Добавил:

menson13 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

Математический анализ

Файл:

glv_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.09.2022

Размер:

1.01 Mб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

g L A W A 1. neopredelennyj integral

1.1. pONQTIE. sWOJSTWA

1.1.1. pERWOOBRAZNAQ I NEOPREDELENNYJ INTEGRAL

nEOPREDELENNOE INTEGRIROWANIE ESTX OPERACIQ OBRATNAQ DIFFE- RENCIROWANI@ I SOSTOIT W NAHOVDENI@ FUNKCII PO IZWESTNOJ EE PRO- IZWODNOJ. pRIWEDEM PONQTIQ PERWOOBRAZNOJ I NEOPREDELENNOGO INTEG- RALA.

o P R E D E L E N I E. fUNKCIQ F (x) NAZYWAETSQ PERWOOBRAZNOJ PO OTNO[ENI@ K FUNKCII f(x) W DANNOM INTERWALE, ESLI WO WSEH TO^KAH INTERWALA WERNO RAWENSTWO F0(x) = f(x):

t E O R E M A (O PERWOOBRAZNYH). wSE PERWOOBRAZNYE DLQ DANNOJ FUNKCII OTLI^A@TSQ NA POSTOQNNOE SLAGAEMOE.

|TO ZNA^IT, ^TO ESLI F(x) ESTX KAKAQ-LIBO PERWOOBRAZNAQ DLQ FUNKCII f(x), TO WSE BESKONE^NOE MNOVESTWO EE PERWOOBRAZNYH MOV- NO ZAPISATX ODNIM WYRAVENIEM F(x) + C:

o P R E D E L E N I E. nEOPREDELENNYM INTEGRALOM OT DANNOJ FUNKCII NAZYWAETSQ SOWOKUPNOSTX WSEH EE PERWOOBRAZNYH.

nEOPREDELENNYJ INTEGRAL OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM Z f(x) dx. tA-

KIM OBRAZOM, ESLI ESLI F (x) ESTX KAKAQ-LIBO PERWOOBRAZNAQ DLQ FUNK- CII f(x), TO

Z f(x) dx = F(x) + C

GDE Z ; SIMWOL INTEGRALA, f(x) ; PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ, f(x) dx ; PODYNTEGRALXNOE WYRAVENIE,

x ; PEREMENNAQ INTEGRIROWANIQ.

gEOMETRI^ESKIM PREDSTAWLENIEM NEOPREDELENNOGO INTEGRALA QW- LQETSQ SEMEJSTWO INTEGRALXNYH KRIWYH.

1.1.2. sWOJSTWA NEOPREDELENNOGO INTEGRALA

1. wYNESENIE POSTOQNNOGO MNOVITELQ

pOSTOQNNYJ MNOVITELX MOVNO WYNOSITX ZA ZNAK INTEGRALA

Z k f(x) dx = k Z	f(x) dx:
	3

2. pO^LENNOE INTEGRIROWANIE

iNTEGRAL OT ALGEBRAI^ESKOJ SUMMY FUNKCIJ RAWEN ALGEBRAI^ESKOJ SUMME INTEGRALOW OT SLAGAEMYH

R [f(x) g(x)] dx = R f(x) dx R g(x) dx:

3. dIFFERENCIROWANIE INTEGRALA

pROIZWODNAQ NEOPREDELENNOGO INTEGRALA PO PEREMENNOJ INTEGRIRO- WANIQ RAWNA PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII

Z f(x) dx x = f(x)

|TO SWOJSTWO QWLQETSQ EDINSTWENNYM KRITERIEM PROWERKI PRAWILX- NOSTI REZULXTATA INTEGRIROWANIQ

4. sIMWOLY NEOPREDELENNOGO INTEGRIROWANIQ I DIFFERENCIALA, STO- Q]IE RQDOM, WZAIMNO UNI^TOVA@TSQ

d (R f(x) dx) = f(x) dx	R d F(x) = F(x) + C:
5. iNWARIANTNOSTX FORMY

fORMA REZULXTATA INTEGRIROWANIQ NE ZAWISIT OT TOGO, ^TO QWLQETSQ PEREMENNOJ INTEGRIROWANIQ { NEZAWISIMAQ PEREMENNAQ, ILI FUNK- CIQ U(x) (SWOJSTWO INWARIANTNOSTI FORMULY INTEGRIROWANIQ). t.E., ESLI

