Демина Геометрические принтсипы теории функтсиы комплексного 2015

3. Общие вопросы теории конформных отображений

( )

Из условия arg w′ 1 = π получаем α = π. Выражая w из

2

равенства (3.30) и учитывая, что eiα = −1, находим искомое отображение

Задача 3.6. Найти общий вид дробно-линейной функции, отображающей круг |z| < R на себя |w| < R и оставляющей точки R, −R неподвижными.

Решение. Согласно формуле (3.14) дробно-линейное отображение с двумя неподвижными точками ±R задается соотношением

Найдем возможные значения параметра k, при которых круг |z| < R переходит на круг |z| < R. В исходном круге существует точка a (|a| < R), которая под действием преобразования (3.33) отображается в начало координат w = = 0. По свойству дробно-линейных отображений точка a , симметричная точке a относительно окружности |z| = R, переходит в бесконечно удаленную точку. Пользуясь формулой

где мы ввели обозначение K = k1 . Возьмем комплексное

сопряжение от первого уравнения системы (3.34), тогда, с учетом второго уравнения, найдем K = K. Отсюда следует, что K R. Помимо уравнений системы (3.34) необходимо учесть условие

31

3. Общие вопросы теории конформных отображений

|a| < R. Выразив параметр a из первого уравнения системы (3.34), придем к равенству

Заметим, что из соотношения (3.35) и условия |a| < R следует, что параметр a вещественный и −R < a < R. Тогда ответ (3.37) можно переписать следующим образом:

Две граничные точки z1,2 = ±R, w1,2 = ±R на каждой из окружностей |z| = R, |w| = R заданы в условии задачи. Значит,

вкачестве свободного параметра можно взять, например,

аргумент точки z3, лежащей на окружности |z| = R и отличной от точек z1, z2. Потребуем, чтобы точка z3 = Reiφ переходила

вточку w3 = Ri. Заметим, что при выборе граничных точек необходимо следить за направлением обхода областей. Тогда

32

3. Общие вопросы теории конформных отображений

мы должны положить: 0 < φ < π. Пользуясь формулой (3.13), получаем:

Функция tg φ2 принимает значения из интервала (0, +∞), когда

φ (0, π). Значит, мы можем перейти от параметра φ к

параметру K = tg φ2 , K > 0. Далее, разрешая соотношение

(3.41) относительно w и вводя параметр a по правилу (3.35), мы приходим к ответу (3.38), где параметр a может принимать любое вещественное значение из интервала (−R, R), поскольку

K > 0.

33

3. Общие вопросы теории конформных отображений

Задача 3.7. Найти конформное отображение эксцентрического кольца |z| > 9, |z−5| < 16 на концентрическое 1 < |w| < R. Определить значение R и модуль µ двусвязной области |z| > 9, |z − 5| < 16.

Решение. Исходная область двусвязна. Ее можно отобразить на концентрическое кольцо с фиксированным отношением радиусов внешней и внутренней окружностей. Найдем пару точек, симметричных одновременно относительно окружностей |z| = 9, |z − 5| = 16. Пользуясь условиями (3.9), заключаем, что такие точки лежат на вещественной оси и имеют одинаковый знак. В результате приходим к системе:

x1x2 = 81,

(3.42)

(x1 − 5)(x2 − 5) = 256,

где координаты симметричных точек мы обозначили x1 и x2. Считая для определенности, что x1 < x2 из системы (3.42), находим x1 = −27, x2 = −3. Далее с помощью дробно-линейной функции отобразим одну из этих точек в точку w = 0, вторую в точку w = ∞. При таком преобразовании окружности |z| = 9, |z−5| = 16 перейдут в окружности с центром в начале координат. Таким образом, мы имеем две возможности:

z + 27

(I) : w = k1 z + 3 ; (3.43) z + 3

(II) : w = k2 z + 27 .

Для того чтобы получить значения радиусов окружностей на плоскости w, найдем образы каких-либо точек, лежащих на каждой из связных частей границы. Имеем:

34

3. Общие вопросы теории конформных отображений

Модуль двусвязной области вычисляется как отношение внешнего радиуса к внутреннему для концентрического кольца,

являющегося образом исходной области. В нашем случае µ = = R = 32 .

Задача 3.8. Найти общий вид конформного отображения комплексной плоскости C на комплексную плоскость C.

