Лабораторный практикум Метрология

Отчет по работе

Отчет должен содержать:

1)название и цель работы;

2)краткие теоретические сведения и расчетные формулы;

3)результаты измерений, представленные в виде таблиц 4.3 и

4.4;

4)результаты вычислений среднеарифметических значений измеренных величин, среднеквадратичного разброса, вероятности появления погрешностей, интервала допустимого разброса параметров;

5)интервальные ряды сопротивлений и емкостей, представленные в виде таблиц 4.5, 4.6. и по данным интервальных рядов построенные гистограммы (на миллиметровой бумаге);

6)Оценку качества изготовления резисторов и конденсаторов по величине разброса параметров;

7)вывод по работе.

Контрольные вопросы

1.Что понимают под термином качество и каковы его основные показатели?

2.Как проводится оценка качества?

3.Что понимают под термином надежность и каковы ее главные показатели?

4.Какие бывают категории и виды испытаний?

5.Как производится контроль качества партии изделий?

6.Каковы основные задачи математической статистики?

7.Что представляют собой генеральная и выборочная совокупности?

8.Какие бывают виды статистических рядов?

9.По каким основным этапам проводится построение полигона частот и гистограммы?

51

Лабораторная работа 5

ИЗУЧЕНИЕ НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Цель работы: изучить нормальный закон распределения случайной величины.

Теоретические сведения

В теории вероятностей изучают случайные события и величины. Случайной величиной называется такая величина, значения которой зависят от стечения случайных обстоятельств, в частности результат измерений какого-либо параметра. Степень возможности получения значения случайной величины характеризуется вероятностью данного значения.

Пусть в n опытах измеряемая величина m раз приняла некоторое значение x, тогда отношение m к n называется относительной частотой P* этого значения:

При небольшом числе опытов относительная частота значений в значительной мере имеет случайный характер и может заметно изменяться от одной группы опытов к другой. Однако при увеличении числа опытов она все более теряет свой случайный характер и приближается к некоторой постоянной величине – статистической вероятности события.

Статистической вероятностью Р события называют пре-

дел, к которому стремится его относительная частота при неограниченном увеличении числа измерений:

P = lim P*.

n→∞

Практически за вероятность принимают относительную частоту значения при большом числе испытаний. Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретная величина принимает счетное множество значений, а непрерывная – любые значения внутри некоторого интервала. Случайная величина считается заданной, если указано ее распределение.

52

Для дискретной величины распределение – это совокупность значений х данной величины и соответствующих им вероятностей

Р.

При задании закона распределения непрерывной величины ис-

пользуют две функции: плотность вероятности и функцию распределения случайной величины.

Плотность вероятности f(x) равна отношению dP – вероятности того, что значение случайной величины находится в интервале от х до х + dx, к величине dх этого интервала:

Для определения вероятности попадания значения случайной величины в некоторый интервал (ab) необходимо проинтегрировать выражение (5.2) в соответствующих пределах:

P(a < x <b) = ∫b f (x)dx.

a

Функция распределения F(x) случайной величины равна вероятности того, что случайная величина Х принимает значения, меньшие х:

F(x) = P(−∞ < X < x) = ∫x f (x)dx.

−∞

Существует множество законов распределения случайных величин. Одним из наиболее распространенных и общих является нормальный закон распределения, характеризующийся тем, что для него среднее арифметическое значение случайной величины является также и наиболее вероятным. Плотность вероятности для нормального закона распределения определяется по формуле:

где σ – среднее квадратичное отклонение; а – математическое ожидание случайной величины.

График плотности вероятности fх) (рис. 5.1, а) симметричен относительно прямой х = а, так как отклонения случайной величины вправо и влево от а равновероятны. При х→±∞ кривая асимптоти-

53

чески приближается к оси абсцисс. Максимальное значение плотность вероятности принимает при х = а.

