Джепаров Нейтронные исследования конденсированных сред 2012

К правилу работы с полюсами резольвент можно прийти и на основе решения уравнения Шредингера методом Лапласа. Действительно, введем функцию

χ(λ) = ∫0∞ dt exp(−λt)ψ (t),

представляющую собой преобразование Лапласа по времени от функции ψ(t). Умножая обе части уравнения (1.1) на exp(−λt) и

интегрируя по dt , получаем:

i (λχ(λ) −ψ0 ) = H χ(λ) ,

т.е. при преобразовании Лапласа дифференциальное уравнение переходит в алгебраическое. Решая его, находим

χ(λ) = i λi − H ψ0 .

Как известно, волновая функция ψ (t) выражается через лапласобраз χ(λ) преобразованием Меллина:

ψ (t ≥ 0) = ∫εε−+ii∞∞ 2dπλi eλt χ(λ) ,

причем в силу эрмитовости H можно положить ε→+0.

Делая замену переменной интегрирования λ = (−iE +ε) / , на-

этом выражении те же, что и в формулах (1.7) – (1.10) и определяются только требованием эрмитовости гамильтониана и тем, что мы решаем эволюционную задачу с начальным условием.

поэтому в координатном представлении уравнение (1.9) имеет вид

11

Следовательно, при больших r, где r −r′ ≈ r + o(r), решение уравнения (1.11) имеет вид

Здесь θ - угол рассеяния, т. е. угол между направлением импульса падающих частиц и радиусом-вектором точки r, в которой производится измерение потока частиц, рассеянных в результате взаимодействия с мишенью. Физический смысл этой формулы состоит в том, что на достаточно большом расстоянии от мишени, вне зоны взаимодействия, поток нерассеянных частиц, описываемых пло-

ской волной ψ = eikz , будет складываться с потоком рассеянных

В итоге из (1.4), (1.13) и (1.14) находим связь между амплитудой рассеяния и дифференциальным сечением рассеяния

Фазовая теория рассеяния

Силы взаимодействия между медленным нейтроном и ядром можно считать статическими и центральными. Это означает, что потенциал взаимодействия U зависит только от расстояния r между нейтроном и ядром и от взаимной ориентации спинов нейтрона и ядра

12

U (r) =U (r) .

Стационарное уравнение Шредингера

2

− 2m ψ +U (r)ψ = Eψ ,

в этом случае удобно рассматривать в сферических координатах r,θ,ϕ

где Ylm (θ,ϕ) – сферические функции, являющие собственными

его проекция на ось z. Учитывая данное соотношение при подстановке (1.16) в (1.15), получаем уравнение на радиальную часть волновой функции:

оно совпадает с уравнением Шредингера для одномерного движения

т.е. к потенциальной энергии добавляется так называемая центробежная энергия. В задаче рассеяния имеется выделенное направле-

13

ние – направление потока падающих частиц (ось z). Очевидно, что решение уравнения Шредингера должно быть аксиальносимметричным относительно оси z. Всякое такое решение может быть представлено в виде суперпозиции волновых функций непрерывного спектра, отвечающих движению в данном поле частиц с

симметричны). Шаровые функции при m = 0 с точностью до коэффициента равны полиномам Лежандра Pl (cosθ)

где Bl – постоянные. На больших расстояниях от рассеивателя

можно пренебречь в уравнении Шредингера как потенциальной, так и центробежной энергией. Тогда (1.17) переходит в приближенное уравнение

где δl – фазовый сдвиг, член −lπ / 2 в аргументе синуса прибавлен для того, чтобы в отсутствие поля было δl = 0 . Волновая функция (1.22) имеет нормировку

Фазы δl являются функциями как от l , так и от k , и при малых

14

Подставляя (1.22) в (1.20) получаем выражение для волновой функции вдали от рассеивателя

На больших расстояниях она принимает асимптотическую форму

Эта формула решает задачу о выражении амплитуды рассеяния через фазы δl .

В случае рассеяния тепловых нейтронов на ядрах данная формула существенно упрощается. Из формул (1.24) и (1.26) видно, что если длина волны падающих частиц много больше размеров области взаимодействия, то с подавляющей вероятностью рассеиваются только частицы с моментом импульса, равным нулю. Поясним это утверждение, основываясь на квазиклассическом приближении. Момент импульса частицы равен произведению ее импульса p на прицельное расстояние ρ :

M= pρ .

Сдругой стороны, момент M квантуется, и его возможные значения:

Ml = l(l +1), l = 0, 1, 2, ....

