Добавил:

menson13 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

Математический анализ

Файл:

glv_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.09.2022

Размер:

1.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

= x [(cos(ln x) + sin(ln x)] ; Z cos(ln x) dx:

tAKIM OBRAZOM, MY WNOWX PRI[LI K ISHODNOMU INTEGRALU I, ESLI OTBROSITX WSE PROMEVUTO^NYE WYKLADKI, TO MOVNO ZAPISATX RAWEN- STWO

Z cos(ln x) dx = x [cos(ln x) + sin(ln x)] ; Z cos(ln x) dx

KOTOROE MOVNO RASSMATRIWATX KAK URAWNENIE OTNOSITELXNO ISKOMOGO INTEGRALA. rE[AEM \TO URAWNENIE

2 Z cos(ln x)dx = x [ cos(ln x) + sin(ln x) ] :

oTS@DA POLU^AEM

cos(ln x) dx =

2 [ cos(ln x) + sin(ln x) ] + C:

x dx

dx = U = p1 + x2

dU = p

18:

1 + x2

dV = dx

V = x

x dx

= x p1 + x2 ; Z x p

= x p1 + x2 ; Z

px1

+dxx2

1 + x2

; Z

(x2 + 1) ; 1 dx = x

; Z

x2 + 1

= x

1 + x2

dx+

p1 + x2

+ Z

dx = x p

; Z p

dx + ln jx + p

1 + x2

tAKIM OBRAZOM, MY W PROCESSE RE[ENIQ POLU^ILI WYRAVENIE, SO- DERVA]EE ISHODNYJ INTEGRAL, I, ESLI OTBROSITX WSE PROMEVUTO^NYE WYKLADKI, TO MOVNO ZAPISATX RAWENSTWO

Z p1 + x2 dx = x p1 + x2 ; Z p1 + x2 dx + ln jx + p1 + x2 j

KOTOROE MOVNO RASSMATRIWATX KAK URAWNENIE OTNOSITELXNO ISKOMOGO INTEGRALA. rE[AEM \TO URAWNENIE

2 Z p1 + x2 dx = x p1 + x2 + ln jx + p1 + x2 j:

oTKUDA POLU^AEM

Z p1 + x2 dx = x2 p1 + x2 + 12 ln jx + p1 + x2 j + C:

z A M E ^ A N I E. w ZAKL@^ENIE RASSMOTRENIQ METODA INTEGRIROWANIQ PO ^ASTQM OT- METIM, ^TO PRI RE[ENII INTEGRALOW \TIM METODOM MOVNO POLU^ITX TAKIE INTEGRALY, RE[ENIE KOTORYH TREBUET ZNANIQ METODA ZAMENY PEREMENNOJ ILI, NAPRIMER, UMENIQ IN- TEGRIROWATX TAKIE KLASSY FUNKCIJ, KAK RACIONALXNYE DROBI, IRRACIONALXNYE I TRI- GONOMETRI^ESKIE FUNKCII. eSLI TAKAQ SITUACIQ WOZNIKLA, TO MOVNO NA WREMQ OSTAWITX RE[ENIE INTEGRALA I WERNUTXSQ K NEMU POSLE TOGO, KAK BUDUT IZU^ENY NEOBHODIMYE RAZ-

DELY. pRIWEDEM NESKOLXKO PRIMEROW.

1 dx

U = arctgpx

dU =

x dx =

1 + x 2px

19: Z arctg

dV = dx

V = x

= x arctgpx ; Z

(1 + x)

dx = x arctgpx ; 2 Z

dx:

1 + x

mY POLU^ILI INTEGRAL, SODERVA]IJ IRRACIONALXNOSTX. rE[ENIE INTEGRALA TREBUET PRIMENENIQ METODA PODSTANOWKI, KOTORYJ BUDET

RASSMOTREN W SLEDU@]EM PARAGRAFE.