Рис. 5.1

График функции распределения F(x) (рис. 5.1, б) симметричен относительно точки А (а; 0,5). При х→-∞ функция F(x) → 0; при х→+∞ функция F(x) → 1.

Обработка результатов прямых измерений. Прямые измере-

ния позволяют непосредственно при помощи приборов получить значение интересующей величины.

Погрешности прямых измерений (погрешностью измерений называется отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины) в зависимости от причин, их вызывающих, делятся на случайные, систематические и промахи (грубые ошибки).

Промахом называется грубая погрешность, возникшая из-за невнимательности, непреднамеренного отклонения от стандартных условий эксперимента. Обычно в серии равноточных измерений промахи отчетливо видны. Их следует исключить и не учитывать при обработке результатов измерений.

Под случайными ошибками понимают ошибки, связанные с неконтролируемыми изменениями условий равноточных опытов, приводящими к разбросу численных значений измеряемой величины. Если измеряемая величина может принимать непрерывные значения, то ее нельзя измерить абсолютно точно. В этом случае говорят, что результаты измерений носят случайный характер.

Систематические ошибки связаны с несовершенством методики измерений, ограниченностью точности измерительных при-

54

боров, особенностями объекта исследования. Как правило, эти ошибки могут быть учтены.

Отметим, что каких-либо универсальных правил учета систематических погрешностей, связанных с методикой измерений, не существует. В каждом случае это вопрос отдельного анализа и критического отношения к эксперименту.

Систематические ошибки, связанные с ограниченной точностью приборов, подлежат учету.

Для окончательной записи результата прямых измерений вычисляется погрешность измерений, учитывающая как случайную, так и систематическую погрешности измерения. В теории ошибок суммарную погрешность прямых измерений определяют по формуле

где xсл – случайная абсолютная погрешность (иногда ее называют полушириной доверительного интервала); xпр – систематическая ошибка измерительного прибора (приборная погрешность).

Случайная абсолютная погрешность xсл рассчитывается следующим образом:

где n – число опытов; tα,n−1 – коэффициент Стьюдента, величина которого зависит от n и доверительной вероятности α. Здесь α – вероятность того, что математическое ожидание величины x (среднее значение при бесконечном числе измерений) окажется внутри интервала x = <x> ± xсл, где x – среднее значение величины x при данном количестве измерений (таблица значений коэффициентов Стьюдента приведена в приложении 2).

Приборная погрешность xпр определяется по формуле: хпр = (Предел измерения × класс точности) : 100.

Если класс точности на приборе не указан, то абсолютную погрешность берут равной половине цены наименьшего деления. Например, для миллиметровой линейки xпр= ±0,5 мм, для микрометра (цена деления 0,01 мм) xпр = ±0,005 мм.

Результат измерений представляется в следующем виде:

55

3.В результате расчета значений функций вида xn, x1/n, lnx ре-

зультат должен содержать столько значащих цифр, сколько их имеет аргумент x. Например: (11,38)2 = 129,5044 ≈ 129,5.

4.При вычислении промежуточных результатов сохраняют на одну цифру больше, чем предусмотрено пп. 1–3. В окончательном результате эта дополнительная цифра отбрасывается по правилам записи окончательного результата или по правилам записи результата с учетом погрешности. Это делается для того, чтобы уменьшить систематическую ошибку при вычислениях.

Например, при вычислении среднего арифметического <x> не-

которой физической величины по результатам x1, x2, x3, … xn измерений рассчитанное значение должно содержать после запятой на одну цифру больше, чем в исходных данных.

Этот принцип позволяет при изучении периодически повторяющихся процессов в некоторых случаях уменьшить погрешность измерений. Например, если процесс повторяется во времени, то измеряют время, за которое процесс повторится несколько (больше одного) раз. Затем вычисляют время, за которое процесс произошел один раз, при записи результата сохраняют после запятой на одну цифру больше, чем в измеренном прибором времени. В результате точность определения времени, за которое процесс произошел один раз, возрастает.

