Кудрявтсев Методы оптимизатсии 2015

xn=0

x1

x3=0

x4=0

γ

x6=0

x5=0

0

x1

Рис. 3.5. Система ограничений несовместна

нулю. Если количество таких составляющих равно

, то ре-

таких состав-

шение называют невырожденным; если количество

ляющих больше, чем

, то решение называют вырожденным.

Все приведенные

утверждения справедливы и для случая

;

A . 3

Например, в случае

в этом случае изменяется только терминология.

A

. B 2

ОДР будет не многоугольником, а многогранником; огра-

ничивающие прямые превратятся в плоскости. В случае

ОДР станет «гипермногогранником», а ее границы –

«гиперплоско-

A

. B 3

1, |

,

γ 0, 1, |

оптимальности опорного решения является

то признаком

Y γ

A γ

A γ A P A γ

(для за-

(для задачи поиска максимума) или

γ

0,

любые неотрицательные значения).

Тогда значение линейной формы будет равно

. Теперь

переменной

;

попробуем изменить значение любой свободной Y γ

γ

0

делать это можно, только увеличивая ее. Если соответствующий ей

коэффициент

, то значение линейной формы в общем случае

уменьшится:

, что не соответствует поставлен-

ной задаче

поиска максимума. Если же все

, то уве-

Y γ

A γ γ

личение любой переменной

приведет к уменьшению

γ

0, 1, |

ª 0, 1, |

0, 1, |

если

в

случае

значения линейной

Таким

образом,

формы. 0, 1, |

положить

, то найденое опорное ре-

Запишем ограничения канонической задачи линейного про-

граммирования в векторной форме

Y

” max,

] A ] A P A ]

A ]

A P A ]

] ,

0, 1, A ,

/

(

Ž

Ž , 1,2, … , A ,

]

]

где

,

/

] , 1,2, … ,

за

, 1,2, … ,

]

]

т.е. векторы

/•

представляют из себя столбец матрицы

, а векторы

]

имеют все элементы, равные нулю,

, 1,

исключением i-го элемента, равного плюс или минус единице.

Пусть первые m векторов

84

являются линейно независи-

.

] A ] A P A ] A ] A P A

] ]

мыми и из уравнения

определяется базисное решение

,

Предположим, что

данное решение допустимо (

, … ,

. Положим все осталь-

] A ] A P A

]

] .

ные свободные переменные

равными нулю, т.е. будем иметь

0, 1,

]

, 1,2, … ,

(3.5)

Выразим каждый из

небазисных векторов

че-

где

α

] A α ] A P A α ] ] ,

рез базис, а именно

α

, 1,

(3.6)

\ «

коэффициенты. Предположим, что хотя бы один из

, « , … , « , « &

коэффициентов

.

A P A « ] A « ] ] .

«

] A « ]

Пусть

α

G 0

– решение уравнения

(3.7)

Умножив

уравнение (3.6) на некоторое значение

и вычтя по-

α ] A α ] A P

лученное выражение из (3.5), получим

]

Сравнивая выражения

A

α

] ] .

(3.8)

Решение (3.9) не «

«

α , 1, ,

.

(3.7) и (3.8), найдем

(3.9)

является базисным, так как содержит m+1 пе-

ременную и будет допустимым не для всех значений

(так как

при определенных

некоторые

окажутся меньше

нуля).

Из

«

, 1,

выбирать таким образом, чтобы ни одна

Следовательно,

надо

«

из величин

не стала меньше нуля.

неравенства

«

α

0

димо

, 1, ,

α

G 0,

получим

причем

т.е. значение

необхо-

]

выбирать на основании правила

(3.10)

AB

]

Для получения

нового базисного решения необходимо одну пе-

min

,

α

G 0.

ременную (например

вывести из базиса, а переменную

вве-

сти в базис. Новое

базисное решение будет иметь вид

85

α

α

α

,

α

Новому

] , ] , … , ] , ] , … , ] , ]

а новый базис

.

решению соответствует следующее значение целевой

целевой функции:

C 9 D

E D

9 D

FD 9 D α G

∑

C

D

D α ;

∑

α

здесь – значение целевой функции для начального базиса. Вы-

ражение

называют симплекс-разностью для пере-

Y

менной

. Для максимизации целевой функции необходимо выби-

рать

переменную

с максимальной симплекс-разностью.

:

:

:

1

0

0

(3.11)

4 :

:

:

0

1

0 ,

0

:

:

Гаусса. Предположим, что матрица ограничений сведена к виду и

имеет размерность m x (m+n):

В векторной форме ограничения запишутся как

*

I*

,

4 4 4 I*

4 +

причем

. Применим к-ю (к = 1,2,…) итерацию

исключения Гаусса к расширенной матрице

/

+

0, 1,

) *

Пусть

– направляющийJ4 , 4 , 4 , … , 4 элемент, I* , … , I*

преобразования.K.

Тогда

j – направляющий столбец, i – направляющая строка.

/

G 0

Преобразования выполняются по формулам:

1) для всех элементов направляющей строки

(3.12)

:

, L 1,2, … , A . 1,

2) для всех элементов направляющего столбца

(3.13)

3) для всех остальных элементов матрицы

:

1;

:

0, M N -, M 1,2, … , .,

.

(3.14)

:

:

: ,

L N O,

M N -

вопрос выбора направляющего элемента

. Его надо выбирать та-

ким образом, чтобы новое решение

системы ограничений было

/

опорным, т.е. удовлетворяло условию

. Так как

) *

, то проанализируем элемен-

опорное решение равно вектору

0, 1, A

ты данного вектора, вычисляемые на основании формул (3.10) и