Демина Геометрические принтсипы теории функтсиы комплексного 2015

4. Принцип симметрии

Решение. Воспользуемся принципом симметрии. С этой целью разобьем исходную область на две симметричные подобласти,

Функция w2 = ew1 отображает полученную область на полукруг (рис. 4.12). Образом отрезка L является отрезок:

41

4. Принцип симметрии

Im w2 = 0, −e−a < Re w2 < −e−b. Продолжая функцию через этот отрезок, видим, что аналитическое продолжение функции w2 = eiz отображает исходную область на единичный круг с разрезами Im w2 = 0, −1 ≤ Re w2 ≤ −e−a и Im w2 = 0, −e−b ≤

Im w3 = 0, −∞ < Re w3 ≤ −ch b и Im w3 = 0, −ch a ≤ Re w3 < +∞ (рис. 4.14). Дробно-линейное преобразование

переводит область, изображенную на рис. 4.14, на плоскость с разрезом вдоль вещественной положительной полуоси. Остается применить отображение w = √w4. Окончательно имеем

√

При решении некоторых задач оказывается удобным применить принцип симметрии несколько раз. Рассмотрим пример.

42

4. Принцип симметрии

Задача 4.3. Найти какое-либо конформное отображение плоскости с разрезами вдоль отрезков Im z = 0, −1 ≤ Re z ≤ 1, z = (1 − i)t, −1 ≤ t ≤ 1 и z = (1 + i)t, −1 ≤ t ≤ 1 на внешность единичного круга Λw = {w C : |w| > 1} (рис. 4.15).

Решение. Разрез L1, проведенный вдоль лучей Im z = 0, Re z ≤ −1 и Im z = 0, Re z ≥ 1, разбивает исходную область на две симметричные подобласти. Выберем одну из подобластей (рис. 4.16).

Отображение w1 = z2 переводит область, изображенную на рис. 4.16, на плоскость с разрезами (рис. 4.17). Образы линии L1 обозначаются тем же символом. Проведем еще

43

4. Принцип симметрии

один вспомогательный разрез по вещественной отрицательной полуоси. Этот разрез и его образы будем обозначать символом L2. Одну из получившихся подобластей (рис. 4.18) отображение

w2 = w12 переводит на плоскость с разрезом, представленную на рис. 4.19. √

Далее применим отображение w3 = w2 + 4, преобразующее область рис. 4.19 на верхнюю полуплоскость (рис. 4.20). Функция w3 удовлетворяет всем условиям принципа симметрии и, следовательно, может быть аналитически продолжена через луч L2 в нижнюю полуплоскость. В результате мы получим плоскость с разрезом вдоль луча Im w3 = 0, Re w3 ≥ −2 (рис. 4.21).

плоскость с разрезом на верхнюю полуплоскость (рис. 4.22). Повторно пользуясь принципом симметрии, аналитически продолжим функцию

44

переводит рассматриваемую область на плоскость с разрезом вдоль единичного отрезка Im w5 = 0, −1 ≤ Re w5 ≤ 1.

Далее, как и в примере 4.1, воспользуемся функцией,

√

обратной к функции Жуковского, w = w5 + w52 − 1, w|w5=∞ = = ∞, переводящей внешность единичного отрезка на внешность

В отдельных случаях при построении конформных отображений исходную область требуется разрезать на несколько частей. Например, в задаче 4.3 можно было бы провести в дополнение к разрезу вдоль вещественной отрицательной полуоси еще один разрез по мнимой оси. Затем отобразить первый квадрант с разрезом по отрезку z = (1 + + i)t, 0 ≤ t ≤ 1 на область |w| > 1, Re w > 0, Im w > 0 и воспользоваться принципом симметрии. Рассмотрим пример, требующий разделения исходной области на бесконечное число подобластей.

45

4. Принцип симметрии

Рис. 4.23

Задача 4.4. Найти какое-либо конформное отображение верхней полуплоскости с разрезами вдоль отрезков Re z = π2 + + πk, 0 ≤ Im z ≤ a, k Z, на верхнюю полуплоскость Im w > 0 (рис. 4.23).

LL

46

4. Принцип симметрии

полуполос (рис. 4.24). Вспомогательные разрезы, а также их образы обозначены символом L. Отобразим эту полуполосу на себя так, чтобы лучи L перешли в лучи Re z = π2 ,

Im z ≥ 0 и Re z = −π , Im z ≥ 0. Далее, воспользовавшись неограниченное число 2раз принципом симметрии, нетрудно убедиться, что полученное отображение переводит исходную область на верхнюю полуплоскость.

