glv_1

Добавил:

menson13 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

Математический анализ

Файл:

INTEGRALOW

cos4 x sin6 x

W KOTORYH SUMMA POKAZATELEJ STEPENEJ cos x I sin x { ^ETNAQ, A TAK-

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.09.2022

Размер:

1.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

1.3.5.	iNTEGRALY, SODERVA]IE RADIKALY WIDA:
	p		p		p		:
		a2 ; x2		x2 ; a2		x2 + a2

oTMETIM, ^TO RQD INTEGRALOW, KOTORYE MOVNO RE[ITX KAK DIFFE- RENCIALXNYJ BINOM, LEG^E RE[A@TSQ S POMO]X@ TRIGONOMETRI^ES- KIH PODSTANOWOK. pRI \TOM ISPOLXZU@TSQ IZWESTNYE FORMULY TRI- GONOMETRII

sin2 + cos2 = 1	1 + tg2	1
		=		:
			cos2

nIVE W TABLICE PRIWEDENY TRI SLU^AQ ISPOLXZOWANIQ TRIGONOMET- RI^ESKIH PODSTANOWOK W TAKIH INTEGRALAH.

tABLICA 1.7.

iNTEGRAL

uKAZANIQ K PODSTANOWKE

x2 dx

x = a sin t

dx = a cos tdt

q(a2 ; x2)3

; x = a

cos

; x2 = a cos t

a2 ; x2

t = arcsin ax:

a2 + x2

x = a

tg t

dx = a dt

cos2 t

a2 + x2 =

t = arctg a

cos2at

(a2 + x2)5

a2 + x2

cos t

x2p

a cos t

III

x =

dx = ; sin2 t dt

sin t

;

= a2 cos2 t

x2 ; a2

;

t = arcsin a

sin2 t

a cos t

px2 ; a2 =

sin t

x2dx

x = 2 sin t

4 sin2 t

2 cos t dt

18:

dx = 2 cos t dt

= Z

;

4 sin2 t

;

= 4 Z

sin2 t cos t

cos t

dt = 4 Z

sin t dt = 2 Z (1;cos 2t) dt = 2t ; sin 2t =

= j

t = arcsin

j = 2 arcsin 2

; sin(2 arcsin 2 ) + C:

x = tg t

t dt

19:

= Z

(x2

+1)5

dx =

(tg2t+1)5 cos2 t

cos2 t

t dt

sin t dt

sin

t cos

cos4 t

sin2 t cos t dt =

Z cos4 t

cos2 t!

= Z

sin2 t d(sin t) =

3 sin3 t = j t = arctg x j =

3 sin3(arctg x) + C:

x =

dx =

;2 cos2

t dt

sin t

sin

20: Z

x2;

dx= x2

4 =

4 = 4(1 ; sin2 t)

4 cos2 t

;

sin2 t ;

sin2 t

4 cos2 t

2 cos t

sin t

; sin2 t !

cos

u sin2 t

= Z t

;sin2 t

dt= Z

dt = ; Z

sin t dt =

sin2 t

; Z

1 ; sin2 tdt =

; Z

dt +

sin t dt =

;

cos t

sin t

arcsin

t = arcsin x

= ; ln tg

; cos

arcsinx

+ C:

w ZAKL@^ENIE OTMETIM, ^TO W

RQDE INTEGRALOW BYWAET \FFEKTIWNA

PODSTANOWKA

x = 1=t: nAPRIMER,

21: Z

= x= 1t dx = ;dtt2 t = x1

x2 +x+1

;dt=t

; Z

dt=t2

; Z

(1=t2)p

(1=t)

1=t2 +1=t+1

1+t+t2

d(t+1=2)

= ; Z

= ; ln t +

+ q(t + 1=2)2 + 3=4 =

(t+1=2)2 +3=4

+ v(

+ 2 + 2px2 + x + 1

;

)2 +

;

+ C:

1.3.6. iNTEGRALY OT TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ

pRI INTEGRIROWANII OB[IRNOGO KLASSA TRIGONOMETRI^ESKIH FUNK- CIJ PRIMENQ@TSQ PRAKTI^ESKI WSE METODY INTEGRIROWANIQ. w TABLI- CE 1.8 INTEGRALY OT TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ RAZBITY NA PQTX OSNOWNYH GRUPP. w PERWYH TREH GRUPPAH PRI NAHOVDENII INTEGRALOW PRIMENQETSQ NEPOSREDSTWENNOE INTEGRIROWANIE W SO^ETANII S METO- DOM PODWEDENIQ POD ZNAK DIFFERENCIALA, KOGDA PROISHODIT PRED- WARITELXNOE PREOBRAZOWANIE TRIGONOMETRI^ESKOGO WYRAVENIQ S IS- POLXZOWANIEM RAZLI^NYH FORMUL TRIGONOMETRII.

