Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кудрявтсев Методы оптимизатсии 2015

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2022

Размер:

1.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

справедливость утверждения, нужно показать, что верно соотношение

/ · Q

или

Из 2-го шага алгоритма

следует, что

· Q,

A /

· 1 Q .

Аналогично имеем /

перегруппировывая слагаемые, получим

1 Q

полученных результатов на второй, получаем

Разделив первый из

· Q.

, в

Но из (2.2) следует, что

1 Q Q

результате чего имеем

1 Q

случая

проводится аналогич-

Доказательство для

но. Указанное свойство

позволяет на каждой итерации (кроме пер-

вой) производить испытания только в одной точке.

Утверждение 2. Точки

сительно концов ТИН.

расположены симметрично отно-

точки /

на ту же

· Q

Доказательство. Из 2-го шага алгоритма следует, что точка

отстоит от точки

на величину

; точка

от

отстоит

величину.

Утверждение 3. Поскольку после каждой итерации длина ТИН

уменьшается в τ раз, можно априорно оценить количество итераций

ТИН

/ Qи

т.д. Тогда

после

-й

| ТИН

по заданной точности решения. Действительно, после первой итера-

/ QQ

/ Q

после

второй итерации

ции

/ Q .

| ТИН |

итерации

имеем

|ТИН

| +

/Q +

окончания

поиска

, получаем

. Заменив знак неравенства

на равенство и выразив r, получим оценку количества итераций.

2.1.3Сравнение эффективности методов, сокращающих ТИН

Обозначим через Φ класс непрерывных унимодальных одномерных функций\] , ] ,.]Пусть, ] & множество рассматриваемых методов поиска есть , ! # , где A1 – метод равномерного поиска; A2 –

метод дихотомии; A3 – метод Фибоначчи; A4 – метод золотого сечения.

В качестве критерия оптимальности указанных методов на классе функций Φ будем использовать максимальную длину ТИН после

m испытаний: ^ ] max|ТИН , ] |.

Использование подобного критерия обусловлено тем, что при решении оптимизационной задачи зачастую требуется минимизировать число испытаний (это уже обсуждалось в разделе 1.6). Но, поскольку в предыдущем разделе длина ТИН связывалась с количеством итераций (а, как было показано, почти во всех методах число итераций не совпадает с числом испытаний), необходимо в выведенных формулах сделать переход от итераций к испытаниям.

При рассмотрении метода равномерного поиска было показано,

что после каждой итерации длина ТИН уменьшается в раз, а ко-

личество испытаний на каждой итерации m = N+1. Следовательно,

^ ] / / .

При рассмотрении метода дихотомии было показано, что после

каждой итерации длина ТИН уменьшается в два раза, количество

испытаний на каждой итерации равно 2, поэтому m = 2N. Следова-
	^ ] /	)	*
тельно,		)	*	.
тельно,				.

При рассмотрении метода Фибоначчи было показано, что в ре-

зультате N итераций длина ТИН становится равной F , а количе-

ство испытаний m = N+1 (на первой итерации два испытания,

дальше по одному испытанию на каждой итерации). Следовательно, ^ ]! / .

При рассмотрении метода золотого сечения было показано,/Qчто в результате N итераций длина ТИН становится равной , а количество испытаний m = N+1 (на первой итерации два испыта-

ния, дальше по одному испытанию на каждой итерации). Следова-
тельно,	#	.
Пользуясь^ ] полученными/ Q			результатами, сравним метод дихото-
мии и метод Фибоначчи при числе испытаний m = 14:
	^ ]!		Y	Y
	^ ]		2	128 O 1,82.
				!

Видно, что метод Фибоначчи почти в два раза эффективнее метода дихотомии.

2.1.4 Методы полиномиальной аппроксимации

Если при решении оптимизационной задачи была получена информация о том, что целевая функция является достаточно гладкой в некоторой окрестности экстремума, то в этой окрестности ее можно достаточно точно заменить (аппроксимировать) полиномом некоторого порядка, после чего использовать для нахождения экстремума этот полином.

Качество аппроксимации может быть повышено двумя способами:

▪увеличение степени аппроксимирующего полинома;

▪уменьшение сетки аппроксимации.

