Демина Геометрические принтсипы теории функтсиы комплексного 2015

3. Общие вопросы теории конформных отображений

кривая ∂Dz будет отображаться на кривую ∂Dw взаимно– однозначно и с сохранением направления обхода.

При практическом построении конформных отображений большое значение имеет утверждение в известном смысле обратное принципу соответствия границ.

Теорема 3.3 (Принцип конформности). Пусть функция f(z), аналитическая в области Dz C и непрерывная

в замыкании Dz, взаимно–однозначно и с сохранением направления обхода отображает границу ∂Dz области Dz, являющейся кривой Жордана, на границу ∂Dw некоторой ограниченной области Dw C. Тогда функция f(z) осуществляет конформное отображение области Dz на область Dw.

Теория конформных отображений занимается следующими двумя взаимно обратными задачами:

1.Для некоторого отображения w = f(z), конформного на области Dz C, найти образ Dw C области Dz.

2.Для заданных областей Dz C, Dw C найти функцию f(z), осуществляющую конформное отображение области Dz на область Dw, или доказать, что такое отображение не существует. Рассмотреть вопрос единственности отображения.

Вдальнейшем мы будем интересоваться второй задачей, которая является значительно более трудной, чем первая. Конформное отображение w = f(z) области Dz C на область Dw C называют конформным изоморфизмом, а области Dz

иDw конформно–изоморфными (или просто изоморфными). Нетрудно убедиться, что не для любых областей Dz и Dw эта задача имеет решение. Например, многосвязную область нельзя однолистно и непрерывно отобразить на односвязную.

21

3. Общие вопросы теории конформных отображений

Это означает, что многосвязная и односвязная области не могут быть конформно изоморфными. Однако две произвольные односвязные области расширенной комплексной плоскости, границы которых состоят более чем из одной точки, допускают построение конформного изоморфизма.

Теорема 3.4 (Теорема Римана). Пусть граница односвязной области Dz C состоит более чем из одной точки. Тогда существует одно и только одно конформное отображение w = = f(z) области Dz на единичный круг Kw = {w C : |w| < 1}, для которого справедливы соотношения

где z0 – произвольная точка области Dz; w0 – произвольная точка единичного круга Kw; а α – некоторое вещественное число.

Следствие. Односвязные области Dz C, Dw C, границы которых состоят более чем из одной точки, конформно изоморфны другу. Для выделения единственного отображения достаточно потребовать выполнения соотношений:

f(z0) = w0, arg f′(z0) = α, z0 Dz, w0 Dw, α R. (3.3)

Существуют и другие условия, обеспечивающие единственность отображения. В частности,

где порядок нумерации точек выбирается в соответствии с положительным направлением обхода границ ∂Dz и ∂Dw.

22

3. Общие вопросы теории конформных отображений

Далее рассмотрим случай двусвязных областей Dz C, границы которых не вырождаются в точки. Каждую такую область можно конформно отобразить на концентрическое кольцо R1 < |w| < R2 с фиксированным отношением радиусов: µ = R2/R1. Число µ называют модулем двусвязной области Dz.

Один из наиболее важных классов отображений, использующихся при решении задач, задается дробно-линейной функцией

где a, b, c, d – некоторые комплексные числа. При выполнении условия ad − bc ≠ 0 отображение w = F (z) не вырождается в константу. Дробно-линейная функция может быть определена для всех точек расширенной комплексной плоскости, если положить

()

Прежде чем переходить к рассмотрению свойств дробнолинейных отображений, остановимся на некоторых понятиях теории конформных отображений.

Определение 3.2. Точка z0 называется неподвижной точкой отображения w = f(z), если выполнено условие f(z0) = z0.

Определение 3.3. Двойным (ангармоническим) отношением четырех комплексных чисел A, B, C, D называется число

Определение 3.4. Точки z и z называются симметричными относительно некоторой прямой, если эта прямая перпендикулярна отрезку, соединяющему точки z и z , и проходит через его середину.

23

3. Общие вопросы теории конформных отображений

Определение 3.5. Точки z и z называются симметричными относительно окружности γ = {z C : |z − z0| = R}, если они лежат на одном и том же луче, выходящем из центра z0 этой окружности, и произведение расстояний между этим точками и центром окружности равно квадрату ее радиуса R.

Нетрудно найти общую формулу для вычисления точки z , симметричной точке z относительно окружности γ. Имеем:

Центру окружности z0 симметрична бесконечно удаленная точка z = ∞.

Перечислим основные свойства дробно-линейных преобразований.

1.Отображение, осуществляемое функцией (3.6), является конформным на всей расширенной комплексной плоскости.

2.Совокупность всех дробно-линейных отображений образует группу, если за групповую операцию принять композицию отображений.

3.Дробно-линейное отображение, отличное от тождественного w = z, имеет не более двух неподвижных точек.

24

3.Общие вопросы теории конформных отображений

4.Дробно-линейное отображение сохраняет двойное (ангармоническое) отношение четырех комплексных чисел A, B, C, D.

5.Образом окружности или прямой при дробно–линейном отображении является окружность или прямая.

6.Дробно-линейное отображение переводит пару точек,

симметричных относительно окружности или прямой, в пару точек, симметричных относительно образа этой окружности или прямой.

Приведем некоторые примеры. Конформное отображение верхней полуплоскости Im z > 0 на единичный круг Kw = {wC : |w| < 1} имеет вид

В свою очередь, конформное отображение единичного круга Kz = {z C : |z| < 1} на единичный круг Kw = {w C : |w| < 1} выглядит следующим образом

Из теоремы Римана 3.4 следует, что соотношения (3.11) и (3.12) дают общий вид конформных отображений верхней полуплоскости на единичный круг и единичного круга на единичный круг соответственно.