R f(x) dx = F(x) + C TO R f(U) dU = F (U) + C:

nEOPREDELENNOE INTEGRIROWANIE, ILI, ^TO TO VE SAMOE, NAHOVDE- NIE PERWOOBRAZNOJ, QWLQETSQ OPERACIEJ OBRATNOJ DIFFERENCIROWA- NI@, NO NAMNOGO SLOVNEE EGO. pRI NEOPREDELENNOM INTEGRIROWANII ISPOLXZU@TSQ SWOJSTWA NEOPREDELENNOGO INTEGRALA, NABOR TABLI^- NYH INTEGRALOW, METODY I PRIEMY INTEGRIROWANIQ NEKOTORYH KLAS- SOW FUNKCIJ.

rAZLI^A@T SLEDU@]IE METODY INTEGRIROWANIQ:

1)nEPOSREDSTWENNOE INTEGRIROWANIE.

2)iNTEGRIROWANIE PODWEDENIEM POD ZNAK DIFFERENCIALA.

3)iNTEGRIROWANIE PO ^ASTQM.

4)mETOD PODSTANOWKI (ZAMENY PEREMENNOJ).

w DANNOM POSOBII KROME METODOW INTEGRIROWANIQ TAKVE RASSMATRIWA@TSQ PRIEMY IN- TEGRIROWANIE OSNOWNYH KLASSOW INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ, TAKIH KAK RACIONALXNYE DRO- BI, PROSTEJ[IE IRRACIONALXNOSTI, DIFFERENCIALXNYE BINOMY I TRIGONOMETRI^ESKIE FUNKCII.

oSNOWNYE NEOPREDEL<NNYE INTEGRALY

tABLICA 1.1.

				k+1
1. Z xk dx =			x		+ C
1. Z xk dx =			k + 1		+ C
	(k	= 1)
		6 ;
2. Z dx = x + C
dx
dx	= 2px + C
3. Z px	= 2px + C

4. Z	dxx2	= ;x1 + C
5. Z	dxx = ln jxj + C

6. Z ax dx = ax + C ln a

7. Z ex dx = ex + C

8. Z sin x dx= ;cos x+C

9. Z cos x dx= sin x+C

10. Z cos2 x = tg x + C

11. Z sin2 x = ;ctg x+C

12. Z

= ln

tg 2

+ C

sin x

13. Z

= ln

+ 4

+ C

cos x

14. Z

tg x dx = ; ln j cos xj + C

15. Z ctg x dx = ln j sin xj + C

16. Z

= a arctg a + C

a2 + x2

17.

x ; a

+ C

;

x + a

18. Z

= arcsin a

+ C

;

19.Z p

= ln jx+px2 a2j+C

20. Z

sh x dx = ch x + C

21. Z ch x dx = sh x + C

22. Z

= th x + C

ch2 x

23. Z

= ;cth x + C

sh2 x

oSNOWNYE NEOPREDEL<NNYE INTEGRALY

tABLICA 1.2

						k+1
1. Z	uk du =				u			+ c
					k + 1
		(k	= 1)
2. Z			6 ;
	du = u + c
	du
3. Z			p
	pu = 2					u + c
4. Z	duu2 = ;u1 + c
5. Z	duu = ln juj + c
6. Z	au du =				au
							+ c
				ln a
7. Z eu du = eu + c
8.	sin u du= cos u+c
9. ZZ cos u du=;sin u+c
10. Z		du	= tg u + c
		cos2 u

11. Z sin2 u = ;ctg u+c

12. Z

13. Z

14. Z

15. Z

16. Z

17. Z

18. Z

19. Z

2021.. ZZ

22. Z

23. Z

= ln

+ c

sin u

= ln tg

2 +

4 ! + c

cos u

tg u du =

cos u + c

;

ctg u du = ln j sin uj + c

= a arctg a

+ c

a2 + u2

u ; a

+ c

u ; a

u + a

= arcsin

a + c

; u2

= ln ju+pu2 a2j+c

sh u du = ch u + c

ch u du = sh u + c

= th u + c

ch2 u

= ;cth u + c

sh2 u

24.

ln u du = u ln u ; u + c

2 2

25.

u a du =

u u a a ln jU + u a j

26. Z

du =

u p

+ a2 arcsin a! + c

a2 ; u2

; u2

27. Z

e u sin u du =

e u

( sin u ; cos u) + c

2 + 2

28.

arctg u du = u arctg u

1 ln(1 + u2) + c

arcsin u du = u arcsin u;+2p

29.