Второй способ является более предпочтительным, так как построение полинома порядка выше трех – достаточно сложная задача.

Метод квадратичной аппроксимации

В данном методе целевая функция приближенно заменяется па-

, 1,2,3

, a , где

раболой,

проходящей.

через

три

известные точки

b /

A /

Построим полином следующего вида:

/ , 1,2,3

, 1,2,3

Необходимо выбрать

: b

таким образом, чтобы

Подставим в полином

/ a

, следовательно,

: b /

A /

, следо-

Подставим в полином

вательно,

6 6 .

b /

A /

Подставив в полином

получим

!, следова-

a! a

тельно,

b / A /

A / 34 0, откуда

Найдем экстремум классическим методом, взяв производную:

Пример. Найдем с помощью квадратичной аппроксимации экс-

ственно,

1,. 0,

тремум функции f(x)=

sin(x) + cos(x)

на отрезке [-1, ]. В качестве

мальной

a O 0,3, a

1, a

1,38

, и, соответ-

точек аппроксимации возьмем

/ O 1,3; /

Для

определения опти-

= O 0,46.

. Найдем их:

точки нужно знать коэффициенты

6 6

0,91. Из рис. 2.5 видно, что постро-

Тогда

енный аппроксимационный полином достаточно точно приближает целевую функцию.

Рис. 2.5. Целевая функция и аппроксимирующий полином

Подобные расчеты можно повторять для уточнения точки, 1,2,3экстремума, на каждой итерации заново выбирая точки каким-либо образом. Например, можно найденную на предыдущем шаге точку оптимума обозначать как , а в качестве точек и ! брать те использовавшиеся на предыдущем шаге точки, между ко-

O 0,91.

Так, для примера выше

торыми оказалась точка оптимума.

возможно: скажем,

O 0,91,

Тогда

на

следующем

шаге

можно положить

. Однако это не всегда

вполне возможна ситуация, когда

2 ; 3.

Решить эту проблему помогает метод Пауэлла.

Метод Пауэлла

Выбираем начальную точку

, величину шага

—

числа.

+ , +

малые положительные

Выполняем

AΔ

, то

Вычисляем

. Если

; в противном случае

Вычисляем

и находим

;

\ | &.

min

, .

По

вычисляем

пользуясь

формулами

квадратичной

аппроксимации. Если

то

результатом

аппроксимации является не парабола,/а

прямая; в этом случае

следует положить

и перейти к шагу 2.

, h

+ .

Проверяем

условия окончания поиска:

▪Если оба условия выполняются, останавливаем поиск; точоптимума – ; 2 ; 3

▪Если2 ;хотя3 бы одно условие не выполняется и ! (или ! – в зависимости от выбранного на шаге 3 направ-ления поиска), то выбираем «наилучшую точку» (либо , либо

) и две использовавшиеся точки по обе,стороны, от нее. Обозначаем эти точки в естественном порядке ! и переходим к ша-

▪Еслиf ;хотя бы одно условие не выполняется и f 2 ; !3 (или ! – в зависимости от выбранного на шаге 3 направления поиска), то обозначаем и переходим к шагу 2.

2.1.5 Методы, использующие производные

Если целевая функция достаточно просто дифференцируется и вычисление значения производной не представляет значительных сложностей, то целесообразно воспользоваться этим обстоятельством для поиска экстремума. Общая идея излагаемых ниже методов состоит в численном 0решении уравнения классического метода оптимизации – .

Метод средней точки

Данный метод очень схож с методом дихотомии: определяются две точки L и R, в которых производная целевой функции имеет

разные знаки

(например,

). Тогда точка экс-

тремума, в которой

будет находиться на отрезке [L, R].

? 0,

S G 0

Полагаем

( 7

вычисляем

, после чего исключаем из

рассмотрения один из отрезков ([L, Z] или [Z, R]), на краях которо-

го знаки производной совпадают|F. ПроцессS| + можно| повторятьi | + до достижения требуемой точности: или .

Метод Ньютона (касательных)

Если целевая функция имеет непрерывные и сохраняющие оп-

ределенные знаки производные вплоть до третьей включительно на

? 0

некотором отрезке [a, b], причем первая производная имеет разные

, можно

2/; 3

), то, исходя из

знаки на концах этого отрезка (т.е.

