Демина Геометрические принтсипы теории функтсиы комплексного 2015

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

М.В. Демина

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Рекомендовано к изданию УМО «Ядерные физика и технологии»

Москва 2015

Оглавление

1.Приращение аргумента аналитической функции

4.Принцип симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.Конформные отображения многоугольников . . . 49

6.Решение двумерных краевых задач

3

Предисловие

Геометрическая теория функций комплексного переменного изучает классы функций, определяемые какими–либо геометрическими свойствами, и наоборот, геометрические свойства различных классов функций. Например, одной из задач геометрической теории является исследование существования и единственности конформного отображения некоторой области на другую, включающее в себя нахождение классов функций, осуществляющих такие отображения.

В учебном пособии большое внимание уделяется применению принципа симметрии и формулы Кристоффеля–Шварца при построении конформных отображений, подробно рассматриваются задачи распределения нулей однозначных функций и многочленов, играющие большую роль в теории устойчивости решений дифференциальных уравнений и систем, описывается метод решения ряда задач математической физики, основанный на построении некоторого конформного отображения для заданной области.

Предполагается, что читатели знакомы с ключевыми понятиями теории функций комплексного переменного, такими как область, аналитическая функция, кривая Жордана и т.п.

4

1.Приращение аргумента аналитической функции вдоль кривой

1.Приращение аргумента аналитической функции вдоль кривой

Пусть γ — ориентированная гладкая или кусочно-гладкая кривая. Рассмотрим функцию f(z), аналитическую и не обращающуюся в нуль на γ. Приращением аргумента функции f(z) вдоль кривой γ называют число

∫

С геометрической точки зрения приращение аргумента функции f(z) вдоль кривой γ представляет собой угол поворота вектора w = f(z) от начальной точки f(a) до конечной f(b), где a

— начальная точка кривой γ, b — конечная. Напомним, что функция f(z) является аналитической на некоторой кривой γ, если найдется такая область D C, целиком содержащая эту кривую, что функция f(z) будет аналитична в области D.

При практическом подсчете приращений аргумента удобно использовать следующее утверждение.

Утверждение 1.1. Для функций f1(z) и f2(z), аналитических и не обращающихся в нуль на ориентированной гладкой или кусочно-гладкой кривой γ, справедливы равенства

Рассмотрим примеры.

5

1. Приращение аргумента аналитической функции вдоль кривой

Приращение ∆γ arg z равняется углу поворота вектора z от начальной точки i до конечной −1. Другими словами, ∆γ arg z = = π2 . Аналогично приращение ∆γ arg(z − 1) равняется углу поворота вектора z − 1, когда точка z пробегает по кривой γ от начальной точки до конечной. Начальное и конечное положения вектора z − 1 изображены на рис. 1.1. Тогда ∆γ arg(z − 1) = = π4 . Соответствующий угол на рис. 1.1 обозначен символом β. Окончательно получаем

6

1. Приращение аргумента аналитической функции вдоль кривой

Рис. 1.2

Решение. Раскладывая числитель функции f(z) на множители и используя соотношения (1.2), (1.3), получаем:

∆γ arg f = ∆γ arg(z + 2i) + ∆γ arg(z − 2i) − 2∆γ arg(z − 1).

Кривая γ представляет собой дугу эллипса (см. рис. 1.2). Углы поворота векторов z −2i, z + 2i, z −1, когда точка z пробегает по кривой γ от начальной точки до конечной, на рис. 1.2 обозначены

Ответ: ∆γ arg f = π.

Ответ: ∆γ arg f = 0.

7

2.Принцип аргумента и распределение нулей

2.Принцип аргумента и распределение нулей

Сприкладной точки зрения большой интерес представляет задача об исследовании расположения на комплексной плоскости нулей некоторой функции f(z).

Теорема 2.1 (Принцип аргумента). Пусть функция f(z)

аналитична в замыкании области D за исключением, быть может, конечного числа полюсов, расположенных в D, и не обращается в нуль на границе ∂D области D, представляющей собой замкнутую гладкую или кусочногладкую кривую Жордана. Тогда разность между числом нулей Nf, D и числом полюсов Pf, D функции f в области D равна алгебраическому числу оборотов, которые совершает вектор w = f(z) вокруг точки w = 0 при обходе точкой z кривой ∂D один раз в положительном направлении.