;

+ c

e u

30. Z

e u cos u du =

( cos u + sin u) + c

2 + 2

1.2. tABLICA

1.2. oSNOWNYE METODY INTEGRIROWANIQ

1.2.1. nEPOSREDSTWENNOE INTEGRIROWANIE

|TOT PRIEM INTEGRIROWANIQ PRIMENQETSQ W TOM SLU^AE, ESLI IN- TEGRAL TABLI^NYJ ILI LEGKO MOVET BYTX SWEDEN K TABLI^NOMU PUTEM TAKIH PROSTYH PRIEMOW, KAK WYNESENIE POSTOQNNOGO MNOVITELQ ZA ZNAK INTEGRALA, PRIEM PO^LENNOGO INTEGRIROWANIQ.

oSNOWNYE NEOPREDELENNYE INTEGRALY PRIWEDENY W TABLICAH 1.1 I 1.2 POZWOLQET RAS[IRITX WOZMOVNOSTI ISPOLXZOWANIQ TABLICY NEOPREDELENNYH INTEGRALOW DLQ TEH SLU^AEW, KOGDA PERE-

MENNOJ INTEGRIROWANIQ QWLQETSQ NEKOTORAQ FUNKCIQ, ^TO BUDET PRO- ILL@STRIROWANO DALEE PRI RASSMOTRENII METODA PODWEDENIQ POD ZNAK DIFFERENCIALA. rASSMOTRIM PRIMERY.

xn+1

1: Z (5x ; 3px) dx = 5 Z

x dx ; 3 Z

px dx =

Z xn dx =

n + 1

= 5 x dx 3

x1=4 dx =

5 x2

4 x5=4 =

12p

+ C:

; Z

;

; 5

;

Z 2

;

xn+1

n + 1

x)(2+3x) dx

(2+x

3x2) dx =

xn dx =

= 2 Z dx + Z x dx ; 3 Z x dx = 2x + 2 ; x + C:

Z (2+x3)2 dx

= Z (4+ 4x3 +x6) dx =

= 4 Z dx + 4 Z

x3 dx + Z

x6 dx = 4x + 4 4 +

7 = 4x+ x4

+ 7 + C:

; x dx

ISPOLXZUEM PRIEM PO^LENNOGO

DELENIQ ^ISLITELQ NA ZNAMENATELX

14=3

3 11=3

dx ; Z

dx = Z x;

dx ; Z x; dx = ;

+ C:

3x3

2x;2 3x

dx= 3

xdx 2

3 xdx=

ax dx =

;

Z31!x

ln a

= 3

; 2

+C:

U(x):

6: Z

! dx

= Z

;

cos x

dx ; Z

cos x

sin2

dx = Z 2

dx =

2 Z

dx ; 2 Z

cos x dx =

2x ; 2 sin x + C:

tg2x dx =

sin2 x

dx =

1 ; cos2 x

dx =

Z cos2 x

cos2 x

; cos

dx =

;

Z @cos

cos

= Z

;

Z dx = tgx ; x + C:

cos2 x

(1+x)2

(1+x2) + 2x

dx = Z

dx =

x(1+x2)

= Z

(1+x2)

dx + Z

dx = Z

+ 2 Z

x(1+x2)

= ln jxj + 2arctgx + C:

	x2			(x2 + 1)	1
9: Z		dx =	Z	1 + x2;		dx =
	1 + x2
	x2 + 1			1		dx

= Z 1 + x2 dx ; Z 1 + x2 dx = Z dx ; Z 1 + x2

= x ; arctgx + C:

1+x2 =

1.2.2. iNTEGRIROWANIE PODWEDENIEM POD ZNAK DIFFERENCIALA

dANNYJ METOD, O^ENX PROSTOJ W SWOEJ OSNOWE, POZWOLQET PRIWODITX INTEGRAL K TABLI^NOMU, ISPOLXZUQ SWOJSTWO INWARIANTNOSTI FOR- MUL INTEGRIROWANIQ. tABLICA 1.2 NEOPREDELENNYH INTEGRALOW ZAPI- SANA DLQ SLU^AQ, KOGDA PEREMENNOJ INTEGRIROWANIQ QWLQETSQ FUNK- CIQ

rASSMOTRIM NESKOLXKO TABLI^NYH INTEGRALOW.