w INTEGRALAH ^ETWERTOJ I PQTOJ GRUPP ISPOLXZOWANIE PODHODQ]IH PODSTANOWOK POZWOLQET SWESTI INTEGRIROWANIE RACIONALXNYH TRIGO- NOMETRI^ESKIH FUNKCIJ K INTEGRIROWANI@ RACIONALXNYH ALGEBRAI- ^ESKIH DROBEJ.

uNIWERSALXNAQ TRIGONOMETRI^ESKAQ PODSTANOWKA

lEGKO POKAZATX, ^TO ISPOLXZOWANIE, TAK NAZYWAEMOJ UNIWERSALXNOJ TRIGONOMETRI^ESKOJ PODSTANOWKI

= t

SWODIT INTEGRAL OT L@BOJ RACIONALXNOJ TRIGONOMETRI^ESKOJ FUNK-

CII

Z R(cos x

sin x) dx

K INTEGRALU OT RACIONALXNOJ ALGEBRAI-

^ESKOJ DROBI. dEJSTWITELXNO:

2 = t =)

x = 2arctg t

dx =

1 + t2

; tg2

= 1 ; t2

cos x = cos2 x

sin2 x = cos2 x

tg2 x

= 1

;

2 !

1 + tg2

1 + t2

= 2 sin

2tg

sin x = 2 sin x cos x

cos2 x =

cos

1 + tg2

1 + t2

tOGDA POLU^AEM, ^TO

; t22

R(cos x sin x) dx =

dt:

1 + t

s POMO]X@ UNIWERSALXNOJ PODSTANOWKI NAHODQTSQ INTEGRALY WIDA:

sin x dx

a sin x + b cos x + c

cos x

2 cos x + 5

(3 sin x

;

2)2

iNTEGRIROWANIE TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ. tABLICA 1.8.

iNTEGRAL

kRATKIE UKAZANIQ

cos2 x dx

sin2 x =

1 ; cos

cos2 x sin6 x dx

1 + cos 2x

sin4 2x dx:

cos2 x

cos3 x dx

sin5 x dx

cos x dx = d(sin x)

cos4 x sin3 x dx

sin x dx =

;d(cos x)

sin3 x dx

sin2 x = 1

cos2 x

cos x

;

cos3 x

sin4 x

sin4 x = (1 ; cos2 x)2:

[cos( + )+cos( ; )]

cos 2x cos 3x dx

cos cos = 2

sin 3x cos 5x dx

sin cos =

[sin( + )+sin( ; )]

sin 4x sin 2x dx

sin sin =

[cos( ; );cos( + )]

tg 2

= t

x = 2 arctg t

3 + 2 cos x

cos3 x

2dt

sin x

3 cos x

sin x

1 + t2

;dx

sin x

cos x

1 ; t2

3 ; sin x + cos x

1 + t2

tg5x dx

tg x =

arctg t

1 + tg x

dx =

4 + 3 sin2 x

cos4 x

1 + t2

sin2 x dx Z

sin2 x

cos2 x

2 ; sin2 x + 3 cos2 x

1 + t2

= t

cos x =

1 ; t22

1 + t

3 ; 5 sin x + 2 cos x =

dx =

2dt

sin x =

1 + t2

2 dt

= Z

2dt

1+t2

t2) =

;

+ 2

1;t2

3(1 + t2)

;

10t + 2(1

;

1+t

= 2 Z

= 2

;

5) +; p20

;

10t + 5

;

5)2

;

p20

+ C:

2p5

tgxx2

; 5 + p20

;

2 dt

= t

cos x

1+t2

2: Z cos x

= Z

1;t2 = 2 Z 1;t2 =

= dx=

2 dt

1+t2

;

= ln

4 !

