Добавил:

Morze Developer Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Файл:

Экзамен / куча теории

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.10.2022

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Билет №6

Вопрос№1

Системы линейных уравнений

6.1 Определенность системы линейных уравнений. Совместность, несовместность

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1

+ a

+ ... + a

= b

21 1

(6.1)

.............................................

+ a

+ ... + a

= b

m1 1

Определение 1) Система (6.1) линейных уравнений называется совместной, если она имеет решения.

Определение 2) Система (6.1) называется несовместной, если она не имеет решений. Определение 3) Система (6.1) называется определенной, если она имеет единственное решение.

Определение 4) Система (6.1) называется неопределенной, если она имеет бесконечно много решений.

a11

a12

...

a1n

a11

a12

...

a1n

a21

a22

...

a2n

a21

a22

...

a2n

Пусть A =

...

... ... ...

;

B =

...

... ... ... ...

am2

...

am2

...

amn

am1

amn

am1

Если к матрице А добавить столбец свободных неизвестных, то получим матрицу В, которая называется

расширенной матрицей системы, а сама матрица А называется матрицей системы.

6.2 Матричная форма записи m линейных уравнений с n неизвестными

x1			b1

x2			b2
Положим: x =	...	;	b =	...	;
	...			...


xn			bm

Тогда система (6.1) переходит в матричное уравнение:

A x = b .

(6.2)

(Система линейных уравнений (6.1) эквивалентна одному матричному уравнению (6.2))

Вопрос №2

. Скалярное произведение векторов и его свойства

Определение:

R R

b = (a,b)

× ПрaRb =

cos(a,b) =

ПрbRa (23.6) – скалярное произведение

R R

aЧb

a^b = arcos R

;Прb =

aЧb

Свойства скалярного произведения:

a b = b a

R R R R

2) (a1 + a2 ) b = a1 b + a2 b

3)(λa) b = λ(a b)

4)(a,a) ≥ 0;(a,a) = 0 a = 0

Величина (a,a) называется скалярным квадратом вектораa . По определению:

a a =

a a

(23.9)

Доказательство 2-го свойства:

) b = ПрR

) b = b

+ b

+ a

ПрR a

= a

b + a

Доказательство 3-го свойства:

ПрR

(λ a) b =

(λa) = λ

(a) = λ(a

Условие ортогональности 2-х векторов:

R	R	R R	π
Если a	b a^b =		π
			2

R^ R R R R R

cos(a b) = 0 a b = 0 . Вывод a b a b = 0 .

Вопрос №3

Расстояние от точки до прямой в пространстве
Дано: точка M1(x1; y1; z1) и прямая L :	x − x0	=	y − y0	=	z − z0	L M0 (x0 ; y0 ; z0 ) ( M0 -одна из
	α		β		γ

точек на прямой L). La = M0 A = {α;β;γ } ( a -направляющий вектор прямой L)

Расстояние от точки M1 до прямой L( ρ(M , L) ) совпадает с высотой ( hM0M1M2 A ) параллелограмма M0M1M2 A (см. рис

45.1), которая равна отношению площади ( SM	M	M	A ) этого параллелограмма и длины основания M0 A. Далее у
0	1	2

параграфов 25,26 и 24 (формула (24.10) имеем (см. также условие 2) векторное произведение.

× M0M1

p(M , L) = h

SM M

0M1M

2 A

|a|

(45.1)

Билет №7

Вопрос№1

Определение обратной матрицы; отсутствие обратной матрицы у вырожденной

n	k
Пусть А= {aij }i=1 j=1 – квадратная матрица.
Определение:	матрица A−1 называется	обратной к матрице А, если выполнено равенство
A−1 × A = A× A−1 = E .		(5.19)

Отметим, что вырожденная матрица обратной иметь не может, ибо если detA=0, то из (5.19) и (5.15) имеем: 1= det E = det(A−1 × A) = det A−1 ×det A = 0 (противоречие).

5.10 Теорема о существовании обратной матрицы и алгоритм её нахождения

Имеет место следующая теорема:

−1

Всякая невырожденная матрица А={aij }i=1

j=1 имеет

обратную матрицу

={aij

}i=1

j=1

элементы которой находят по формуле: aij−1 =

Aji

(5.20)

где

= det A, а Aij – её алгебраические дополнения.