Un+1

1: Z UndU = n+1 +C :

dU	= 2pU + C :
2: Z pU

3: Z U = ln j U j + C :

4: Z eU dU = eU + C :


	Z			dU
5:							=
5:			U	2	;	a2	=
=	1	ln			U	; a		+ C :
=		ln				; a		+ C :
	2a			U + a

cos3 x d(cos x) =

cos4 x

+ C

(2x + 5)15

d(2x + 5) =

(2x + 5)16

+ C

(ln x+3)1=2d(ln x+3) =

(ln x+3)3=2

+C:

3=2

d(cos 2x + 1)

pcos 2x + 1 = 2pcos 2x + 1 + C

d(1

x2)

= 2p1 ; x2 + C

; x2

;

d(arctgx)

= 2parctgx + C:

parctgx

d(arcsin x)

= ln j arcsin xj + C

arcsin x

d(33

;22xx)

= ln j3 ; 2xj + C

;

d(1 + x2)

= ln j1 + x2j + C:

1 + x2

Zex2 d(x2) = ex2 + C

Zetgxd(tgx) = etgx + C

Ze2;3xd(2 ; 3x) = e2;3x + C:

d(5x)

1 ln

5x ; 3

+ C

Z (5x)2

;

5x + 3

d(ln x)

ln x ; 1

+ C

Z ln2 x ; 1

ln x + 1

)

d(e

1 ln

; 2

+ C:

Z 4 ; e6x

e3x

+ 2

tAKIH PRIMEROW DLQ KAVDOGO TABLI^NOGO INTEGRALA MOVNO PRIWESTI SKOLXKO UGODNO. wSE IH OB_EDINQET TO, ^TO POD ZNAKOM DIFFERENCI- ALA W PODYNTEGRALXNOM WYRAVENII STOIT NE PROSTO PEREMENNAQ x, A TAKAQ FUNKCIQ U(x) OTNOSITELXNO KOTOROJ DANNYJ INTEGRAL QWLQ- ETSQ TABLI^NYM.

sU]ESTWUET BOLX[OJ KLASS INTEGRALOW, W KOTORYH MOVNO POD ZNA- KOM DIFFERENCIALA SFORMIROWATX NUVNOE WYRAVENIE I SWESTI IN- TEGRAL K TABLI^NOMU.

pODWEDENIE POD ZNAK DIFFERENCIALA { \TO WNESENIE POD ZNAK DIFFERENCIALA LIBO POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO, LIBO POSTOQNNOGO MNO- VITELQ, LIBO FUNKCII, LIBO I TOGO I DRUGOGO WMESTE.

nAPOMNIM, ^TO DIFFERENCIAL FUNKCII RAWEN PROIZWEDENI@ PRO- IZWODNOJ FUNKCII NA DIFFERENCIAL NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ

d f(x) = f0(x) dx

A TAKVE, ^TO SWOJSTWA DIFFERENCIALOW ANALOGI^NY SWOJSTWAM PRO- IZWODNYH FUNKCIJ.

wNESENIE POD ZNAK DIFFERENCIALA POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO

pO SWOJSTWU DIFFERENCIALA FUNKCII IMEEM: d(x+a) = (x+a)0 dx = x0 dx = dx =) dx = d(x+a):

|TO ZNA^IT, ^TO POD ZNAKOM DIFFERENCIALA K PEREMENNOJ INTEGRI- ROWANIQ MOVNO PRIBAWITX L@BOE, NUVNOE W DANNOJ SITUACII, ^IS-

LO a

dx = d(x;1) = d(x+3) = d(x;12 ) = d(x+ a):

tAK,

NAPRIMER:

+ 3)5

(x+3)4dx = Z (x+3)4d(x + 3) =

+ C

d(x

2) Z

= Z

= ln jx;3j + C

x 3

;

dx =

;(x+5)1=2d(x+5) = 2

(x+5)3=2 + C

x+5

sin(x + 1) dxZ=

sin(x+1) d(x+1) = ; cos(x+1) + C

d(x ; 6)

= tg(x

6) + C:

cos2(x

;

cos2(x

;

wNESENIE POD ZNAK DIFFERENCIALA POSTOQNNOGO MNOVITELQ

tAK KAK	d(Cx) = (Cx)0 dx = C dx,	TO	dx =	1	d(Cx):