U = arcsin x

dU =

20: Z

arcsin x

dx =

p11 ; x

dV = x2

V = ;x

= ;x1

arcsin x + Z

;

mY TAKVE POLU^ILI INTEGRAL OT IRRACIONALXNOJ FUNKCII, DLQ NA- HOVDENIQ KOTOROGO PRIMENQETSQ TRIGONOMETRI^ESKAQ PODSTANOWKA.

ln x

U = ln x

dU = dx

21: Z

dx =

x 1

;

1)2

dV = (x

;

1)2

V = ;x

;

ln x + Z

= ;

x ;

x (x ; 1)

U = arctg x

dU =

22: Z x3

arctg x dx =

11 +4

dV = x dx V =x44 x

x4 dx

= 4 arctg x ; Z

4 (1 + x2)

w \TIH PRIMERAH POSLE INTEGRIROWANIQ PO ^ASTQM POLU^A@TSQ INTEGRALY OT RACIONALX- NYH DROBEJ. iNTEGRIROWANIE \TOGO KLASSA FUNKCIJ BUDET RASSMOTRENO NIVE.

1.2.4. mETOD PODSTANOWKI. zAMENA PEREMENNOJ

mETOD PODSTANOWKI ILI METOD ZAMENY PEREMENNOJ QWLQETSQ ODNIM IZ SAMYH SILXNYH METODOW INTEGRIROWANIQ.

mETOD OSNOWAN NA ISPOLXZOWANII FORMULY

Z f(x) dx = Z f [ '(t) ] '0t(t) dt

KOTORU@ NAZYWA@T FORMULOJ PODSTANOWKI ILI ZAMENY PEREMENNOJ.

pRI PROWEDENII ZAMENY PEREMENNOJ W INTEGRALE Z f(x) dx NEOBHO- DIMO:

1)WYBRATX PODSTANOWKU (x) = t ILI ZAMENU PEREMENNOJ x = '(t),

2)PREOBRAZOWATX PODYNTEGRALXNU@ FUNKCI@ f(x) S U^ETOM WY- BRANNOJ PODSTANOWKI ILI ZAMENY PEREMENNOJ,

3)NAJTI dx = '0t(t)dt,

4)PODSTAWITX WSE W ISHODNYJ INTEGRAL I NAJTI EGO,

5)WERNUTXSQ W OTWETE K STAROJ PEREMENNOJ x.

pRI WYBORE PODSTANOWKI NEOBHODIMO RUKOWODSTWOWATXSQ ODNIM EDIN- STWENNYM KRITERIEM, ^TO HORO[A TOLXKO TA PODSTANOWKA, KOTORAQ PRIWODIT K BOLEE PROSTOMU INTEGRALU, ^EM ISHODNYJ.

mETOD ZAMENY PEREMENNOJ PRIMENQETSQ PRI RE[ENII INTEGRALOW OT IRRACIONALXNYH, TRIGONOMETRI^ESKIH, TRANSCENDENTNYH FUNK- CIJ.

z A M E ^ A N I E. rASSMOTRENNYJ NAMI RANEE KAK SAMOSTOQTELXNYJ METOD PODWEDENIQ POD ZNAK DIFFERENCIALA PO SUTI DELA QWLQETSQ ILL@STRACIEJ METODA ZAMENY PEREMENNOJ, TAK KAK WMESTO NEKOTOROGO WYRAVENIQ, STOQ]EGO POD ZNAKOM DIFFERENCIALA, MY ZAPISYWALI NOWU@ PEREMENNU@ U.

pROILL@STRIRUEM NA PRIMERAH PRIMENENIE METODA PODSTANOWKI.

1: Z x2 p				dx =
			x + 7
						p				= t.
1)	pRIMENIM PODSTANOWKU							x + 7
2)		2			x = t		2		; 7 dx		2
	nAJDEM	x + 7 = t									= (t ; 7)0dt = 2t dt.

3)	pODSTAWIM W ISHODNYJ INTEGRAL I PROINTEGRIRUEM

= Z (t2 ; 7)2 t 2t dt = 2 Z t2 (t2 ; 7)2 dt = 2 Z

t2 (t4 ; 14t2 + 49) dt =

= 2 Z (t6 ; 14t4 + 49t2) dt = 2 0

1 :

7 ; 14 5

+ 49 3

wOZWRA]AEMSQ K STAROJ PEREMENNOJ x S POMO]X@ OBRATNOJ ZAME-

NY: t

x + 7

Z x2px + 7 dx =

7q(x + 7)7 ;