Ответ: w = Az + B, где A, B C, A ≠ 0.

Задача 3.9. Найти общий вид конформного отображения

35

4. Принцип симметрии

Задача 3.10. Найти общий вид конформного отображения круга |z| < R на левую полуплоскость Re w < 0.

Ответ:

Задача 3.11. Найти конформное отображение круга |z +2| < 2

на круг |w − 2i| < 2 такое, что точка −2 переходит в точку i и arg w′(−2) = 0.

Ответ:

Задача 3.12. Найти общий вид дробно-линейной функции, отображающей верхнюю полуплоскость Im z > 0 на единичный круг |z| < 1 и оставляющей точки +1, −1 неподвижными.

Задача 3.13. Найти модуль µ двусвязной области Re z > 0,

|z − d| > R (d > R).

√

Ответ: µ = d + d2 − R2 .

R

4.Принцип симметрии

Впредыдущем разделе мы дали определение точек, симметричных относительно окружности или прямой. Аналогично можно определить точки, симметричные относительно части окружности или прямой.

Точки z, z будем называть симметричными относительно части прямой или дуги окружности, если эти точки

36

4. Принцип симметрии

симметричны относительно всей прямой или всей окружности соответственно. Используя понятие симметричных точек для каждой области с жордановой границей, содержащей прямую (часть прямой) или окружность (часть окружности), можно построить симметричную область, т.е. область, состоящую из точек, симметричных относительно соответствующей части границы.

При практическом построении конформных отображений большую роль играет принцип симметрии. На плоскости переменной z рассмотрим область Gz, представимую в виде Gz =

˜

= Dz Lz Dz, где Lz — отрезок, полупрямая, прямая или

˜

дуга окружности, области Dz и Dz симметричны относительно

˜

кривой Lz и не имеют общих точек, а границы ∂Dz, ∂Dz областей

˜

Dz, Dz являются кривыми Жордана и содержат кривую Lz. Аналогично определим область Gw на плоскости w: Gw = Dw

˜

Lw Dw. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 4.1 (Принцип симметрии). Пусть функция f(z)

реализует конформное отображение области Dz на область Dw так, что кривая Lz переходит в кривую Lw. Пусть, кроме того, функция f(z) непрерывна в обобщенном смысле на множестве

В этом равенстве z — точка, симметричная точке z относительно Lz, а f (z ) — точка, симметричная точке f(z ) относительно Lw.

37

4. Принцип симметрии

Задача 4.1. Найти какое-либо конформное отображение внешности креста, состоящего из отрезка действительной оси Im z = 0, −a ≤ Re z ≤ b, где a ≥ 0, b ≥ 0, a2 + b2 > 0 и отрезка мнимой оси Re z = 0, −c ≤ Im z ≤ c, где c > 0 на внешность единичного круга Λw = {w C : |w| > 1}, рис. 4.1.

Решение. Вспомогательный разрез, проведенный по вещественной оси вдоль лучей Im z = 0, −∞ < Re z ≤ −a и Im z = 0, b ≤ Re z < ∞, делит внешность креста на две симметричные области. Этот разрез, как и его образы, при последующих отображениях будем обозначать символом L. На рисунках эти линии отмечаются пунктиром.

Рассмотрим одну из симметричных областей (рис. 4.2).

допускает аналитическое продолжение в нижнюю полуплоскость через линию L и вместе со своим аналитическим продолжением отображает внешность заданного креста на внешность отрезка

38

√√

√

≤ b2 + c2 во внешность отрезка Im w3 = 0, −1 ≤ Re w3 ≤ 1 (рис. 4.7).

Для того чтобы найти параметры α, β, решим систему:

√

39

4. Принцип симметрии

= ∞, отображает внешность единичного отрезка на внешность единичного круга Λw = {w C : |w| > 1} (рис. 4.8).

Следовательно, искомое преобразование примет вид

где параметры α и β задаются соотношением (4.5).

Задача 4.2. Найти какое-либо конформное отображение полуполосы 0 < Re z < 2π, Im z > 0 с разрезами вдоль отрезка Re z = π, 0 ≤ Im z ≤ a и вдоль луча Re z = π, b ≤ Im z < +∞, b > a на верхнюю полуплоскость Im w > 0 (рис. 4.9).

40