glv_2

b

b

1.a)

Vox = Za

y2(x) dx

2. Vox = aZ [y22(x) ;y12(x)] dx

8 x = x(t)

t2

1.b)

Vox = y2(t) x0(t) dt

< y = y(t)

tZ1

:

d

d

3. Voy = Zc

x2(y) dy

4. Voy = Zc [x22(y) ; x12(y)] dy

Voy = 2 Zb x y (x) dx

6. FWRox: = 2 Zb y(x)

5.

1 + yx02

dx:

a

a

q

4. nAJTI OB_EM TELA WRA]ENIQ WOKRUG OSI OX FIGURY, OGRANI-

^ENNOJ LINIQMI y = p2 ; x y = x + 4 y = 0:

dELAEM RISUNOK I WIDIM, ^TO DANNYJ SLU^AJ SO-

OTWETSTWUET SLU^A@ 1.a) TABLICY 2, NO S TOJ RAZ-

NICEJ, ^TO PRI IZMENENII x OT ;4 DO 2 FIGURA

SWERHU OGRANI^ENA DWUMQ LINIQMI, I OB_EM TELA

WRA]ENIQ BUDET RAWEN SUMME OB_EMOW.

nAJDEM KOORDINATY TO^KI PERESE^ENIQ PRQMOJ I PARABOLY

x + 4 = p

x2 + 8x + 16 = 2

; x

=)

2

; x =)

=)

x2

+ 9x + 14 = 0

=)

x1 =

;7

x2

= ;2

(x1

= ;7 -

POSTORONNIJ KORENX

.)

tAKIM OBRAZOM, IMEEM

y(x) = 8 x

+ 4 x

2

[;4

;2]

x

< p2

;

x

2

[

2 2]:

:

;b

Vox

= Za

2

(x) dx

-

pRI NAHOVDENII OB_EMA PO FORMULE

y

NEOB

HODIMO RAZBITX INTEGRAL NA DWA INTEGRALA, W KAVDOM IZ KOTORYH

BUDET SWOQ PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ

;2

2

;2

Vox = Z (x + 4)2 dx + Z (p2 ; x)2 dx =

Z (x2 + 8x + 16) dx+

2

;4

x3

;2

;2

;4

x2

2

32

2 =

+ Z (2 ; x) dx = ( 3

+ 4x2 + 16x)

;

4 + (2x ;

2 )

;

3 :

;2

5.

nAJTI OB_EM TELA WRA]ENIQ WOKRUG OSI OX FIGURY,

OGRA-

NI^ENNOJ LINIQMI y = 2 x3

y = px ; 1

y = 0

y = 2:

Vox = V1 + V2 = Z1(2x3)2 dx + Z5

22 ; (p

x ; 1)2

dx =

0

1

= Z1

4x6 dx + Z5 (4

; (x ; 1)) dx = Z1

4x6 dx + Z5

(5 ; x) dx =

0

4x7

1

1

x2

5

0

1

+ 05x

4

25 1

60

=

7

0

; 2 1

1 =

7

+ 25 ; 5

; 2 + 2

= 7 :

@

A

6.

nAJTI OB_EM TELA WRA]ENIQ WOKRUG OSI OY FIGURY, OGRA-

NI^ENNOJ LINIQMI

x2 + 4y2 = 2

x = 2y

x = 0 (x 0 y 0):

sWERHU FIGURA OGRANI^ENA \LLIPSOM, KANONI^ESKOE URAWNENIE KOTO-

x2

y2

= 1 POLUOSI a = p

b = 1=p

ROGO

+

2

2

2

1=2

d

Voy = Zc

2

NEOBHODIMO RAZBITX NA DWA

TAK KAK

x (y) dy

,

8

1

2y

y 2 [0

]

2

x(y) = > p

1

1

2

<

2

4y

y

[

]:

;

2

2

p2

>

:

tO^KI PERESE^ENIQ \LLIPSA I PRQMOJ

NAHODQTSQ IZ RAWENSTWA

p

2

;

4y

2

= 2y

=

2 ; 4y

2

2

2

)

= 4y

8y

= 2

y = 1=2:

V1 OT WRA]ENIQ PRQMOJ

x = 2y

I OB_EMA V2

OT WRA]ENIQ DUGI \L-

LIPSA

1=2

1=p2

1=2

1=p2

Voy = V1+V2 = Z (2y)2 dy+ Z (2;4y2) dy = Z 4y2 dy+ Z (2;4y2) dy =

0

1=2

0

1=2

4y3

4y3

1=p

1

2

4

1

1

1=2

2

=

3

j

0

+ 02y

; 3

1

j

1=2

= 0

+ p

;

1

;3

p

3

+ 1

0

86:

@

A

6

2

( 2)

6

@

A

7. nAJTI OB_EM TELA WRA]ENIQ WOKRUG OSI OY FIGURY, OGRANI-

^ENNOJ LINIQMI

y = sin x y = 0 0 x :

pRI NAHOVDENII OB_EMA TELA WRA]ENIQ PO

d

FORMULE Voy = Zc

x2(y) dy NAM POTREBUETSQ

RE[ATX INTEGRAL

R arcsin2 y dy

^TO QWLQETSQ DOWOLXNO TRUDOEMKOJ

ZADA^EJ, PO\TOMU WOSPOLXZUEMSQ FORMULOJ 5, TABLICA 2.3

b

Voy = 2 Za

x y(x) dx = 2 Z x

sin x dx =

j iNTEGRIRUQ PO ^ASTQM

POLU^IM j

;x

0

cos( ) = ; (;1) = :

=

cos x j0 + sin x j0 = ;

8. nAJTI OB_EM TELA WRA]ENIQ WOKRUG OSI OY FIGURY, OGRANI-

^ENNOJ CIKLOIDOJ

8 x = t

; sin t

I OSX@ OX :

y = 0:

< y = 1

; cos t

:

b

Voy = 2 aZ

x y(x) dx

W KOTOROJ DELAEM ZAMENU PEREMENNOJ

dx = x0

x = t

;

sin t

y = 1

;

cos t

dt

= (1

;

cos t) dt

t

pRIRAWNIWAQ

y = 1 ; cos t

I y = 0 NAHODIM PREDELY INTEGRI-

ROWANIQ

t1 = 0 t2

= 2 :

2

tOGDA

Voy

= 2 Z (t ; sin t) (1 ; cos t) (1 ; cos t) dt =

2

0

2

= 2 Z

(t;sin t) (1;cos t)2 dt = 2 Z (t;sin t) (1;2 cos t+cos2 t) dt =

0

0

2

= 2 Z

(t ; sin t ; 2t cos t + 2 sin t cos t + t cos2 t ; sin t cos2 t) dt =

0

2

t

t cos 2t

= 2 Z (t ;sin t ;2t cos t + 2 sin t cos t +

;sin t cos2 t) dt =

+

2

2

0

2

t

3

t2

2

= 2 Z (t +

) dt = 2 2

= 6 3:

2

2 0

0

nAPRIMER, K NEBERU]IMSQ OTNOSQTSQ INTEGRALY

Z

ex2 dx

Z

cos(x2) dx

Z

sin(x2) dx

Z

dx

Z

sin x

dx

ln x

x

cos x

Z

x

dx

Z arctg2x dx

Z xtg x dx

b

pRIBLIVENNOE RAWENSTWO

Za

f(x) dx

b ; a

[ y0 + y2n + 2(y2

+ : : : + y2n

;

2) + 4(y1 + : : : + y2n

;

1) ]

6n

NAZYWAETSQ

FORMULOJ PARABOL ILI FORMULOJ sIMPSONA.