5 q(x + 7)5

3 q(x + 7)3 + C:

x= 1t

Z x3 p2

;

; Z (1=t3)

3 2

(1=t3)

dx= ;t2 dt=

;t2

;

; Z

t2 t4

; Z

(1=t3)(1=t)p2t3

;

; Z p2t3

;

p2t3

;

wYPOLNQEM PODWEDENIE POD ZNAK DIFFERENCIALA

d(t3)

d(2t3

; 1)

d(U) = 1

U;1=3 dU =

;

p2t3

; 1

p2t3 ; 1

)

3U2=3

(2t3

1)2=3

t =

q(2

; x

+ C:

;

p x

e +2 = t

+2 = t e = t ; 2

2t dt =

e +2 dx

x = ln(t2

;

dx = (ln(t2

;

2))

t2 ;2

2t dt

= Z t

= 2 Z

;

pRIBAWIM I OTNIMEM W ^ISLITELE ^ISLO 2, SGRUPPIRUEM I PO- ^LENNO RAZDELIM

= 2

(t2 ; 2) + 2 dt = 2

; 2 dt +

;

@Z t

; 2

t ;

= 2 Z dt + 4 Z

= 2t + 4

t ;+ p2

;

= 2p

+ p

ln pex + 2

; p2

t = p

ex + 2

+ C:

pex + 2 + p2

x2 dx

x + 1 = t

x = t

4: Z

dx = (t

;

1)0dt = dt

;

(x + 1)5

+ 1

;

dt =

; t4

t5 !

= Z

(t;3 ; 2t;4 + t;5) dt =

t;2

t;3

t;4

;

2 ; 2

;

4 =

= ;

;

= j t = x + 1 j =

2t2

3t3

4t4

= ;

;

+ C:

2(x + 1)2

3(x + 1)3

4(x + 1)4

x = tg t

cos2 t

5: Z

(x2 + 1)2

dx = (tg t)0dt =

= Z (tg2t + 1)2

cos2 t

wOSPOLXZOWAW[ISX

IZWESTNOJ FORMULOJ (1 + tg2t) =

POLU^IM

cos2 t

cos4 t

cos2 t

= Z

(1= cos2 t)2

= Z cos2 t

dt = Z

cos

t dt =

pRIMENIM FORMULU PONIVENIQ STEPENI

cos2 t = 1 + cos 2t

= Z

1 + cos 2t

dt =

2 Z (1 + cos 2t) dt =

2 Z

dt +

2 Z

cos 2t dt =

Z cos 2t d(2t) =

= 2

t + 4

+ 4 sin 2t =

wOZWRA]AEMSQ K STAROJ PEREMENNOJ

S POMO]X@ OBRATNOJ ZAMENY:

t = arctg x

arctg

4 sin 2(arctg x) =

+ C:

(x2 + 1)2

1 + x2

z A M E ^ A N I E. w NEKOTORYH INTEGRALAH, SODERVA]IH IRRACIO- NALXNOSTI, POSLE ZAMENY PEREMENNOJ POLU^AETSQ INTEGRAL, KOTORYJ SLEDUET BRATX PO ^ASTQM. nAPRIMER:

6: Z cos

= 2 Z

x dx =

dx = 2t dt

t cos t dt = : : :

x = t

x = t3 dx = 3t2 dt

= 3 Z t2

et dt = : : :

7: Z epx dx =

1.3. kLASSY INTEGRIRUEMYH FUNKCIJ

pEREJDEM K WOPROSU OB ISPOLXZOWANII RASSMOTRENNYH METODOW PRI INTEGRIROWANII OS-

NOWNYH KLASSOW FUNKCIJ.
1.3.1. iNTEGRALY WIDA Z	(Ax + B) dx	Z	(Ax + B) dx
1.3.1. iNTEGRALY WIDA Z	ax2 + bx + c	Z	pax2 + bx + c	:

rASSMOTRIM WOPROS OB INTEGRIROWANII FUNKCIJ, SODERVA]IH KWAD- RATNYJ TREH^LEN W ZNAMENATELE DROBI. pRI \TOM, NEZAWISIMO OT TO- GO, STOIT LI KWADRATNYJ TREH^LEN POD ZNAKOM KWADRATNOGO KORNQ ILI NET, INTEGRIROWANIE PROWODITSQ PO SLEDU@]EJ SHEME:

