Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекция_5

.pdf
Скачиваний:
11
Добавлен:
07.11.2022
Размер:
727.38 Кб
Скачать

Лекция 5. Физические компоненты векторов

1. По определению дифференциала радиус-вектора:

dr

r

dq e

dq e*

H

 

dq

(108)

q

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому скорость материальной точки в криволинейной системе координат примет вид:

 

v

dr

H

 

q e

.

(109)

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Величины q называются обобщенными скоростями.

Следует отметить,

что в нормированном на единицу базисе мы имеем дело с физическими компонентами векторов. В данном случае они равны vф H q .

Физические компоненты скорости всегда имеют размерность [длина/время].

Найдем теперь выражения для физических компонент векторов

скорости и ускорения в ортогональных координатах. Из (109) следует, что

 

 

v

 

r

 

(110)

 

q

q

 

 

 

Проекции скорости на оси координат определяют ее ковариантные компоненты

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

ve

v

1 r

v

1

 

v

 

1

 

v2 / 2

 

.

(111)

 

 

 

q

 

 

 

q

 

 

q

 

ф

 

 

H

 

 

 

H

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ускорением материальной точки называется производная по времени от вектора скорости:

w

dv

.

(112)

 

 

dt

 

Ковариантные проекции ускорения имеют вид:

w ф we

 

dv 1 r

 

1 d

v

 

1

 

d r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

v

 

 

 

 

.

(113)

 

 

 

 

 

 

 

q

 

H

dt q

 

 

 

dt H q

 

H dt

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая, что

d r

 

dr

 

v

,

(114)

 

 

 

 

 

 

 

dt q

q dt

q

 

 

 

 

получим

 

 

1

 

d v

2

/ 2

 

 

v

2

/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

.

(115)

 

 

 

 

q

 

q

 

ф

 

H

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Рассмотрим скорость и ускорение в произвольной криволинейной системе координат, в том числе и в неортогональной. Причем теперь получим выражения для компонент скорости и ускорения через компоненты метрического тензора. Учитывая теперь определение скорости, получим контравариантные компоненты вектора скорости

v

dq

: v v e

(116)

 

 

dt

 

 

 

 

 

Ковариантные компоненты скорости определяются с помощью метрического тензора

v g

 

v

.

(117)

 

 

 

 

В формулах (116) и (117) компоненты не физические, а геометрические.

Ускорение по определению равно

 

dv

 

 

d

d v

 

 

 

 

d

 

w

 

 

 

 

 

v e

 

 

 

e v

 

e .

(118)

dt

dt

 

dt

dt

Контравариантные компоненты ускорения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w we

d v

e e e v

de

 

 

d v

 

e v

de

.

(119)

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

dt

 

 

dt

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вспоминая определение символов Кристоффеля, получим

 

 

 

 

 

 

 

d v

 

 

 

 

 

 

 

 

e dq

 

d v

 

 

 

 

 

 

 

dq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

e

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v e

 

 

e

 

 

 

 

 

.

(120)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

Итак, контравариантная компонента ускорения равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2 x

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично можно получить ковариантную компоненту ускорения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

d v

 

 

 

 

dq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(121)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 18. Получите формулу (121).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d v

 

 

 

 

 

d 2q

Так как v

 

dt ,

то в формуле (121) нельзя

 

 

 

 

 

заменить

 

. В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

dt 2

прямоугольной

 

декартовой

 

 

 

 

системе

 

 

координат

 

 

 

0 ,

поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

d 2q

,

w

d v

. В ортогональных криволинейных системах координат

 

 

 

dt2

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

метрический тензор диагональный. В таком случае компоненты скорости и ускорения выражаются только через коэффициенты Ламе H g и

возможно введение физических компонент векторов.

Задание 19. Для криволинейных координат из задания 16 найти выражения

для скорости и ускорения.

3. Векторное произведение в криволинейных координатах. Как мы видели ранее, векторное произведение в декартовых координатах имеет вид

(61.1)

a b a b e .

Перейдем теперь к штрихованным криволинейным координатам. Согласно

(77) имеем

e

r

 

r q

 

q

e

 

 

.

(122)

 

 

 

 

 

 

 

x

 

q

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это и есть закон преобразования базисных векторов (38). Ковариантные

компоненты векторов a и b тогда преобразуются с помощью матрицы с

q

компонентами x :

a

a

 

q

,

b

b

 

q .

(123)

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

Сравните эти соотношения с (55). Учитывая (122) и (123), перепишем (61.1) в

виде

 

 

a b

q q

q

a

b

e

.

 

 

 

 

(124)

 

 

x

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С учетом (60) и (99), можно записать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q q q

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

det

x

 

 

 

 

J

 

 

 

 

.

(125)

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

Поэтому выражение для векторного произведения в криволинейных координатах имеет вид:

 

 

a b

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

e1

e2

 

e3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b e

 

 

 

 

a

a

 

 

a

.

 

 

 

 

 

 

 

(126)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

g

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

b

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В ортогональных координатах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e1

 

 

 

e2

 

e3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

e

 

 

e

 

 

H1

 

 

H2

H3

 

 

e

*

 

e

*

e

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

a1

 

 

 

a2

 

a3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

a b

 

 

a

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

 

a

 

.

(127)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ф

 

 

H1H2 H3

 

1

 

2

 

3

 

H1

 

 

H2

H3

 

 

1ф

 

3ф

 

 

 

 

b

b

b

 

 

 

 

 

b

 

 

b

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

3

 

 

b1

 

 

 

b2

 

b3

 

 

1ф

2ф

3ф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H1

 

 

H2

H3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 20. Определить компоненты секторной скорости

12 r v

вцилиндрической системе координат.

Задание 21. Доказать, что в цилиндрических координатах компонента

ускорения w и компонента секторной скорости z удовлетворяют соотношению

w 2 d z .dt

Задание 22. Частица движется в плоскости z 0 по траектории с

постоянной секторной скоростью . Вывести формулы Бине для скорости и ускорения частицы:

 

 

 

 

 

d

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

v 2

0

e

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

,

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

4 2

 

d 2

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e .

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в предмете Векторный и тензорный анализ