Существует единственное дробно-линейное преобразование, переводящее три попарно различные точки z1, z2, z3 C в три попарно различные точки w1, w2, w3 C. Используя свойство сохранения ангармонического отношения, это преобразование можно записать в виде

25

3.Общие вопросы теории конформных отображений

Вчастности, дробно-линейное преобразование с двумя конечными неподвижными точками z1 ≠ z2 определяется

В заключение необходимо отметить, что при построении конформных отображений с использованием многозначных функций необходимо каким-либо условием выделить однозначную ветвь. Если в рассматриваемой области это невозможно, то данная многозначная функция не применима.

Рассмотрим примеры, которые нам потребуются в дальнейшем.

√

Главная ветвь функции z отображает плоскость с разрезом вдоль луча Im z = 0, Re z > 0 на верхнюю полуплоскость Im w >

> 0, а вторая ветвь переводит эту же плоскость с разрезом на

√

нижнюю полуплоскость Im w < 0. Первая (главная) ветвь z(1)

√

выделяется, например, таким условием 1(1) = 1, для второй

√ √

ветви z(2) имеем 1(2) = −1. Главная ветвь g1(z) функции,

√

обратной к функции Жуковского, g(z) = z + z2 − 1 отображает плоскость с разрезом вдоль отрезка Im z = 0, −1 ≤ Re z ≤ 1 на внешность единичного круга Λw = {w C : |w| > 1}, а вторая ветвь g2(z) – на внутренность того же единичного круга Kw = {w C : |w| < 1}. В указанной области можно положить

g1(∞) = ∞, g2(∞) = 0. В дальнейшем мы будем использовать

√

главные ветви для таких многозначных функций как z, Ln z, отдельно не оговаривая этот факт.

Задача 3.1. Найти общий вид конформного отображения расширенной комплексной плоскости C на расширенную комплексную плоскость C.

Решение. Обозначим искомое отображение w = f(z). В силу однолистности конформного отображения существует единственная точка z0 C, такая что f(z0) = ∞. Следовательно, точка z0 является полюсом первого порядка функции f(z), а

26

3. Общие вопросы теории конформных отображений

главная часть разложения в ряд Лорана имеет вид

Других полюсов у функции f(z) нет, поэтому разность f(z)−L(z) будет целой и ограниченной функцией в C. Пользуясь теоремой Лиувилля, получаем f(z) − L(z) = const. Таким образом, все конформные отображения расширенной комплексной плоскости C на расширенную комплексную плоскость C исчерпываются дробно–линейными f(z) = F (z), где функция F (z) задается формулой (3.6). В случае z0 = ∞ необходимо положить c = 0.

Задача 3.2. Найти общий вид конформного отображения верхней полуплоскости Im z > 0 на себя Im w > 0.

Решение. Верхняя полуплоскость является односвязной областью расширенной комплексной плоскости C с границей, состоящей более чем из одной точки. Следовательно, по теореме Римана 3.4 такое отображение существует. Пусть w = f(z) искомое отображение. Зададим на действительной оси три точки x1, x2, x3. Построим дробно-линейное преобразование, переводящее эти три точки в некоторые три точки u1, u2, u3, также лежащие на вещественной оси. Используя формулу (3.13), получим:

где a, b, c, d R. Отображение w = f(z) при произвольных вещественных значениях параметров a, b, c, d переводит

27

3. Общие вопросы теории конформных отображений

вещественную ось Im z = 0 на вещественную ось Im w = 0. Осталось найти условие, при котором верхняя полуплоскость отображается на себя. Будем следить за направлением обхода. При изменении значений x от −∞ до +∞ функция f(x) должна возрастать. Следовательно,

Согласно теореме Римана и условию нормировки (3.5), мы получили общий вид искомого преобразования

Решение. Функция ξ = iz отображает правую полуплоскость Re z > 0 на верхнюю Im ξ > 0. При этом точка b переходит в

точку ib. В свою очередь, функция η = w − 2 переводит круг

2

|w−2| < 2 на единичные круг |η| < 1. Пользуясь формулой (3.11), отобразим верхнюю полуплоскость Im ξ > 0 на единичный круг |η| < 1 так, чтобы точка ib перешла в точку η = 0. Получим:

Подставим в это выражение преобразования ξ и η. Тогда

28

3. Общие вопросы теории конформных отображений

Вычисляя производную левой и правой частей равенства (3.21) в точке z = b, найдем

Заметим, что b + b – вещественное положительное число, поскольку Re b > 0. Тогда arg w′(b) = α. Пользуясь условием задачи, положим α = γ. Следовательно, искомое преобразование можно записать в виде

полуплоскости Im z > 0 на себя Im w > 0 такое, что точка a (Im a > 0) переходит в точку b (Im b > 0) и arg w′(a) = γ (γ R).

Решение. Отобразим каждую из полуплоскостей на единичный круг |ξ| < 1 так, чтобы точки a и b переходили в точку ξ = 0. Воспользовавшись формулой (3.11), имеем:

где β = α1 − α2. Вычислим производные левой и правой частей этого равенства в точке z = a. Учитывая соотношение w(a) = b, получим:

29

3. Общие вопросы теории конформных отображений

Тогда arg w′(a) = β, и нам необходимо положить β = γ. Искомое преобразование выглядит следующим образом:

Задача 3.5. Найти конформное отображение единичного круга

чтобы отобразить единичный круг |z| < 1 на себя |ξ| < 1, а точку

12 в начало координат ξ = 0. Получим

Отобразим круг |w + 2| < 2 на единичный круг так, чтобы точка

Вычислим производные левой и правой частей этого равенства

30