G 0

удовлетворяющего условию

начального приближения

вычислить с любой точностью единст-

венный корень уравнения

Проведем

через

точку

касательную. Уравнение такой

Поскольку мы

a A

касательной записывается

как

, a

(2.5)

ищем решение уравнения

, заменим в

0 :

(2.5) на

на

, после чего найдем

точку пересечения каса-

тельной с осью абсцисс

. Из

полученного соотношения выразим x:

) *

Тогда можно

) *.

построить итерационный процесс:

		) *		(2.6)
		) *

интерпретация метода приведена на рис. 2.6.
Геометрическая			.
\| \| + или	\|\| \| +.
Итерационный процесс (2.6) заканчивается, когда

Рис. 2.6. Геометрическая интерпретация метода Ньютона

Метод секущих (хорд)

получается из

Метод секущих

метода

касательных заменой

в (2.6) разностным приближением:

) * ) *.

Методом

В результате получим формулу итерационного процесса:

(2.7)

) * ) *

хорд называют метод секущих в том случае, когда

(2.8)

один из концов отрезка [a, b] закреплен, т. е. вычисление прибли-

) *

жения корня уравнения

производят по формулам:

либо

, /.

(2.9)

) * )

В качестве

обоих методах выбирают тот конец отрезка, на

. Для метода секущих до-

выполняется

котором

, так как этот метод является

определить

полнительно нужно

G 0

двухшаговым;

это

делается с

помощью одной итерации метода

хорд (см. (2.8), (2.9)), а все последующие значения вычисляются с

помощью (2.7).				..	\|	\|
2.7.	или
Геометрическая интерпретация метода хорд приведена на рис.
+		\|	\|	+
	Итерационный процесс (2.7) заканчивается, когда

Рис. 2.7. Геометрическая интерпретация метода хорд

2.2 Безусловная оптимизация функций многих переменных

2.2.1 Основные понятия и определения

Постановка задачи

j k

, , … ,

действительных

Пусть

задана

функция

переменных

, определенная на множестве

. Гово-

рят, что функция

имеет локальный минимум в точке

окрестность точки

такая, что

для

если существует

любой точки этой окрестности.

Аналогично, функция имеет гло-

бальный минимум

в точке

, если

условие

справедливо для любой точки

Поверхность и линия уровня

Поверхностьюconst уровня называется геометрическое место точек, где . Для функции двух переменных поверхность уровня называется линией уровня.

Градиент функции многих переменных и его свойства

Градиентом функции многих переменных называется вектор, составленный из первых частных производных функции по всем переменным:

p <8	, 8	, … , 8 =		9	.	(2.10)
8	8	8		9

Свойства градиента:

1. Градиент функции перпендикулярен поверхности уровня функции ; в случае функции двух переменных он перпендикулярен касательной к линии уровня.

2.Направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.11.20222.92 Mб1Кувяткина Международные стандарты учета и отчетности 2012.pdf
#
12.11.202210.45 Mб26Кудинова Практическиы курс аглиыского языка для студентов международник Ч.1 2014.pdf
#
12.11.202210.79 Mб21Кудинова Практическиы курс англиыского языка для студентов международник Ч.2 2014.pdf
#
12.11.202212.14 Mб27Кудинова Практическиы курс англиыского языка для студентов международник Ч.3 2014.pdf
#
12.11.202210.38 Mб12Кудинова Практическиы курс англиыского языка для студентов международник Ч.4 2014.pdf
#
12.11.20221.51 Mб12Кудрявтсев Методы оптимизатсии 2015.pdf
#
12.11.20221.39 Mб7Кузмина, Что такое ядерная медецина 20112.pdf
#
12.11.2022688.18 Кб5Кушин Методы регистратсии излучениы 2015.pdf
#
12.11.20222.76 Mб6Лабораторный практикум Атомная физика.pdf
#
12.11.20221.65 Mб2Лабораторный практикум Конструкционные материалы ядерных реакторов.pdf
#
12.11.20224.42 Mб3Лабораторный практикум курса общей физики. Раздел Атомная физика.pdf