				C

|TO ZNA^IT, ^TO, PRI WWEDENII POD ZNAK DIFFERENCIALA MNOVITE-

LQ C PERED ZNAKOM INTEGRALA NEOBHODIMO POSTAWITX POPRAWO^NYJ

KO\FFICIENT

iTAK:

dx = 3d(3x) = ;d(;x) = 2d

2 ! = ;

4 d ;

! = : : : :

nAPRIMER:

1 sin 3x + C

cos 3x dx =

cos 3x d(3x) =

2) Z

;2 e;x=2 + C

e;x=2 dx = ;2Z

e;x=2 d(;x=2) =

d (3x)

3) Z

= 3 Z

arctg

+ C:

4 + 9x2

22 + (3x)2

d (p

4) Z

ln jp7x + p4 + 7x2j + C:

= p

4 + (p

x)2

4 + 7x2

q d (p

5) Z

= p

arcsin

+ C:

2x2

2x)

;

q3p;

(

6 2

d ( 6x)

6) Z

= p

x)2 ; 22

= p

ln jp6 +;

2j + C:

6x2 ;

mOVNO OB_EDINITX DWA PREDYDU]IH SLU^AQ W ODIN OB]IJ

d(Cx+a) = C dx =) dx =

d(Cx+a)

d(6x)

d(6x

1) Z

= 6 Z

6x ;1

6 ln j6x;1j + C

;

2) (3

(3 ; 7x)8

;

; 7x)8 dx = ;7

d (;7x) =

= Z

;

7x)8 d (3

7x) =

1 (3 ; 7x)9

;

(3 ; 7x)9 + C:

;

wNESENIE POD ZNAK DIFFERENCIALA FUNKCIJ

tAK KAK

d(x ) = (x )0 dx = 2xdx

x dx = 2d(x ):

aNALOGI^NO

: d(e ) = (e )0 dx = e dx

e dx = d(e ):

d(cos x) = (cos x)0

dx = ; sin x dx

=) sin xdx = ;d(cos x)

I T

w TABLICE 1.3 PRIWEDENY WARIANTY PODWEDENIQ POD ZNAK DIFFERENCIALA, KOTORYE ISPOLXZU@TSQ PRI RE[ENII INTEGRALOW. w ODNOM I TOM VE INTEGRALE MOGUT ISPOLXZO- WATXSQ POSLEDOWATELXNO NESKOLXKO FORMUL IZ \TOJ TABLICY.

pODWEDENIE POD ZNAK DIFFERENCIALA

tABLICA

1.3.

1. dx

d(x + a)

12. cos x dx =

d(sin x)

2. dx

1c d(cx)

13. sin x dx

= ;d(cos x)

3. dx

d(cx + a)

14.

d(tg x)

cos2 x

4. xndx

d(xn+1)

15.

;d(ctg x)

n + 1

sin2 x

5. x dx =

2d(x2)

16.

sin 2xdx

d(sin2 x)

;d(cos2 x)

6. x2dx

3d(x3)

17.

sin 2xdx

7. x2

;d(x)

18.

sin 2xdx

;2d(cos 2x)

= 2d(px)

8. px

19.

d(arctg x)

1 + x2

9. x

d(ln x)

20.

= ;d(arcctg x)

1 + x2

10. axdx

d(ax)

21.

d(arcsin x)

ln a

1 ; x2

11. exdx

d(ex)

22.

;d(arccos x)

1 x2

pOSLE WYPOLNENIQ OPERACII PODWEDENIQ POD ZNAK ;DIFFERENCIALA NUVNO SOPOSTAWITX

POLU^ENNYJ INTEGRAL S TABLI^NYM, OBOZNA^IW MYSLENNO WSE WYRAVENIE, STOQ]EE POD ZNAKOM DIFFERENCIALA, ODNOJ BUKWOJ (NOWOJ PEREMENNOJ INTEGRIROWANIQ U:)

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
28.09.20221.01 Mб5glv_1.pdf
#
28.09.2022954.28 Кб2glv_2.pdf
#
28.09.2022136.73 Кб4Таблица интегралов.pdf
#
28.09.202268.01 Кб3Таблица производных.pdf
#
28.09.20222.22 Mб12Терехина Фикс ВМ 2.PDF