Запись результата измерений с учетом погрешности измере-

ний. При записи результата прямых (или косвенных) измерений с учетом погрешности необходимо соблюдать следующие правила:

1)величину погрешности (доверительного интервала) необходимо округлить до второй (слева направо) значащей цифры, если первая из них единица, и до первой значащей цифры во всех остальных случаях;

2)результат измерений (среднее значение величины, полученное в результате прямых или косвенных измерений) необходимо округлить до того же разряда, что и погрешность. Число значащих цифр окончательного результата определяется порядком величины абсолютной погрешности (доверительного интервала).

Например, результат измерений 13,828 получен с погрешностью 0,045. Тогда окончательный результат запишем в виде

13,83 ±0,04.

57

Следует заметить, что когда в расчетах используются табличные данные (без указания погрешностей), то обычно считается, что погрешность этой величины составляет половину разряда последней значащей цифры (это параметр d для равномерного распределения ошибки округления).

Ход работы

Для выполнения данной лабораторной работы используют установку лабораторной работы 4.

Нормальный закон распределения можно записать в виде

Для построения графика эту функцию можно представить в ви-

де

f (xi ) = f0σ(zi ) ,

в

где

zi = xi − xв σв .

Значения функции f0(zi) приведены в приложении 1.

1. Измерить сопротивления xi 50 резисторов. Результаты измерений записать в табл. 5.1 (простой статистический ряд).

3. Составить интервальный ряд (табл. 5.2).

Таблица 5.2

58

а) разбить диапазон значений xв на N равных интервалов с гра-

ницами xi min и xi max. Число интервалов N определить по формуле N = 3,3lgn + 1;

б) рассчитать x = xi min + xi max для каждого интервала;

в) подсчитать число mi значений сопротивлений, попавших в каждый интервал;

г) по формуле Pi* = mni определить относительные частоты, со-

ответствующие каждому интервалу;

е) построить гистограмму относительных частот Pi* для интервального ряда.

4. Найти значения функции f(x):

а) вычислить значения zi для каждого интервала: zi = xi − xв σв ,

где xв – выборочная средняя (величина, равная среднему арифме-

k

тическому значению вариант статистического ряда): хв = ∑хi Pi* ;

i=1

σв – выборочное среднее квадратичное отклонение, равное корню квадратному из выборочной дисперсии: σв = Dв ; Dв – выбороч-

ная дисперсия (характеризует рассеяние вариант вокруг выбороч-

k

ной средней): Dв = ∑(xi − xв )2 Pi* ;

i=1

б) найти по таблице приложения 1 значения функции f0(zi); в) вычислить значения функции f (xi ) = f0 ;

г) результаты вычислений записать в табл. 5.3.

59

5. Построить график плотности вероятности f(x) на графике с гистограммой, построенной при выполнении задания 3. Какие параметры графика и гистограммы являются одинаковыми?

6. Определить значения функции F(x): F(xi min) = P(x < xi min) (используя данные табл. 5.2). Результаты записать в табл. 5.4.

Таблица 5.4

xi min, Ом

F(xi min)

7.Построить график функции распределения F(x).

8.Рассчитать интервал случайной погрешности изготовления резисторов:

а) вычислить среднеквадратическую погрешность среднего арифметического

n = 50 по таблице приложения 2 определить значение tn коэффициента Стьюдента;

в) рассчитать интервал случайной погрешности, соответствующий разбросу значений сопротивлений x =σtn ;

г) рассчитать интервал допустимого разброса по значению процентного допуска Д(%) от номинального значения:

Rдоп = ± Rном Д(%) ;

100%

д) сравнить интервал случайного разброса с интервалом допустимого разброса.

Отчет по работе

Отчет по работе должен содержать:

1)название и цель работы;

2)краткие теоретические сведения и расчетные формулы;

60