+C:

;

t2 ;1

;

t+1

oKON^ATELXNOE WYRAVENIE DLQ PERWOOBRAZNOJ POLU^AETSQ POSLE SO-

OTWETSTWU@]IH TRIGONOMETRI^ESKIH PREOBRAZOWANIJ.

tg x = t

sin x =

2dt

1+t

2dt

1 + t

= Z

sin3 x

(

dx =

1 + t2

1+t

(1 + t2)2

1 + 2t2 + t4

4 Z

dt =

4 Z

dt =

Z (t;3 + t

+ t) dt =

= ;

2 ln jtj +

8 =

ln jtg

2 j +

tg2 2

+ C:

8t2

8tg2

; Z

;

cos

sin

; x

sin

; x

2 ; x = t

;

= : : :

sin3 t

hOTQ UNIWERSALXNAQ TRIGONOMETRI^ESKAQ PODSTANOWKA ZWSEGDA DAET

VELAEMYJ REZULXTAT, NO W RQDE SLU^AEW ONA PRIWODIT K DOWOLXNO GROMOZDKIM RACIONALXNYM DROBQM. rASSMOTRIM RE[ENIE INTEGRA- LOW OT TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ, W KOTORYH ISPOLXZ@TSQ DRUGIE PRIEMY.

tANGENCIALXNAQ PODSTANOWKA

eSLI

sin x

cos x

WHODQT W PODYNTEGRALXNOE WYRAVE-

NIE TOLXKO W

^ E T N Y H

STEPENQH, TO GORAZDO PRO]E ISPOLXZOWATX

PODSTANOWKU

tg x = t

TOGDA

x = arctg t

dx =

1 + t2

cos2 x =

sin2 x = 1 ; cos2 x = 1 ;

1 + tg2x

1 + t2

tAKAQ PODSTANOWKA HARAKTERNA DLQ TAKIH INTEGRALOW

tgk x dx:

3;5 sin2 x

a sin2 x+b cos2 x+c

a+btg x+c tg2x

k TANGENCIALXNOJ PODSTANOWKE PRIBEGA@T TAKVE PRI RE[ENII TAKIH

VE W INTEGRALAH S ^ETNYMI STEPENQMI cos x I sin x W ^ISLITELE I

ZNAMENATELE

cos4 x

sin2 x

cos6 x

sin8 x

tg x

= t

sin2 x =

1 + t2

Z 4 + 3 sin2 x

dx = 1 + t2

d(p7 t)

1+t

= Z 4 + 3

= Z

4(1 + t2) + 3t2

= Z

4 + 7t2 = p7 Z

4 + 7t2 =

1+t

arctg

arctg(

tg x) + C:

tg x = t

cos2 x =

1 + t2

cos4 x

dx =

1 + t2

1+t

tg x

= Z

(

)2 = Z (1 + t ) dt = t + 3 = tg x + 3 + C:

1+t

7: Z

8: Z

tg4x dx =

tg x = t

= Z

t4dt

dx =

1 + t2

(t4 ;

1) + 1 dt =

(t2

; 1)(t2 + 1) dt +

1 + t2

(t2 ; 1) dt + arctg t =

tg3x

3 ; t + arctg t =

; tg x + x + C:

tg x = t

cos x =

1 + t2

cos

x sin x

1 + t2

sin x = p

1 + t2

t2 + 1

1 + t

= Z

t dt = Z t + t ! dt =

) p

1 + t2

x + ln jtg xj + C:

2 + ln jtj =

2tg

mOVNO PREDLOVITX TAKOJ SPOSOB RE[ENIQ INTEGRALOW S PROIZWEDE- NIEM sin x I cos x W ZNAMENATELE

= Z

sin2 x + cos2 x

dx =

sin2 x cos x

= Z

sin2 x

dx + Z

cos2 x

dx = Z

+ Z

cos x

sin2 xdx =

sin2 x cos x

cos x

= Z

+ Z

d(sin x)

sin2 x

4 ;

;

+ C:

cos x

sin x

z A M E ^ A N I E.