1)	W KWADRATNOM TREH^LENE WYDELQETSQ POLNYJ KWADRAT
	ax2 + bx + c = a(x + b=2a)2 + c ; (b=2a)2
2)	WWODITSQ NOWAQ PEREMENNAQ a + b=2a = t

3)POLU^ENNYJ INTEGRAL, PRI NEOBHODIMOSTI, RAZBIWAETSQ NA DWA INTEGRALA, ODIN IZ KOTORYH { WSEGDA TABLI^NYJ, A DRUGOJ PRIWODIT- SQ K TABLI^NOMU PODWEDENIEM POD ZNAK DIFFERENCIALA

4)WOZWRA]A@TSQ K STAROJ PEREMENNOJ.

3 + 2x

;

2x2 = 3 ;

(x2 ;

2x) =

1: Z

= 3

;

[(x

; 2

x 1 + 1) ; 1] =

= = 3

;

[(x

; 1)2 ; 1] = 4

; (x

; 1)2

3 + 2x

;

1 = t x = t + 1 dx = dt

3 + 2x ; x2 = 4 ; t2

;

arcsin

= arcsin

+ C:

Z p4

;

x2 +x+1 = x2 + 2 x

2 +

4! ;

4 + 1 =

(2x 1) dx

2: Z

;

= = (x +

x2 +x+1

1=2 dx = dt

x + 1=2 = t x = t

x2 +x+1 = t2 + 3=4 ;

2(t;1=2)

;1 dt=

2t;2

dt=

2t dt

2 dt

qt2 +3=4 ;Z qt2 +3=4

q2t2 +3=4

qt2 +3=4

= Z

d(t +3=4)

2 dt

= 2qt2 +3=4 ; 2 ln t + qt2 +3=4 =

t2 +3=4

=q2p

; 2 ln jx + 21 + p

j + C:

x2 + x + 1

x2 + x +

x2 +4x+10 = (x2 +2 x 2+4);4+10 = (x+2)2 +6

= x + 2 = t x = t

2 dx

= dt

Z x2 +4x+10

;

+4x+10 = t

+ 6

+ 2

arctg

+ C:

+ 6

(3x+5) dx

x2 +6x;7 = (x2 +2

x 3+9);9;7 = (x+3)2 ;16

x2 +6x

;

= x + 3 = t x = t

;

3 dx

= dt

7 = t

x +6x

;

(3(t

; 3) + 5)dt

(3t

4)dt

3t dt

4 dt

;

; Z

;

d(t2 ;

16)

3 ln

1 ln

; 4

2 Z

;

Z t2

;

j ;

+ 4

;

;(x

+ 3)

;

x2 + 6x

;

j ; 2

(x + 3) + 4

;

+ C:

+ 6x

;

j ;

x + 7

5: Z

(x+2) dx

x +x+1 = (x +

x2 +x+1

= x + 1=2 = t x = t

;

1=2 dx = dt

x2 +x+1 = t2 + 3=4

;

1=2)+2

t+3=2

t dt

dt=

Z t2 +3=4

t2 +3=4

2 Z

t2 +3=4

d(t2 +3=4)

3 1

2 Z

= 2

ln jt2 +3=4j+

2 p

=2 arctg p

t2 +3=4

+ 1

ln jx2

+ x + 1j + p3 arctg

+ C:

z A M E ^ A N I E. eSLI KWADRATNYJ TREH^LEN W ZNAMENATELE DROBI IMEET KO\FFICIENT PRI x2 TO IMEET SMYSL WYNESTI \TOT KO\FFICIENT IZ ZNAMENATELQ ZA ZNAK INTEGRALA I DALEE

PROWODITX WY^ISLENIQ TAK, KAK BYLO POKAZANO W PREDYDU]IH PRIMERAH. nAPRIMER:

x dx

Z p

= Z

3 Z

= : : :

;

9x2 +1

3 s

9x;x +

s9 x;x + 9

(4 ; 3x) dx

;

3x) dx

1 (4

; 3x) dx

= : : :

Z 5x2 +6x+18

6x+

5 Z x2

5(x2

18)

