Демина Геометрические принтсипы теории функтсиы комплексного 2015

6. Решение двумерных краевых задач математической физики

Для удобства один из радиусов можно считать единичным. Если же граничная функция h(x, y) имеет более сложный

вид, а область Dz C односвязна с границей ∂Dz, состоящей более, чем из одной точки, то достаточно найти конформное отображение исходной области на единичный круг Kw = {wC : |w| < 1} и воспользоваться теоремой о среднем для гармонической функции. В результате мы придем к формуле

где функция w = F (ξ; z) реализует конформное отображение в переменных ξ исходной области Dz на единичный круг Kw = = {w C : |w| < 1} такое, что точка z Dz переходит в начало координат w = 0.

Запишем явный вид этой формулы для верхней полуплоскости и единичного круга. Конформное отображение верхней полуплоскости Im ξ > 0 на единичный круг Kw = {wC : |w| < 1}, при котором точка z, Im z > 0 переходит в точку

Следовательно, подставляя выражение (6.9) в соотношение (6.8), получаем, что решение задачи Дирихле

61

6. Решение двумерных краевых задач математической физики

единичный круг Kw = {w C : |w| < 1}, при котором точка z, |z| < 1 переходит в точку ξ = 0:

Классическая задача Неймана для уравнения Лапласа в области Dz C с кусочно-гладкой жордановой границей ∂Dz состоит в отыскании функции U(x, y) C2(Dz) ∩ C1(Dz) такой,

к границе ∂Dz, а p(x, y) — заданная функция класса C(∂Dz). Так же как и для задач Дирихле выделяют внутренние задачи (для ограниченной области Dz) и внешние задачи (для неограниченной области Dz). В случае внешней задачи опять необходимо потребовать ограниченность искомой функции U(x, y) в бесконечно удаленной точке. Таким образом, задача Неймана состоит в отыскании гармонической в области Dz функции, нормальная производная которой принимает заданные значения на границе области.

Две гармонические в области Dz C функции U(x, y) и V (x, y) называются гармонически сопряженными, если они связаны условиями Коши–Римана:

62

6. Решение двумерных краевых задач математической физики

Эти равенства эквивалентны следующей паре соотношений:

в которых поворот от единичного вектора n к единичному вектору s совершается на прямой угол против часовой стрелки. Для всякой гармонической в односвязной области Dz функции U(x, y) можно построить гармонически сопряженную функцию V (x, y), определенную с точностью до аддитивной постоянной. Используя первое из соотношений (6.17), заключаем, что гармонически сопряженная функция V (x, y) по отношению к функции U(x, y), являющейся решением задачи Неймана (6.15), удовлетворяет следующей задаче Дирихле:

вычисляется по некоторой связной части границы ∂Dz, соединяющей точки z0 и z.

Пользуясь свойствами гармонических функций, можно сделать вывод, что решение задачи Неймана (6.15) необходимо

и определяется с точностью до аддитивной постоянной. Из курса уравнений математической физики известно, что условие (6.19) является и достаточным. Таким образом, решение двумерной задачи Неймана (6.15) в односвязной области Dz C сводится к решению задачи Дирихле (6.18) и последующему поиску функции U(x, y), гармонически сопряженной по отношению к V (x, y). Для этой цели можно использовать, например, условия Коши–Римана (6.16) или (6.17).

63

6. Решение двумерных краевых задач математической физики

Рассмотрим некоторые примеры. Далее на всех рисунках значения гармонических функций, принимаемые на границе, мы будем заключать в прямоугольники.

Задача 6.1. Найти стационарную температуру бруса, поперечным сечением которого является полукруг радиусом r0, если диаметральная плоскость поддерживается при температуре u1, а остальная часть поверхности при температуре u2.

В поставленной задаче область Dz односвязна, а граничная функция на каждой из двух связных частей границы принимает постоянные значения (рис. 6.1), поэтому будем отображать исходную область на горизонтальную полосу.