IS-

w INTEGRALAH, SODERVA]IH FUNKCI@ ctg x

POLXZUETSQ PODSTANOWKA

ctg x = t

x = arcctg t

dx = ;

1 + t2

KOTORAQ PRAKTI^ESKI NE OTLI^AETSQ OT PODSTANOWKI

tg x = t

ctg x = t

1+t

= : : :

Z 3;ctg x

dx = ;

; Z

3;t

; Z

(1+t2) (3;t)

1 + t2

dALEE RE[AETSQ INTEGRAL OT RACIONALXNOJ DROBI

1 + cos 2

| w INTEGRALAH WIDA Z cos2 x dx Z sin4 x dx

Z sin2 x cos6 x dx

TOLXKO S ^ETNYMI STEPENQMI PODSTANOWKE, RE[ITX INTEGRAL, PENI

cos2 =

sin x cos x	MOVNO, NE PRIBEGAQ K
PRIMENQQ FORMULY PONIVENIQ STE-
sin2 =	1 ; cos 2
	2

s INTEGRALAMI OT cos2 x I sin2 x MY UVE WSTRE^ALISX W DANNOM POSO- BII. rASSMOTRIM BOLEE SLOVNYE PRIMERY.

10:

cos43x dx = Z

cos2 3x

dx = Z

1 + cos 6x

dx =

1+2 cos 6x+cos2

6x dx=

1+cos 12x

! dx=

4 Z

1+2 cos 6x+

4 Z

+2 cos 6x+ 2

cos 12x! dx= 4

sin 6x+

sin 12x! =

sin 6x

sin 12x

+ C:

1 Z cos2 x sin4 x dx = Z

1 + cos 2x

cos 2x

11:

; 2

dx =

Z (1 ; cos2 2x)(1 ; cos 2x) dx = 8

sin2 2x (1 ; cos 2x) dx =

sin2 2x dx

sin2 2x cos 2x dx =

81Z

; 8

Z (1 ; cos 4x) dx ;

sin2 2x cos 2x d(2x) =

sin3 2x + C:

x ;

sin 4x ;

w INTEGRALAH WIDA

sin3 x

cos3 x dx

Z sin5 x dx

sin3 x cos2 x dx

cos4 x

HARAKTERNOJ OSOBENNOSTX@ KOTORYH QWLQETSQ NALI^IE W ^ISLITELE sin x ILI cos x W N E ^ E T N O J STEPENI, MOVNO, NE PRIBE- GAQ K PODSTANOWKE, RE[ITX INTEGRAL, ISPOLXZUQ PODWEDENIQ POD ZNAK DIFFERENCIALA:

sin x dx = ;d(cos x)	cos x dx = d(sin x).
50

12:	Z	sin3 x dx = Z		sin2 x (sin x dx) = ; Z sin2 x d(cos x) =
= ; Z (1 ; cos2 x) d(cos x) = ; Z						(d(cos x) ; cos2 x d(cos x)) =
= ; Z		d(cos x) + Z		cos2 x d(cos x) = ; cos x +					cos3 x	+ C:
									3
	Z	sin5 x		sin4 x				sin4 x
13:		cos2 x dx = Z cos2 x (sin x dx) = ; Z cos2 xd(cos x) =
=	; Z	(1 ; cos2 x)2 d(cos x) =			; Z	1 ; 2 cos2 x + cos4 xd(cos x) =
		cos2 x					cos2 x
= ; Z		d(cos x)	+ 2 Z d(cos x) ; Z			cos2 x d(cos x) =
		cos2 x
						1				1
						=		+ 2 cos x ; 3 cos3 x + C:
							cos x

|w INTEGRALAH WIDA

Z cos 3x cos 5x dx Z sin 5x sin 2x dx Z sin 3x cos 2x dx

ISPOLXZU@TSQ FORMULY, PEREWODQ]IE PROIZWEDENIQ TRIGONOMETRI- ^ESKIH FUNKCIJ RAZNYH ARGUMENTOW W SUMMY (ILI RAZNOSTI). fOR- MULY DANY W TABLICE 1.8.

14:

sin 5x sin 2x dx =

Z (cos 3x ; cos 7x) dx =

cos 3x dx ; 2

Z cos 7x dx = 6 sin 3x ;

sin 7x + C:

15:

cos x cos 2x sin 5x dx =

Z (cos x + cos 3x) sin 5x dx =

cos x sin 5x dx + 1

cos 3x sin 5x dx =

(sin 6x + sin 4x) dx +

(sin 8x + sin 2x) dx =

4 Z1

= ;

cos 6x ;

cos 4x ;

cos 8x ;

cos 2x + C:

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
28.09.20221.01 Mб4glv_1.pdf
#
28.09.2022954.28 Кб2glv_2.pdf
#
28.09.2022136.73 Кб3Таблица интегралов.pdf
#
28.09.202268.01 Кб2Таблица производных.pdf
#
28.09.20222.22 Mб9Терехина Фикс ВМ 2.PDF