Вопросы к экзамену по курсу высшей математики (линейной алгебры и аналитической геометрии).
Матрицы. Действия над матрицами: сложение, умножение на число, умножение матриц, степень квадратной матрицы, транспонирование матрицы. Элементарные преобразования матриц.
Определители 2-го и 3-го порядков. Вычисление определителей высших порядков, миноры, алгебраические дополнения, разложение определителя по элементам строки или столбца. Свойства определителей (разложение определителя в сумму определителей, элементарные преобразования с определителями, определитель обратной и транспонированной матрицы).
Вычисление обратной матрицы. Решение матричных уравнений. Миноры матрицы. Ранг матрицы.
Системы линейных уравнений, матричная форма записи. Совместимость и несовместимость системы. Эквивалентность систем. Решение линейной системы при помощи обратной матрицы. Формулы Крамера. Метод Гаусса для решения системы линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли. Критерий определенности линейной системы уравнений.
Решение однородной системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Связь решения линейной неоднородной системы уравнений с решением соответствующей однородной системы уравнений.
Векторы. Линейные операции над векторами, выражение их в координатной форме. Линейно зависимые и линейно независимые векторы и их свойства. Теоремы о линейной зависимости векторов в
Базис в трехмерном
пространстве. Координаты вектора в
данном базисе.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости и в пространстве. Полярные и сферические координаты. Определение координат вектора по координатам его конца и начала. Элементарные преобразования систем координат. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.
Скалярное произведение векторов и его свойства. Вычисление скалярного произведения через координаты векторов. Угол между векторами. Вычисление проекции одного вектора на другой.
Правая и левая тройки векторов. Векторное произведение векторов и его свойства. Вычисление векторного произведения через координаты векторов. Условие коллинеарности двух векторов. Вычисление площади прямоугольника и треугольника.
Смешанное произведение векторов и его свойства. Вычисление смешанного произведения через координаты векторов. Вычисление объема параллепипеда и треугольной призмы. Условие компланарности трех векторов. Условие определения правой и левой тройки векторов.
Прямая линия на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой, геометрический смысл коэффициентов. Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых. Проекция точки на прямую на плоскости. Уравнение прямой линии по двум точкам, в отрезках. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
Общее уравнение кривой 2-го порядка. Вывод канонического уравнения эллипса. Построение и исследование формы эллипса. Основные характеристики эллипса. Вывод канонического уравнения гиперболы. Построение и исследование формы гиперболы. Основные характеристики гиперболы. Вывод канонического уравнения параболы. Построение и исследование формы параболы. Основные характеристики параболы.
Уравнение поверхности в пространстве. Уравнение плоскости по точке и нормали. Общее уравнение плоскости, геометрический смысл коэффициентов. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, угол между плоскостями. Уравнение плоскости по трем точкам, в отрезках. Расстояние от точки до плоскости, расстояние между параллельными плоскостями.
Общее и параметрическое уравнения кривой в пространстве. Общее уравнение прямой линии. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору, каноническое и параметрическое уравнения прямой. Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и ортогональности прямых в пространстве.
Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и ортогональности прямой и плоскости. Исследование взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве. Проекция точки на прямую в пространстве. Проекция точки на плоскость в пространстве. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямой и плоскостью. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Цилиндрические поверхности. Конические поверхности. Поверхности вращения. Канонический вид и построение поверхностей 2-го порядка (эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, конус 2-го порядка).
Линейные пространства. Линейная зависимость и линейная независимость элементов линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов. Базис и размерность линейного пространства.
Евклидово пространство. Определение скалярного произведения в линейном пространстве. Норма элемента, угол между элементами в евклидовом пространстве. Неравенство треугольника. Неравенство Коши-Буняковского. Процедура ортогонализации базиса.
Линейные преобразования. Матрица линейного преобразования и ее вычисление. Пересчет матрицы линейного оператора при переходе от одного базиса к другому. Образ и ядро линейного оператора, Размерность образа и ядра линейного оператора. Связь фундаментальной системы решений однородной системы уравнений с ядром линейного оператора.
Собственные значения и собственные векторы матрицы линейного преобразования. Линейная независимость собственных векторов с различными собственными значениями. Собственный базис линейного оператора, вид матрицы линейного оператора в собственном базисе.
Сопряженные линейные операторы и их свойства. Самосопряженные линейные операторы. Свойства собственных значений и собственных векторов самосопряженных операторов.
Квадратичные формы. Приведение кривых и поверхностей 2-го порядка к каноническому виду путем ортогональных преобразований.