Заметим, что число нулей необходимо считать с учетом их кратностей, а число полюсов — с учетом порядков. В каждой точке кривой ∂D определены значения аргумента функции f, поскольку функция аналитична и не обращается в нуль на кривой ∂D. Алгебраическое число оборотов, о котором идет речь в этой теореме, равно деленному на 2π приращению аргумента функции f при обходе точкой z кривой ∂D один раз в положительном направлении. Таким образом, утверждение теоремы 2.1 можно записать в виде

Теорема 2.2 (Теорема Руше). Пусть функции f(z), g(z)

аналитичны в замыкании области D, и на границе ∂D, представляющей собой замкнутую гладкую или кусочногладкую кривую Жордана, выполнено неравенство |f(z)| > > |g(z)|. Тогда функции f(z) и f(z) + g(z) имеют одинаковое число нулей в области D: Nf,D = Nf+g,D.

8

2. Принцип аргумента и распределение нулей

Из теоремы Руше непосредственно следует справедливость основной теоремы алгебры.

Теорема 2.3 (Основная теорема алгебры).

Любой многочлен степени n имеет на комплексной плоскости ровно n нулей с учетом их кратностей.

Задача 2.1. Найти количество нулей многочлена P (z) = z8 + + 2z5 + 5z − 1 в круге K1 = {z C : |z| < 1}.

Решение. Представим многочлен P (z) в виде P (z) = f(z) + + g(z), где f(z) = 5z, g(z) = z8 + 2z5 − 1. Тогда на окружности z = eiφ, φ [0, 2π) справедливы соотношения: |f(eiφ)| = 5,

|g(eiφ)| ≤ |e8iφ| + |2e5iφ| + 1 = 4. Таким образом, |f(eiφ)| > > |g(eiφ)|. Многочлен f(z) = 5z в круге K1 имеет один простой нуль: Nf, K1 = 1. Согласно теореме Руше, количества нулей многочленов P (z) и f(z) в круге K1 совпадают. Окончательно имеем NP, K1 = Nf, K1 = 1.

Задача 2.2. Найти количество нулей многочлена P (z) = = z5 − 2z4 − 2z3 + z2 + 7z − 3 в круге K = {z C : |z − 1| < 1}.

Решение. Для удобства дальнейших вычислений сделаем замену s = z − 1. Тогда задача нахождения нулей многочлена P (z) в круге K сводится к задаче нахождения нулей многочлена Q(s) = P (s + 1) в круге S = {s C : |s| < 1}. Многочлен Q(s) выглядит следующим образом: Q(s) = s5 +3s4 −7s2 +2. Разобьем многочлен Q(s) на сумму двух многочленов Q(s) = f(s) + g(s), где f(s) = −7s2, g(s) = s5 + 3s4 + 2. На окружности s = eiφ, φ [0, 2π) имеют место соотношения: |f(eiφ)| = | − 7e2iφ| = 7,

|g(eiφ)| ≤ |e5iφ|+|3e4iφ|+2 = 6. Следовательно, |f(eiφ)| > |g(eiφ)|. Многочлен f(s) = −7s2 в круге S имеет один нуль кратности два: Nf, S = 2. Воспользуемся теоремой Руше, получим NQ, S =

= Nf, S = 2. Тогда NP, K = NQ, S = 2.

9

2. Принцип аргумента и распределение нулей

Решение. Сначала найдем число нулей многочлена P (z) в

круге K2 = {z C : |z| < 2}. Представим многочлен P (z) в

виде: P (z) = f1(z)+g1(z), где f1(z) = z5, g1(z) = −z3 +2z2 −z+6. На окружности z = 2eiφ, φ [0, 2π) справедливы соотношения:

|f1(2eiφ)| = |25e5iφ| = 32, |g1(2eiφ)| ≤ |23e3iφ|+|23e2iφ|+|2eiφ|+6 =

=24. Следовательно, |f1(2eiφ)| > |g1(2eiφ)|. Многочлен f1(z) =

=z5 в круге K2 имеет один нуль кратности пять: Nf1, K2 = 5. По теореме Руше находим NP, K2 = Nf1, K2 = 5. Далее рассмотрим круг K1 = {z C : |z| < 1}. Определим, сколько нулей многочлена P (z) попадает в круг K1. Разбивая многочлен P (z)

следующим образом: P (z) = f2(z) + g2(z), где f2(z) = 6, g1(z) = = z5 − z3 + 2z2 − z, находим |f2(eiφ)| = 6, |g2(eiφ)| ≤ |e5iφ| + + |e3iφ| + |2e2iφ| + |eiφ| = 5, φ [0, 2π). Тогда |f2(eiφ)| > |g2(eiφ)|.

Многочлен f2(z) = 6 вообще не имеет нулей. Следовательно, по теореме Руше в круге K1 нет нулей многочлена P (z). Таким образом, все пять нулей многочлена P (z) находятся в кольце G:

NP, G = NP, K2 − NP, K1 = 5.

Задача 2.4. Доказать, что многочлен P (z) = azn + z − 1, где n ≥ 2 — целое число, a C, a ≠ 0 имеет хотя бы один нуль в

10