полуполосу рисунка 4.26 на единичный полукруг (рис. 4.27). Затем, применяя функцию Жуковского и совершая поворот на

отображение полуполосы рис. 4.24 на верхнюю полуплоскость. Значит, обратная функция при соответствующем выборе ветви отображает верхнюю полуплоскость на полуполосу рис. 4.24. Осталось осуществить растяжение: w4 = chw3a (рис. 4.29).

47

4. Принцип симметрии

плоскости с разрезами вдоль лучей Im z = 0, Re z ≤ −1, Im z = 0; Re z ≥ 1; Re z = 0, Im z ≤ −1, Re z = 0; Im z ≥ 1 на внешность единичного круга Λw = {w C : |w| > 1}.

плоскости с разрезами вдоль единичной полуокружности z = = eiφ, −π ≤ φ ≤ π и лучей Im z = 0, Re z ≤ −1; Im z = 0,

Re z ≥ 1 на верхнюю полуплоскость Im w > 0.

= {w C : |w| < 1}.

48

5. Конформные отображения многоугольников

5.Конформные отображения многоугольников

Пусть на плоскости w задан многоугольник P с вершинами A1, . . ., An. Согласно следствию к теореме Римана существует конформное отображение верхней полуплоскости Im z > 0 на этот многоугольник. Множество таких отображений задается интегралом Кристоффеля – Шварца.

Теорема 5.1 (Теорема Кристоффеля–Шварца). Если функция w = f(z) реализует конформное отображение верхней полуплоскости Im z > 0 на внутренность ограниченного многоугольника P с углом παk (0 < αk 6 2) при вершине Ak, причем прообразом вершины Ak является точка ak действительной оси (k = 1 . . . n), то отображающая функция f(z) имеет вид

∫ z ∏n

z0 j=1

где c1, c2, z0 (Im z0 ≥ 0) — некоторые константы, а интеграл берется вдоль любой кусочно-гладкой кривой, соединяющей точки z0 и z. Нумерация точек Ak и ak (k = 1 . . . n) задается в порядке положительного обхода многоугольника P и верхней полуплоскости Im z > 0 соответственно.

Выражение (5.1) называют интегралом Кристоффеля– Шварца. В отдельных случаях из соображений сходимости интеграла в формуле (5.1) необходимо дополнительно потребовать z0 ≠ ak. Пользуясь формулой для суммы углов многоугольника, можно получить соотношение

∑n

k=1

49

5. Конформные отображения многоугольников

связывающее параметры α1, . . ., αn.

Интеграл Кристоффеля–Шварца (5.1) в явном виде содержит прообразы вершин многоугольника, т.е. точки a1, . . ., an. Однако на практике, как правило, известны сами вершины A1, . . ., An, а точки a1, . . ., an подлежат определению. Согласно условию (3.5), выделяющему единственный конформный изоморфизм односвязных областей, три точки, например a1, a2, a3, можно выбрать произвольно. Оставшиеся параметры a4, . . ., an, c1, c2 единственным образом определяются из условий задачи. При этом параметр z0 можно считать фиксированным, поскольку изменение значения z0 приводит к изменению значения параметра c2.

Формулу Кристоффеля–Шварца нетрудно обобщить на случаи, когда одна (или несколько) вершин многоугольника уходят на бесконечность или среди прообразов вершин многоугольника имеется бесконечно удаленная точка. В первом случае формула (5.1) не меняется, но под углом при вершине, находящейся на бесконечности, понимается угол в конечной точке пересечения прилегающих к данной вершине сторон многоугольника, взятый со знаком минус. При этом равенство (5.2) остается справедливым, однако величины {αk} теперь попадают в диапазон: −2 ≤ αk ≤ 2. Для вычисления углов при вершинах, уходящих на бесконечность, оказывается полезным

использование преобразования η = w1 , переводящего бесконечно удаленную точку в начало координат. В силу конформности любого дробно-линейного отображения на всей расширенной комплексной плоскости C преобразование η = w1 сохраняет углы между кривыми. Останется учесть специфику выбора знака для таких углов.

Пусть теперь an = ∞. Тогда интеграл Кристоффеля–Шварца

50