Добавил:

menson13 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

Математический анализ

Файл:

glv_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.09.2022

Размер:

954.28 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

[a 1),

2.3. nESOBSTWENNYE INTEGRALY

rANEE BYLO OTME^ENO, ^TO, ESLI FUNKCIQ y = f(x) { NEPRE- RYWNA ILI KUSO^NO-NEPRERYWNA W KONE^NOM INTERWALE [ a b ] TO

OPREDELENNYJ INTEGRAL (KAK PREDEL INTEGRALXNOJ SUMMY) OT DANNOJ FUNKCII W \TOM PROMEVUTKE SU]ESTWUET, RAWEN OPREDELENNOMU ^ISLU I W GEOMETRI^ESKOM SMYSLE ESTX PLO]ADX KRIWOLINEJNOJ TRAPECII. eSLI PROMEVUTOK BESKONE^EN ILI FUNKCIQ NEOGRANI^ENA W KONE^- NOM INTERWALE, TO INTEGRAL NELXZQ OPREDELITX KAK PREDEL INTEG-

RALXNOJ SUMMY T.K.:

BESKONE^NYJ PROMEVUTOK NELXZQ RAZBITX NA KONE^NOE ^ISLO PRO- MEVUTKOW KONE^NOJ DLINY,

W SLU^AET VE NEOGRANI^ENNOJ FUNKCII INTEGRALXNU@ SUMMU FOR- MALXNO SOSTAWITX MOVNO, NO ONA NE BUDET IMETX KONE^NOGO PREDELA. w SOOTWETSTWII SO SKAZANNYM RAZLI^A@T DWA TIPA NESOBSTWENNYH

INTEGRALOW.

2.3.1. iNTEGRAL PO BESKONE^NOMU PROMEVUTKU

pUSTX FUNKCIQ y = f(x) NEPRERYWNA W POLUBESKONE^NOM PROMEVUTKE

[a 1).
o P R E D E L E N I E.	nESOBSTWENNYM INTEGRALOM I-GO RODA NAZYWA-
ETSQ KONE^NYJ ILI BESKONE^NYJ PREDEL WIDA
1	b
1	f(x) dx = blim!1 Za
Za	f(x) dx = blim!1 Za	f(x) dx:
k NESOBSTWENNOMU INTEGRALAM I-GO RODA OTNOSITSQ TAKVE INTEGRAL
b		b
Z f(x) dx = a!;1lim		Za	f(x) dx:
;1

oPREDELENIE NESOBSTWENNOGO INTEGRALA DAET ODNOWREMENNO I METOD EGO WY^ISLENIQ. wY^ISLENIE TAKIH INTEGRALOW SWODITSQ K NAHOV- DENI@ PREDELA OBY^NOGO OPREDELENNOGO INTEGRALA, KOTORYJ MOVET BYTX NAJDEN PO FORMULE nX@TONA - lEJBNICA.

tAK, ESLI FUNKCIQ y = f(x) NEPRERYWNA NA INTERWALE I 62F(x); PERWOOBRAZNAQ DLQ f(x) TO

Z1f(x) dx = blim F(x)		b
		a = blim F (b) ; F(a):
a	!1	!1

eSLI \TOT PREDEL SU]ESTWUET, TO INTEGRAL S H O D I T S Q. w PROTIW- NOM SLU^AE INTEGRAL R A S H O D I T S Q.