+ 6x+

1.3.2. iNTEGRIROWANIE RACIONALXNYH DROBEJ

rACIONALXNAQ DROBX ESTX OTNO[ENIE DWUH MNOGO^LENOW CELOJ STE- PENI

R(x) = Pn(x) = anxn + an;1xn;1 + : : : + a2x2 + a1x + a0 : Qm(x) bmxm + bm;1xm;1 + : : : + b2x2 + b1x + b0

eSLI n < m, TO DROBX NAZYWAETSQ PRAWILXNOJ. eSLI n m, TO DROBX NAZYWAETSQ NEPRAWILXNOJ.

pREVDE, ^EM INTEGRIROWATX NEPRAWILXNYE DROBI, SLEDUET OBQZA- TELXNO WYDELITX CELU@ ^ASTX DROBI PUTEM DELENIQ MNOGO^LENA Pn(x) NA MNOGO^LEN Qm(x): |TA OPERACIQ PODOBNA WYDELENI@ CELOJ ^ASTI NEPRAWILXNOJ ^ISLOWOJ DROBI. nAPRIMER,

	3x + 5	=	3	+
	2x ; 1		2

w DANNOM PRIMERE

13 : 2(2x ; 1)

32 {CELAQ ^ASTX,

	3x3 ; 4x2 + x ; 5	=	(3x + 2)+
	x2 ; 2x ; 1		CELAQ ^ASTX


13	{ PRAWILXNAQ DROBX.

2(2x ; 1)
8x ; 3		:

x2 ; 2x ; 1

PRAWILXNAQ DROBX

; 8

(x2 + x + 4)+

4x2 + 16x

;

+ x

;

CELAQ ^ASTX

; 4x

PRAWILXNAQ DROBX

dROBX, TAKIM OBRAZOM, PREDSTAWITSQ W WIDE SUMMY CELOJ ^ASTI (MNO- GO^LENA CELOJ STEPENI), INTEGRIROWANIE KOTOROJ NE PREDSTAWLQET TRUDA, I PRAWILXNOJ DROBI. oSTANOWIMSQ PODROBNO NA WOPROSE IN- TEGRIROWANIQ PRAWILXNYH RACIONALXNYH DROBEJ.

iZ KURSA ALGEBRY IZWESTNA TEOREMA. kAVDAQ PRAWILXNAQ DROBX

R(x) = Pn(x) MOVET BYTX PREDSTAWLENA W WIDE SUMMY KONE^NOGO

Qm(x)

^ISLA PROSTYH DROBEJ.

pRI \TOM RAZLOVENIE PRAWILXNOJ DROBI NA PROSTYE DROBI SWQZANO S RAZLOVENIEM ZNAMENATELQ \TOJ DROBI NA PROSTYE MNOVITELI.

w SWQZI S \TIM MOVNO PREDLOVITX SLEDU@]U@ SHEMU INTEGRIRO- WANIQ PRAWILXNYH RACIONALXNYH DROBEJ.

sHEMA INTEGRIROWANIQ PRAWILXNOJ RACIONALXNOJ DROBI.

1. zNAMENATELX DROBI RASKLADYWAEM NA PROSTYE MNOVITELI, KO- TORYH SU]ESTWUET ^ETYRE TIPA:

I ; (x;a) II ; (x;a)k III ; (x2 +px+q) IV ; (x2 +px+q)k

(KWADRATNYE TREH^LENY PREDPOLAGA@TSQ NE IME@]IMI DEJSTWITELX- NYH KORNEJ, T.E. NERAZLOVIMYMI NA WE]ESTWENNYE LINEJNYE MNO- VITELI.) ~ASTNYM SLU^AEM KWADRATI^NYH MNOVITELEJ MOGUT BYTX MNOVITELI WIDA (x2 + a2) ILI (x2 + a2)k:

pRI RAZLOVENII ISPOLXZU@TSQ FORMULY SOKRA]ENNOGO UMNOVENIQ:

;

a2 = (x

;

a)(x + a)

x3 + a3 = (x + a)(x2

;

ax + a2)