15

Следовательно, и прицельные расстояния должны в некотором смысле квантоваться, т.е. каждому значению l соответствует прицельное расстояние

Для частиц с l = 0 (соответствующая компонента волновой функции называется s-волной) эффективное прицельное расстояние ρ = 0 . Для частиц с l =1 (p-волна) и больше прицельное рас-

стояние ρl ≥ λ /π 2 . Поэтому, если λ r0 , то все частицы с l > 0

не попадают в область взаимодействия и не рассеиваются. Таким образом, из (1.26) для медленных нейтронов получаем:

f = 21ik (e2iδ0 −1)= ekiδ0 sinδ0 ,

т.е. амплитуда рассеяния не зависит от угла рассеяния – рассеяние изотропно. Следовательно, полное сечение рассеяния равно произведению дифференциального сечения на полный телесный угол

Постоянная a , определяемая этим соотношением, имеет размерность длины и называется длиной рассеяния.

Чтобы пояснить смысл длины рассеяния, рассмотрим следующий пример. Возьмем простейшую модель ядра – глубокая потен-

16

Чтобы получить решение уравнения (1.29) при всех r ≥ 0 , надо решить его в областях больше и меньше r0 и затем «сшить» решения на границе.

1. Рассмотрим область r ≤ r0 . Здесь E −U = E +V ≈V , так как

потенциальная энергия ядерного взаимодействия V ~ 50 МэВ, а кинетическая энергия тепловых нейтронов E ≤ 0,1 эВ. Уравнение

(1.29) хорошо известно (например, из теории гармонических колебаний) и его общее решение имеет вид

Однако в области r ≤ r0 надо оставить только первое слагаемое

χ(r) = Asin Kr .

Часто это обосновывают тем, что волновая функция ψ должна быть конечна в нуле, а для этого должно быть χ(0) = 0 . Однако это требование не является обязательным, а второе слагаемое надо от-

удовлетворяет уравнению (1.17). Соответственно общее решение (1.29) имеет вид

Так как U конечна, то волновая функция и ее производная должны быть непрерывны во всем пространстве. Запишем эти условия в точке r = r0 :

17

на рис. 1.1. Пусть она пересекает ось OX в точке с координатой a под углом α . Тогда

Рис. 1.1. Потенциал и волновая функция при рассеянии нейтрона на ядре для

Так как длина волны нейтрона много больше размера ядра, то kr0 1 . Из рис. 1.1 видно, что a ~ r0 , значит значение тангенса много меньше 1. Следовательно, так как фазу δ0 можно выбрать в пределах 0 < δ0 <π / 2 , то значение аргумента тангенса также много

меньше 1 и его можно разложить в ряд. Ограничиваясь первым членом разложения, получаем:

18

Сравнивая полученное выражение с (1.28) видим, что величина a является длиной рассеяния нейтрона.

Таким образом, мы получаем наглядный смысл длины рассеяния – длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс касательной, проведенной к волновой функции на границе ядра.

Исходя из графика видно, что если предположить, что угол наклона касательной является случайной величиной, то вероятность пересечения касательной оси абсцисс в области отрицательных значений меньше, чем в области положительных. Более точно можно оценить знак длины рассеяния исходя из следующей оценки. Из выражений (1.30) и (1.32) имеем:

Следовательно, для того, чтобы длина рассеяния была отрица-

В учебниках по ядерной физике для оценки радиуса ядра используют эмпирическую формулу r0 ≈α A1/ 3 Фм, где A – его массо-

вое число, константа α по данным различных пособий находится в пределах α =1,3 −1, 4 , а длина измерена в стандартных для ядерной

физики единицах – Ферми, причем 1 Фм = 10−13 см. При типичных значениях внутриядерного потенциала V ≈ 40 −50 МэВ получает-

ся, что Kr0 ≈ (1,8 − 2,2) A1/ 3 . В результате почти для всех ядер периодической системы величина Kr0 пробегает значения от 2,9 до 14. Так как (Kr0 )min >π / 2 , неравенство (1.35) выполняется только в том случае, если Kr0 близко к нечетному кратному π / 2 :

где ϕ − малая положительная величина. Положив

19

tg Kr0 = ctg ϕ ≈ ϕ1 ,

находим, что неравенство (1.35) выполняется, если ϕ лежит в интервале

Область возможных значений Kr0 в несколько раз больше пе-

риода тангенсоиды π , поэтому вероятность того, что наудачу выбранное ядро будет иметь отрицательную длину рассеяния, можно оценить, если разделить среднюю величину интервала (1.36) на π :

Беря среднее значение атомного веса A ≈100 , получаем Kr0 ≈10 и вероятность отрицательного значения длины рассея-

ния w ≈ 3% . Таким образом, для большинства ядер длина рассеяния должна быть положительна. Данный вывод полностью подтверждается экспериментом: ядер с положительной длиной рассеяния существенно больше, чем с отрицательной, причем по порядку величины модуль длины рассеяния равен размеру ядра.

Длины рассеяния некоторых элементов приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Длины рассеяния нейтронов в ферми

-3.7406 6.671 6.6460 9.36 5.803 5.13 2.847

Приведенные в таблице длины рассеяния a отвечают случаю, когда атомы находятся в веществе и рассеяние нейтронов происходит без отдачи. При рассеянии нейтрона на свободном ядре длина

20