Лекция_5
.pdfЛекция 5. Физические компоненты векторов
1. По определению дифференциала радиус-вектора:
dr |
r |
dq e |
dq e* |
H |
|
dq |
(108) |
q |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому скорость материальной точки в криволинейной системе координат примет вид:
|
v |
dr |
H |
|
q e |
. |
(109) |
|
|
||||||
|
|
dt |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Величины q называются обобщенными скоростями. |
Следует отметить, |
что в нормированном на единицу базисе мы имеем дело с физическими компонентами векторов. В данном случае они равны vф H q .
Физические компоненты скорости всегда имеют размерность [длина/время].
Найдем теперь выражения для физических компонент векторов
скорости и ускорения в ортогональных координатах. Из (109) следует, что |
|
||||
|
v |
|
r |
|
(110) |
|
q |
q |
|||
|
|
|
Проекции скорости на оси координат определяют ее ковариантные компоненты
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
v |
ve |
v |
1 r |
v |
1 |
|
v |
|
1 |
|
v2 / 2 |
|
. |
(111) |
|||||
|
|
|
q |
|
|
|
q |
|
|
q |
|
||||||||
ф |
|
|
H |
|
|
|
H |
|
|
|
H |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ускорением материальной точки называется производная по времени от вектора скорости:
w |
dv |
. |
(112) |
|
|||
|
dt |
|
Ковариантные проекции ускорения имеют вид:
w ф we |
|
dv 1 r |
|
1 d |
v |
|
1 |
|
d r |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
. |
(113) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
H |
dt q |
|
||||||||||||
|
|
dt H q |
|
H dt |
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что
d r |
|
dr |
|
v |
, |
(114) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dt q |
q dt |
q |
|||||||||
|
|
|
|
получим
|
|
1 |
|
d v |
2 |
/ 2 |
|
|
v |
2 |
/ 2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
w |
|
|
|
|
|
|
. |
(115) |
||||||||||
|
|
|
|
q |
|
q |
|
|||||||||||
ф |
|
H |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Рассмотрим скорость и ускорение в произвольной криволинейной системе координат, в том числе и в неортогональной. Причем теперь получим выражения для компонент скорости и ускорения через компоненты метрического тензора. Учитывая теперь определение скорости, получим контравариантные компоненты вектора скорости
v |
dq |
: v v e |
(116) |
|
|||
|
dt |
|
|
|
|
|
Ковариантные компоненты скорости определяются с помощью метрического тензора
v g |
|
v |
. |
(117) |
|
|
|
|
В формулах (116) и (117) компоненты не физические, а геометрические.
Ускорение по определению равно
|
dv |
|
|
d |
d v |
|
|
|
|
d |
|
||||||
w |
|
|
|
|
|
v e |
|
|
|
e v |
|
e . |
(118) |
||||
dt |
dt |
|
dt |
dt |
|||||||||||||
Контравариантные компоненты ускорения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
w we |
d v |
e e e v |
de |
|
|
d v |
|
e v |
de |
. |
(119) |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
dt |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вспоминая определение символов Кристоффеля, получим
|
|
|
|
|
|
|
d v |
|
|
|
|
|
|
|
|
e dq |
|
d v |
|
|
|
|
|
|
|
dq |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v e |
|
|
e |
|
|
|
|
|
. |
(120) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|||||||
Итак, контравариантная компонента ускорения равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 x |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Аналогично можно получить ковариантную компоненту ускорения |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
d v |
|
|
|
|
dq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(121) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задание 18. Получите формулу (121). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
dq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d v |
|
|
|
|
|
d 2q |
||||
Так как v |
|
dt , |
то в формуле (121) нельзя |
|
|
|
|
|
заменить |
|
. В |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
dt 2 |
||
прямоугольной |
|
декартовой |
|
|
|
|
системе |
|
|
координат |
|
|
|
0 , |
поэтому |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
d 2q |
, |
w |
d v |
. В ортогональных криволинейных системах координат |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dt2 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
метрический тензор диагональный. В таком случае компоненты скорости и ускорения выражаются только через коэффициенты Ламе H g и
возможно введение физических компонент векторов.
Задание 19. Для криволинейных координат из задания 16 найти выражения
для скорости и ускорения.
3. Векторное произведение в криволинейных координатах. Как мы видели ранее, векторное произведение в декартовых координатах имеет вид
(61.1)
a b a b e .
Перейдем теперь к штрихованным криволинейным координатам. Согласно
(77) имеем
e |
r |
|
r q |
|
q |
e |
|
|
. |
(122) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
q |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это и есть закон преобразования базисных векторов (38). Ковариантные
компоненты векторов a и b тогда преобразуются с помощью матрицы с
q
компонентами x :
a |
a |
|
q |
, |
b |
b |
|
q . |
(123) |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
||
|
|
|
|
Сравните эти соотношения с (55). Учитывая (122) и (123), перепишем (61.1) в
виде
|
|
a b |
q q |
q |
a |
b |
e |
. |
|
|
|
|
(124) |
|||||||
|
|
x |
x |
x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
С учетом (60) и (99), можно записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
q q q |
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
x |
|
det |
x |
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
. |
(125) |
||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
Поэтому выражение для векторного произведения в криволинейных координатах имеет вид:
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
e1 |
e2 |
|
e3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
a b e |
|
|
|
|
a |
a |
|
|
a |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(126) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
g |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В ортогональных координатах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 |
|
|
|
e2 |
|
e3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
e |
e |
|
|
e |
|
|
H1 |
|
|
H2 |
H3 |
|
|
e |
* |
|
e |
* |
e |
* |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
a2 |
|
a3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a b |
|
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
a |
|
. |
(127) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ф |
|
||||||||||||||||||
|
H1H2 H3 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
H1 |
|
|
H2 |
H3 |
|
|
1ф |
|
3ф |
|
|
|||||||||||||||
|
|
b |
b |
b |
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
b1 |
|
|
|
b2 |
|
b3 |
|
|
1ф |
2ф |
3ф |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H1 |
|
|
H2 |
H3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 20. Определить компоненты секторной скорости
12 r v
вцилиндрической системе координат.
Задание 21. Доказать, что в цилиндрических координатах компонента
ускорения w и компонента секторной скорости z удовлетворяют соотношению
w 2 d z .dt
Задание 22. Частица движется в плоскости z 0 по траектории с
постоянной секторной скоростью . Вывести формулы Бине для скорости и ускорения частицы:
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||
v 2 |
0 |
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
, |
||||
d |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
w |
4 2 |
|
d 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e . |
|||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|