; a = (x

; a)(x + ax + a

) x ; a

= (x ; a)(x + a)(x

+ a ):

pRIWEDEM NESKOLXKO PRIMEROW RASLOVENIQ NA MNOVITELI

x6 ; 1 = (x3

; 1)(x3 + 1) = (x ; 1)(x2 + x + 1)(x + 1)(x2 ; x + 1):

;25)(x

;4x;5) = (x;5)(x+5)(x+1)(x;5) = (x+5)(x+1)(x;5) :

pOSLEDNIJ PRIMER POKAZYWAET, ^TO POSLE RAZLOVENIE NA MNOVI- TELI WOZMOVNO OB_EDINENIE NESKOLXKIH ODINAKOWYH MNOVITELEJ I-GO TIPA W ODIN MNOVITELX II-TIPA, ^TO SU]ESTWENNO PRI DALXNEJ[EM RAZLOVENII DROBI.

2.rACIONALXNU@ DROBX PREDSTAWLQEM W WIDE SUMMY PROSTEJ- [IH DROBEJ, PRI^EM, KAK IZWESNO IZ ALGEBRY, KAVDOMU IZ ^ETYREH PROSTEJ[IH SOMNOVITELEJ W RAZLOVENII ZNAMENATELQ SOOTWETSTWUET OPREDELENNYJ NABOR PROSTEJ[IH DROBEJ, ^TO POKAZANO W TABLICE 1.5. w TABLICE 1.6 PRIWEDENY PRIMERY RAZLOVENIQ NA PROSTEJ[IE SLAGA- EMYE KONKRETNYH PRAWILXNYH RACIONALXNYH DROBEJ. wSE BUKWENNYE KO\FFICIENTY, WHODQ]IE W TABLICU, NAZYWA@TSQ NEOPREDELENNYMI KO\FFICIENTAMI, WOPROS O NAHOVDENII KOTORYH RASSMOTRIM NIVE NA KONKRETNYH PRIMERAH.

tAKIM OBRAZOM, INTEGRIROWANIE PRAWILXNOJ RACIONALXNJ DROBI SWODITSQ K INTEGRIROWANI@ SUMMY PROSTEJ[IH DROBEJ. zATEM

3.nAHODIM NEOPREDELENNYE KO\FFICIENTY.

4.pROWODIM INTEGRIROWANIE KAVDOGO SLAGAEMOGO.

eSLI ISHODNAQ DROBX BYLA NEPRAWILXNOJ, TO K REZULXTATU INTEG- RIROWANIQ PRAWILXNOJ DROBI DOBAWITSQ REZULXTAT INTEGRIROWANIQ CELOJ ^ASTI.

tABLICA 1.5.

tIP SOMNOVITELQ

pROSTEJ[IE DROBI W RAZLOVENII

W ZNAMENATELE

DROBI NA SLAGAEMYE

(x ; a)

k;1

II.

(x ; a)

; a)k + (x

; a)k;1 + : : : +

(x ; a)2

+ x ; a

III.

x2 + px + q

+ B

+ px + q

Arx+Br

Ar;1x + Br;1

A1x+B1

IV. (x

+ px + q)

r +

1 +: : : +

+px+q

(x +px+q)

+ px + q)

;

tABLICA 1.6.

iSHODNAQ DROBX

wID E< RAZLOVENIQ NA SLAGAEMYE

3x + 4

x (x + 5)(x ; 7)

x + 5

x ; 7

(x ; 3)(x + 2)3

x ; 3

(x + 2)3

(x + 2)2

x + 2

x2 + 3x

Ax + B

Cx + D

+ x2 + 4

(x2 ; 3x + 5)(x2 + 4)

x2 ; 3x + 5

2x + 3

Dx + E

2 +

(x + 2)(x

+ 3)

+ 2

+ 3

Bx + C

x ; 2

x 2; 8

x + 2x

+ 4

Dx + E

x + 4

Bx + C

x ; 1

(x ; 1)(x + x + 2)

+ x + 2)

+ x + 2

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
28.09.20221.01 Mб4glv_1.pdf
#
28.09.2022954.28 Кб2glv_2.pdf
#
28.09.2022136.73 Кб3Таблица интегралов.pdf
#
28.09.202268.01 Кб2Таблица производных.pdf
#
28.09.20222.22 Mб9Терехина Фикс ВМ 2.PDF