Экзамен / куча теории

l || П l n(т.е. a n ,или 0 = a n = Aα + Bβ + Cγ

;) M0 П

Aα + Bβ + Cγ = 0

Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0

(44.1)

l П l n ; M0

Aα + Bβ + Cγ = 0

П

0

(44.2)

Ax0 + By0 + Cz0 + D =

l ∩ П (есть одна точка) l / n Aα + Bβ + Cγ ≠ 0

(44.3)

a11x1 + a12 x2 +...+ a1n xn

= b1

a21x1 + a22 x2 +...+ a2n xn

= b2

(13.1)

.............................................

a

x + a

m2

x

2

+...+ a

mn

x

n

= b

m1 1

m

a11

a12 ...

a1n

a11

a12

...

a1n

b1

a21

a22 ...

a2n

a21

a22

...

a2n

b2

A =

...

... ... ...

;

B =

...

... ... ... ...

am2 ...

am2

...

amn

am1

amn

am1

bm

13.3 Доказательство необходимости теоремы Кронеккер-Капелли

(её достаточность будет доказана в конце §19)

Отметим, что r(B)≥r(A), ибо если r(B)=k, то всякий M k+1 (B) = 0 . Но всякий M k+1 (A)

является минором

матрицы В (ибо матрица А является частью матрицы В), и поэтому

M k+1 (A) = M k+1 (B) = 0 . Поэтому по

лемме №2 из §11 r(А)≤k=r(В).

Итак,

пусть

r(А) ≠ r(В)=k

(тогда

r(А)<r(B)). Приведя матрицу

В к ступенчатому

виду, получим:

a11'

a12 '

...

a1n '

b1'

0

a22 '

...

a2n '

b2 '

...

...

...

...

...

(под a ' будем обозначать преобразованные элементы матрицы А, а под

ij

0

0

...

0

b(k 1) '

+

нули

0

27.1 Определение смешанного произведения

R R

Определение. Смешанным произведением векторов a,b,c называется величина

R

R

R

R

R

(a

,b,c)= [a

× b] c

(вектор [a ×b]-векторное произведение скалярно умножается на третий вектор c

27.2 Геометрический смысл смешанного произведения

R

R

R R

R

R

R

R

Если (a,b,c)< 0, значит векторы

a,b,c образуют левую систему (аналогично для пальцев и ладони

Рис. 27.1

R

R R

Абсолютная величина смешанного произведения

(a,b,c)

-это объём паралелепипида OADBCA1D1B1

R

R

стороны которого составляют вектора

a,b,c

В самом деле по определению ( см. 23.6)

R

R

R

R

R

R

(27.1)

(a

,b,c)= [a

× b] c

= [a × b] Пр a

b c

R

R

R

× b)опускаемый на

OADBCA1D1B1 . Проекция третьей стороны паралелепипеда на перпендикуляр (a

R

R

R

R R

R

1. (a,b,c )= -(b,a,c )-перестановка сомножителей меняет знак.

R

R

R

R

(a,b,c)= −(a

,c,b)

R

R

R

R

(a,b,c)= −(c

,b,a)

R R

R

R

R

R

R R

R

(a,b,c)= (b,c,a)

= (c,a,b )- циклическая замена не меняет знак.

R

R

R

R

R

R

R

2. (a1

+ a

2 ,b,c) =

(a1

,b,c) + (a2

,b,c)

R

R

R

R

3. (λa

,b,c) = λ(a

,b,c)

Эти свойства доказаны в конце §28

27.4Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов

R

R

R

R

Теорема {a

,b,c}- компланарная тогда и только тогда когда (a,b,c)= 0

Доказательство:

R

R

Если {a,b,c}компланарные , то паралелепипед OADBCA1D1B1

имеет нулевой объем

(см. Рис 27.1)т.е.

R R

}= 0 , Справедливо рассуждение и в обратную сторону, что читателю предлагается

получим , что {a,b,c

Заметим, что sin (l;П) = cos (l;n) = cos (a,n) (см. рис. 44.2) Поэтому (см. формулу (24.11))

(a

n)

=

Aα + Bβ + Cγ

= cos(

,

) = cos(l

) = sin(l Π)

a

n

n

l

n

a

n

A2 + B2 + C2 α 2 + β 2 + γ 2

Мы показали

Aα + Bβ + Cγ

(l;П) = arcsin

(44.4)

A

2

+

B

2

+ C

2

α

2

+ β

2

+ γ

2

П

В частности

l П l || n α =

β

=

γ

.

A

B

C

рис 44.2

44.3 Точка пересечения прямой и плоскости

Если задано общее уравнение прямой

A x +

y + C z + D = 0

L 1

1

1

1

(37.3)

A2x + B2 y + C2z + D2 = 0

то для того, чтобы найти точку пересечения прямой L с плоскостью

П : Ax+By+Cz+D=0

(36.4)

Если прямая L задана каноническим уравнением

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

(40.2),

α

β

γ

x = x0 +αt

y = y0 + βt

(40.4)

z = z0 + γt