо провести усреднение ... по спиновым

операторам. Проведем усреднение, считая, что пучок нейтронов не поляризован. Так как операторы S и I коммутируют, квадрат суммы содержит три члена: сумму квадратов и удвоенное произведение. Квадрат первого члена определяет сечение когерентного рассеяния

Удвоенное произведение после усреднения обращается в нуль

Раскрывая скобки, находим, что смешанные члены после усреднения снова обращаются в нуль, ибо содержат произведения типа

Sx S y . Квадраты же, учитывая коммутативность операторов S и I

и независимость спинов нейтрона и ядра (усреднение происходит по спиновым волновым функциям до рассеяния), можно преобра-

Поэтому

38

Последнее выражение можно переписать в виде

σs = p+ 4πa+2 + p− 4πa−2 ,

где вероятности параллельной и антипараллельной ориентации неполяризованного нейтрона относительно спина ядра

Полученные результаты верны для пучка неполяризованных нейтронов независимо от того, поляризованы ядра или нет. Если ядра неполяризованы, то можно повторить все выкладки, поменяв при усреднении роль операторов S и I , и получится тот же результат независимо от спинового состояния нейтронов. Но если поляризованы и нейтроны, и ядра, соотношение между когерентным и некогерентным рассеянием меняется. Если, например, ядра и нейтроны полностью поляризованы в одном направлении, то все рассеяние когерентно и характеризуется длиной рассеяния a+ .

39

Рассмотрим простой пример, иллюстрирующий различие между когерентным и некогерентным рассеянием. Пусть нейтронная волна падает на два одинаковых ядра с независимыми спинами и раз-

деленных расстоянием r таким, что kb0 kr 1. Первое неравен-

ство позволяет пренебречь перерассеянием волны между ядрами, а второе гарантирует, что разность фаз рассеянных на ядрах волн мала. Тогда амплитуда рассеянной волны будет суммой амплитуд волн, рассеянных ядрами, т.е. суммой двух выражений (4.1)

2b0 +bS(I1 + I2 ) .

После возведения в квадрат и усреднения первое слагаемое даст 4σ coh , а второе – 2σinc , так как в квадрате суммы (I1 + I2 )2 удвоен-

ное произведение при усреднении по спинам ядер обращается в нуль. Таким образом, при когерентном рассеянии складываются амплитуды, а при некогерентном – интенсивности (сечения).

Рассмотрим теперь рассеяние поляризованных нейтронов и определим вероятность того, что в процессе рассеяния спин нейтрона

Два других оператора проекции спина действуют, как известно, на функцию χ+ следующим образом:

Sx χ+ (S) = 12 χ− (S) , Sy χ+ (S) = 2i χ− (S) .

Пусть нейтроны поляризованы по оси z. Тогда спиновая часть

Действуя оператором амплитуды (4.1) на спиновую функцию

40