Дробно-линейное отображение

64

6. Решение двумерных краевых задач математической физики

переводит полукруг на угол, изображенный на рис. 6.2. Преобразование w2 = w12 отображает угол на верхнюю

полуплоскость (рис. 6.3). Осталось применить логарифмическую функцию: w3 = ln w2. В результате мы получим горизонтальную полосу шириной π (рис. 6.4).

65

6. Решение двумерных краевых задач математической физики

Таким образом, мы нашли искомую стационарную температуру

где r < r0, 0 < φ < π.

Задача 6.2. Два бесконечных прямых круговых проводящих цилиндра расположены параллельно друг другу, как показано на рис. 6.5. Расстояние между центрами цилиндров d = = 21. Определить потенциал электростатического поля, если цилиндр радиусом r1 = 10 имеет потенциал v1, а потенциал цилиндра радиусом r2 = 4 равен v2.

z

u1 u2

d

Рис. 6.5

найдем пару точек, симметричных одновременно относительно

66

6. Решение двумерных краевых задач математической физики

окружностей |z| = r1, |z − d| = r2. Эти точки должны лежать на положительной вещественной полуоси. Обозначим их координаты x1 и x2. Также будем считать, что x1 < x2. Используя второе равенство в выражении (3.9), приходим к системе уравнений:

x1x2 = r12,

(6.25)

(d − x1)(d − x2) = r22.

Решая эту систему при заданных значениях параметров, получим x1 = 5, x2 = 20. Далее с помощью дробнолинейного преобразования отобразим одну из этих точек в начало координат, а вторую в бесконечность: w = g(z), где

При этом преобразовании исходная область перейдет в концентрическое кольцо R1 < |w| < R2 с фиксированным отношением радиусов R1 и R2. Для удобства положим R1 = 1.

Будем искать параметр k. С этой целью найдем образы каких-либо двух точек, лежащих на каждой из связных частей

67

6. Решение двумерных краевых задач математической физики

границы. Например, возьмем точки r1 = 10 и d+ r2 = 25. Имеем:

k

10 7→ −, 25 7→ 4k. (6.27)

2

Образы этих точек попадают на соответствующую связную часть границы кольца 1 < |w| < R2. Таким образом, окружности |z| = r1 и |z − d| = r2 отображаются на окружности |z| = 1 и |z| = R2 (рис. 6.6) соответственно и

Подставляя полученные результаты в формулу (6.7), находим искомый потенциал

где x2 + y2 > 100, (x − 21)2 + y2 > 16.

Задача 6.3. Найти стационарную температуру бруса, поперечным сечением которого является круг радиусом r0, если температура поверхности имеет вид

{

u1, −π < φ < 0,

U(r0, φ) = (6.31) u2, 0 < φ < π.

Указание. Стационарная температура U(r, φ) является гармонической функцией в круге r < r0, −π < φ < π, а на границе принимает заданные соотношением (6.31) значения.

68

6. Решение двумерных краевых задач математической физики

где r < r0, −π < φ < π.

Задача 6.4. Определить потенциал электростатического поля в пространстве между двумя параллельными плоскостями Im z = ±d, потенциал которых имеет вид

{

u1, x < 0,

U(x, ±d) = (6.33) u2, x > 0.

Указание. Потенциал электростатического поля U(x, y) является гармонической функцией в полосе −d < Im z < d, а на границе удовлетворяет условию (6.34).

Ответ:

где −∞ < x < +∞, −d < y < d.

z

u2

r0

Рис. 6.7

69

6. Решение двумерных краевых задач математической физики

Задача 6.5. В грунте на расстоянии d = 25 от поверхности находится труба радиусом r0 = 7 (рис. 6.7). Найти стационарное распределение температуры в грунте, если температура его поверхности равна u1, а труба имеет температуру u2.

Указание. Стационарная температура U(z) удовлетворяет

где x2 + (y + 25)2 > 49, y < 0.

70