Доказательство теоремы:

A× A

−1

= B

Пусть

= {bij }i=1

j=1 . Тогда:

(5.20)

(5.3)

Ajk

bij = ∑aik ×akj−1 = ∑aik ×

∑aik × Ajk

(5.21)

k=1

Используем далее 11-е и 12-е свойства определителей (см. §2.2 и §2.3). Если i=j, то

bij =

∑aik

× Aik

=1,

(5.22)

k=1

ибо последняя сумма является разложением определителя

по его i-й строке.

В случае i ≠ j будет ∑aik

× Ajk = 0

(5.23)

k=1

(сумма произведений элементов i-й строки на алгебраические дополнения другой j-й строки см. 12-е св-во), и тогда bij = 0, если i ≠ j .

	1,	если	i = j
Сопоставляя (5.22) и (5.23), имеем: bij	=		= δij , т.е. В=Е, и теорема доказана.
	0,	если	i ≠ j

	Равенство	A−1 × A = E читателю предлагается доказать самостоятельно (в этом случае определитель
в равенстве (5.22) будет разлагаться по j-му столбцу).
	Отметим, что определенная формулой (5.20) обратная матрица единственна, ибо если A−1						и	A−1	–
						л		п
такие		матрицы,	что	A−1	× A = E = A× A−1 ,				то
				л		п
A−1	= A−1 × E = A−1 ×(A× A−1) = (A−1 × A)× A−1			= E × A−1 = A−1	, и
л	л	л	л
A−1	= Е × A−1	= (A−1 × А)× A−1	= A−1 ×(A× A−1) = A−1 × Е = A−1		, т.е. A−1	= A−1 = A−1 .
п	п	п	п		л	п
	Покажем также, что
			(A× B)−1	= B−1 × A−1		(5.24)

В самом деле: (B−1 × A−1)×(A× B) = (B−1 ×(A−1 × A))× B = (B−1 × E)× B = B−1 × B = E , и (5.24) доказано.

Итак, мы показали справедливость следующих свойств произведений матриц:

1)(A× B)× C = A× (B × C) ;

2)(A+ B)×C = A×C + B×C и A×(B + C) = A× B + A×C ;

3)(A× B)T = BT × AT ;

4)det(A×B)=detA×detB;

5)A× E = E × A = A ;

6)(A× B)−1 = B−1 × A−1 ;

7)A×0 = 0× A = 0 ;

8)(λA)× B = λ(A× B) = A×(λB) .

Свойства 1) ÷ 6) были доказаны ранее.

Свойство 7) очевидно, ибо если 0=В ={blj }k nj=1 с blj = 0 для любых l и j, то для произведения

l=1

C = A× B = {c }m

имеем:

i=1

j=1

cij = ∑ail

× blj =

∑ail × 0 = 0 для любых i и j, т.е. С=0.

l=1

Покажем свойство 8):

Пусть А = {a }m

; В ={b }k

il i=1 l=1

l=1 j=1

A× B = C = {c

Тогда произведение

∑

×b .

(5.25)

i=1

j=1

l=1

Также: λA = D = {d

с d

= λa

;

(5.26)

i=1 l=1

λB = F = {f

= λb

(5.27)

l=1

j=1

и λC = λ(A× B) = G = {g

= λc .

(5.28)

i=1

j=1

(λA)× B = D× B = H = {h }m

∑

×b

;

(5.29)

i=1

j=1

l=1

A×(λB) = A× F = P = {p }m

∑

× f

(5.30)

ij i=1

j=1

l=1

Из равенства (5.30) имеем:

(5.27)

(5.3)

(5.25)

(5.28)

pij = ∑ail × flj =

∑ail ×λ ×blj = λ∑ail ×blj = λcij = gij ,

l=1

(5.28)

(5.25)

(5.3)

(5.26)

(5.29)

и gij = λcij = λ∑ail ×blj = ∑

(λail )×blj = ∑dil ×blj = hij ,

l=1

т.е. P=G=H, или A×(λB) = λ(A× B) = (λA)× B , и свойство 8) доказано.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Из формулы (5.20), чтобы найти обратную матрицу A−1 , нужно:

1)найти детерминант матрицы А; если он равен нулю, то обратной нет. Если detA ≠ 0, то находим

2)матрицу A~ = {Aij }из алгебраических дополнений;

3)транспонируем эту матрицу A → AT ;

делим на detA, получим матрицу A

−1

всякий элемент матрицы A

A−1 :

Рассмотрим пример: Пусть A =

. Найдем обратную матрицу

detA = –2 ≠ 0;

дополнения:

A11

= M11

= 4 ; A12 = −M12 = −3; A21 = −M21 = −2 ; A22 = M22 =1 и

−3

A =

;

− 2

;

−3

− 2

A−1 =

−3

1.5

− 0.5

− 2

Вопрос №2

ыапыыыыыыыыыыыыыы

Вопрос №3

Эллиптический параболоид

Определение 47.4. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению:

z =	x2	+	y2	(47.24)
z =	a2	+	b2	(47.24)
	a2		b2
z				Эллипс
z

		Эллипс
y
		Парабола
x		Парабола
Рис 47.10	Рис.47.11	Рис.47.12

Общий вид эллиптического параболоида изображён на рис.47.10, при этом начало координат (для уравнения (47.24)) будет вершиной параболоида, а ось аппликат OZ (являющаяся его осью симметрии, что легко

проверить, ибо если точка M0 (x0 , y0 , z0 ) лежит на эллиптическом параболоиде, т.е. её координаты

x0, y0, z0 удовлетворяют уравнению (47.24), то и координаты симметричной ей относительно оси аппликат точки M1 (−x0 ,−y0 , z0 ) также удовлетворяют уравнению (47.24), т.е. эта симметричная точка также

находится на эллиптическом параболоиде) является осью эллиптического параболоида. Эллиптический (точнее - круговой) параболоид вращения получится, если мы параболу будем вращать

вокруг её оси симметрии (см.рис. 47.11)

В сечении эллиптического параболоида плоскостями могут получиться:

-парабола (если секущая плоскость параллельна оси параболоида или проходит через неё; исходя из рис.47.12 читателю предлагаем самостоятельно доказать, что в сечении эллиптического параболоида такой плоскостью будет некоторая неограниченная непрерывная кривая второго порядка, т.е. парабола);

-эллипс (когда секущая плоскость не параллельна его оси, пересекает, но не касается эллиптического параболоида; читателю предлагает показать самостоятельно, исходя из рис. 47.12, что в этом случае в сечении возникает некоторая ограниченная кривая второго порядка, т.е. эллипс);

- одна точка (если плоскость касается эллиптического параболоида); -пустое множество (когда плоскость не пересекает эллиптический параболоид).

Остальные линии в сечении эллиптического параболоида плоскостями получить нельзя

Билет №8

Вопрос №1

Системы n линейных уравнений с n неизвестными их решение с помощью обратной матрицы

a11x1 + a12 x2 +...+ a1n xn									= b1
a21x1 + a22 x2 +...+ a2n xn									= b2	(7.1)
.............................................										(7.1)
.............................................

a	x + a	n2	x	2	+...+ a	nn	x	n	= b
	n1 1	n2		2		nn		n	n
(Система (7.1): n-уравнений с n неизвестными)
Соответствующее матричное уравнение имеет вид: A x = b									(7.2)
Если матрица системы А не вырождена, то у нее существует обратная матрица A−1 . Умножая обе части
уравнения (7.2) слева на матрицу A−1 , получим: A−1 (A x) = (A−1 A) x = A−1 b , т.е.
			x = A−1 × b							(7.3)

Мы показали, что справедлива теорема 7.1. Если матрица системы невырожденная, то система определена и её решение можно найти по формуле (7.3). Формула (7.3) даёт решение системы (7.1) с помощью обратной

матрицы.

x + 2y = 2

Рассмотрим пример:

3x + 4y = −4

−1

Матрица системы: A =

; тогда обратная матрица (см. пример в §5, п. 5.10): A

−8

из (7.3) имеем:

= A

−1

, т.е.

x = –8;

y =5 (умножение матрицы

− 4

предлагаем читателю провести самостоятельно).