aNALOGI^NO MOVET BYTX RASSMOTREN INTEGRAL

b		b
Z	f(x)dx=	lim	f(x)dx=	lim (F(b)	;	F (a))= F (b)	lim F (a):
Z		a!;1 Za		a!;1	;		;a!;1
;1

iTAK, PRI WY^ISLENII NESOBSTWENNYH INTEGRALOW I- GO TIPA MY ZAME- NQEM BESKONE^NYJ PREDEL INTEGRIROWANIQ PEREMENNYM WERHNIM (ILI NIVNIM) PREDELOM, RE[AEM INTEGRAL KAK OBY^NYJ OPREDELENNYJ, A ZATEM PEREHODIM K PREDELU PRI b ! +1 (ILI a ! ;1:)

iNTEGRAL S DWUMQ BESKONE^NYMI PREDELAMI OPREDELQETSQ TAK

1	c	1
1	f(x) dx = Z	1
Z	f(x) dx = Z	f(x) dx + Zc	f(x) dx:
;1	;1

mOVNO NE PRIBEGATX K WWEDENI@ PROMEVUTO^NOJ TO^KI c I WY^ISLQTX DWOJNOJ PREDEL

Z1 f(x)dx = a			b
Z1 f(x)dx = a		lim	Za	f(x)dx = blim	F (b) ; a lim F(a):
;1		! ;1		!1	!;1
	b ! +1

w GEOMETRI^ESKOM SMYSLE NESOBSTWENNYE INTEGRALY I-GO RODA MOVNO

RASSMATRIWATX KAK PLO]ADI BESKONE^NYH WPRAWO, WLEWO ILI W OBE STORONY KRIWOLINEJNYH TRAPECIJ.

1	dx		b	dx
1: Z		= blim	Z			= blim arctg x
1: Z	1 + x2	= blim	Z	1 + x2		= blim arctg x
0		!1	0			!1
= blim arctg b ; arctg 0 =						:
= blim arctg b ; arctg 0 =					2	:
!1

0 = iNTEGRAL SHODITSQ.

= blim Z

d (ln x)

1 =

2: Z

= blim

x ln3 x

ln3 x

2 ln2 x

!1pe

0 lim

;

4) = 2.

iNTEGRAL SHODITSQ.

;2 @b!1 ln b ; ln

peA

d(x + 3)

: blim 2px + 3

= blim

x + 3

iNTEGRAL

= lim 2p

b + 3

;

RASHODITSQ.

x cos x dx = a!;1lim 0x sin x

a + cos x

a1 =

lim

a sin a

+ 1@

lim

cos a:

= 0

; a!;1

iNTEGRAL RASHODITSQ T.K. KONE^NOGO PREDELA NET, POSKOLXKU

sin 1

cos 1

HOTQ I OGRANI^ENY,

NO KONKRETNYH ^ISLOWYH ZNA^ENIJ NE

IME@T.

1 arctg2x dx

1 + x2

= a

lim

arctg2 x d (arctg x) =

! ;1

b b

arctg3 x

arctg3 b

1 arctg3

lim

a =

! ;1 3

b!+1

; a!;1

;

;2 !

3 8 =

3 2

3 8

iNTEGRAL SHODITSQ.

zDESX PRI WY^ISLENII ISPOLXZOWANY ZNA^ENIQ arctg( 1) =

w RQDE SLU^AEW NAHOVDENIE PERWOOBRAZNOJ FUNKCII TREBUET LIBO GROMOZDKIH WY^ISLENIJ, LIBO PERWOOBRAZNOJ W KLASSE \LEMENTARNYH FUNKCIJ NE SU]ESTWUET (INTEGRAL NEBERU]IJSQ). w TAKIH SLU^AQH NA PERWYJ PLAN WYSTUPAET RE[ENIE WOPROSA O SU]ESTWOWANII INTEGRALA WOOB]E, T.E. O EGO SHODIMOSTI. tOGDA, ESLI INTEGRAL RASHODITSQ, TO I NE NUVNO PRISTUPATX K EGO WY^ISLENI@. eSLI VE WYQSNITSQ, ^TO INTEGRAL SHODITSQ, TOGDA, PRI NEOBHODIMOSTI, NUVNO ISPOLXZOWATX WSE WOZMOVNYE PRIEMY DLQ EGO WY^ISLENIQ.

oSTANOWIMSQ PODROBNEE NA WOPROSE O PRIZNAKAH SHODIMOSTI NESOB- STWENNYH INTEGRALOW I-GO RODA.

qx q < 1.

