Кудрявтсев Методы оптимизатсии 2015

В этом случае проводят редукцию (уменьшение) симплекса (обычно в два раза), т.е. координаты всех вершин симплекса сдвигаются на половину расстояния до наи-

лучшей точки:

) * A 0,5 ) * !, 1,2, … , A 1.

В качестве критерия останова авторы метода рекомендуют среднеквадратичную величину разности значений функции в вершинах симплекса и среднего ее значения:

2.2.4 Градиентные методы

Суть всех градиентных методов заключается в использовании вектора градиента для определения направления движения к экстремуму. Свойства градиента, обуславливающие его эффективное применение при поиске, уже приводились ранее:

▪поиск в направлении вектора градиента (антиградиента) дает быструю сходимость, так как градиент (антиградиент) всегда направлен в сторону наиболее быстрого роста (убывания) функции;

▪условие стационарности (в точке экстремума градиент обращается в нуль)*p используется* + для проверки условия окончания поиска, т.е. .

51

Общий алгоритм всех градиентных методов заключается в по-

правой части говорит о том, что ищется минимум целевой функции (направление антиградиента); при поиске максиму-

Следует заметить, что применение градиентных методов не всегда возможно, так как посчитать частные производные целевой функции не всегда просто (а иногда и невозможно). Поэтому в данном разделе кратко рассмотрим два метода, базирующихся на итерационном процессе (2.13): простой градиентный метод и метод наискорейшего спуска; а также метод Бокса-Уилсона, позволяющий выполнить оценку значения градиента без его непосредственного вычисления.

Простой градиентный метод

Суть простого градиентного метода заключается в использова-

Метод наискорейшего спуска

Метод Бокса-Уилсона (крутого восхождения)

Этот метод представляет собой пошаговую процедуру движения

точки ) *.

Затем совершается движение по поверхности целевой функции в направлении градиента (антиградиента) с величиной шага, про-

) *

порциональной∆ произведению коэффициента на интервал варьирования . Движение осуществляется до тех пор, пока значение целевой функции не начнет уменьшаться (увеличиваться). В

полученной точке вновь производится планирование эксперимента

приведена на рис. 2.12. По сути дела, в данном случае ПФЭ помогает выбрать экспериментальные точки, в которых будут рассчитаны значения функции. Для удобства эти расчеты можно записать в виде матрицы планирования эксперимента (табл. 2.5).

53

пользовать для выбора направления движения. При таком подходе при поиске минимума координаты новых точек вычисляются по

55

Из табл. 2.9 видно, что функция перестала убывать после 2-го

шага6,8;. Таким7,2 образом, новой начальной точкой становится ) *

9.

2

Реализуем ПФЭ размерности N =2 =4. Матрица планирования будет иметь вид (табл. 2.10).

57

Из табл. 2.11 видно, что функция перестала убывать после 2-го

шага6,96;. Таким6,96 образом, новой начальной точкой становится ) *

9.

2

Реализуем ПФЭ размерности N =2 =4. Матрица планирования будет иметь вид (табл. 2.12).

т.е. условие выполняется6,96; 6,96и поиск нужно остановить. Таким образом, точка 9 есть точка оптимума.

Траектория поиска изображена на рис. 2.13.

59

Рис. 2.13. Траектория поиска по методу Бокса-Уилс она

Следует отметить достаточно высо кую скорость приближения к оптим альной точке, ч то обусловлено использование м оценки градиента для выбора направления поис ка. На рисунке хорошо видно, что т раектория поиска фактически является перпендикуляром к касател ьным линий уровня.

60