Вопрос №2

=	− 2			1
=					. Тогда
		1.5		− 0.5
		1.5		− 0.5
A	−1		на столбец			2
A			на столбец

						− 4

Прямоугольная декартова система координат. Координаты точки. Определение координат вектора по координатам его начала и конца. Расстояние между двумя точками

Координаты точки M (x, y,z) – это координаты вектора ОМ (где О – начало координат
(см. рис 21.1)) OB = OA+ AB , т.е. AB = OB −OA (см. рис. 21.2)
тогда, если A(x1 ,y1 ,z1 ) и B(x2 ,y2 ,z2 ),				z
т.е. OA ={x1, y1,z1} и OB ={x2 , y2 ,z2 } ,
то AB = (x2 - x1 ,y2 - y1 ,z2 - z1 )				0	y
					M (x, y,z)
			x
				Рис 21.1
В §24 будет показано, что длина вектора a
	R
	R	= a12 + a22 + a32
	a	= a12 + a22 + a32			(21.2)

Тогда расстояние между точками A и B:


AB	= (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 + (z2 - z1 )2		(21.3)

(расстояние между точками А и В – это длина вектора АВ)

Вопрос №3

Эллипсоид

Определение 47.1 Эллипсоидом называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой

системе координат удовлетворяют уравнению
	x2	+	y2	+	z2	= 1 (47.17)
	a2		b2		c2

При этом отрезки [0,a],[0,b] и [0,c] по осям абсцисс, ординат и аппликат называются полуосями эллипсоида, а отрезки [-a,a],[-b,b] и [-c,c] по этим же осям OX, OY и OZ называются его осями.

Эллипсоид -центральная поверхность; для эллипсоида, заданного уравнением (47.17), начало координат является его центром симметрии.

Общий вид эллипсоида изображён на рис.47.1

Рис. 47.1

Рис 47.2

Рис. 47.3

В случае a=b>с в уравнении (47.17) будет сжатый эллипсоид вращения (см.рис 47.2), который получается в результате вращения эллипса вокруг его малой оси, а условие a=b<c в (47.17) задаёт вытянутый эллипсоид вращения (см.рис.47.3), возникающий при вращении эллипса вокруг его большой оси.

Если же a=b=c=R с, то эллипсоид переходит в сферу радиуса R с центром в начале координат.

Общее уравнение сферы радиуса R с центром в точке M (x ,y ,z ) можно получить как геометрическое место точек M (x , y , z ) , квадрат расстояния от которых до заданной точки M0 (x0, y0, z0 ) есть величина

постоянная и равная R2 . Используя далее параграф 21(формула (21.3)), мы получим , что общее уравнение сферы имеет вид

(x - x ) + (y - y ) + (z-z ) = R (47.31)

Эллипсоид – ограниченная поверхность0 (и является0 единственной0 ограниченной невырожденной поверхностью второго порядка), ибо уравнению(47.17) могут удовлетворять лишь те значения x, y, z при

которых x ≤ a , y ≤ b и z ≤ c . Поэтому в сечении эллипсоида любыми плоскостями можно получить

только ограниченные линии второго порядка, которые, согласно параграфу 35 являются -эллипс (получается в сечении эллипсоида плоскостью, пересекающей, но не касающейся его, как частный

случай эллипса может получиться и окружность);

-одна точка (если секущая плоскость касается эллипсоида); -пустое множество (в случае, когда плоскость не пересекает эллипсоид).

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Экзамен

#
16.10.202216.23 Кб45Вопросы к экзамену.docx
#
16.10.2022627.97 Кб43еще ответы на экзаменационный тест.pdf
#
16.10.20221.21 Mб59куча теории.pdf
#
16.10.2022258.22 Кб52Ответы на печатные билеты.pdf
#
16.10.2022627.97 Кб31ответы на экзаменационный тест.pdf
#
16.10.202252.8 Кб18Поверхности.jpg
#
16.10.202236.86 Кб25Список вопросов к экзмену.doc
#
16.10.202296.51 Кб23Фото 18.01.15, 21 19 51.jpg