pRIZNAK SRAWNENIQ

pUSTX DLQ WSEH (PO KRAJNEJ MERE DLQ DOSTATO^NO BOLX[IH) ZNA^E-

NIJ x WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jf(x)j jg(x)j:		tOGDA,
1		1
ESLI SHODITSQ INTEGRAL aZ	g(x) dx TO SHODITSQ I INTEGRAL aZ		f(x) dx:
	1		1
eSLI RASHODITSQ INTEGRAL	Za		Za
eSLI RASHODITSQ INTEGRAL	f(x)dx TO RASHODITSQ I INTEGRAL		g(x)dx:

iLI, DRUGIMI SLOWAMI, ESLI SHODITSQ INTEGRAL OT BOLX[EJ FUNK- CII, TO SHODITSQ INTEGRAL I OT MENX[EJ FUNKCII.

eSLI RASHODITSQ INTEGRAL OT MENX[EJ FUNKCII, TO INTEGRAL OT BOLX[EJ FUNKCII TEM BOLEE RASHODITSQ.

~A]E WSEGO NA PRAKTIKE ISPOLXZUETSQ PREDELXNYJ WARIANT PRI- ZNAKA SRAWNENIQ, SUTX KOTOROGO KRATKO MOVNO SFORMULIROWATX SLE-

DU@]IM OBRAZOM.
eSLI PREDEL OTNO[ENIQ DWUH FUNKCIJ lim	f(x)	= Const		6	= 0
x!1	'(x)			6
	1		1
TO NESOBSTWENNYE INTEGRALY OT \TIH FUNKCIJ Za g(x) dx			Za	f(x) dx

WEDUT SEBQ ODINAKOWO { LIBO OBA SHODQTSQ, LIBO OBA RASHODQTSQ.

pRI ISPOLXZOWANII PRIZNAKA SRAWNENIQ W KA^ESTWE FUNKCII, S KO- TOROJ SRAWNIWAETSQ PODYNTEGRALXNAQ, ISPOLXZU@TSQ DWE

g(x) = xAk I g(x) = qx:

mOVNO DOKAZATX, ^TO NESOBSTWENNYE INTEGRALY OT \TIH FUNKCIJ WE- DUT SEBQ SLEDU@]IM OBRAZOM:

1dx		k > 1 SHODITSQ			1	q < 1 SHODITSQ
aZ xk	PRI	k	1 RASHODITSQ:		Za qx dx PRI	q	1 RASHODITSQ:
iTAK, NESOBSTWENNYJ INTEGRAL S BESKONE^NYMI PREDELAMI SHODITSQ,
ESLI PRI x		! 1			A
ESLI PRI x				PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ QWLQETSQ BESKONE^NO

MALOJ FUNKCIEJ, \KWIWALENTNOJ xk k > 1 ILI iSSLEDUEM NA SHODIMOSTX INTEGRALY.

(3x + 2) dx

iNTEGRAL SHODITSQ, T.K. PRI x ! 1

x3 + 4x

3x + 2;

k = 2 > 1:

x3 + 4x

; 1

( px + 2x + 5) dx

iNTEGRAL RASHODITSQ, T.K. PRI x ! ;1

4x2 + 4x + 10

px + 2x + 5

k = 1:

4x2 + 4x + 10

4x2

(x + 2) dx

3: Z

iNTEGRAL RASHODITSQ, T.K. PRI

x ! 1

(x2 + x + 1)4

x + 2

k = 3=5 < 1:

3=5

(x + x + 1) px8 x

! 1

2x + 5x

; 4

dx:

iNTEGRAL SHODITSQ, T.K. PRI x

1 3x

;

;4x

q =

4 < 1:

+ 5x

5x ;

5: Z

= Z

+ Z

1 + 2x + ex

iNTEGRAL RASHODITSQ, T.K. RASHODITSQ PERWYJ INTEGRAL:

iNTEGRAL RASHODITSQ, T.K. PRI x ! ;1 ex ! 0

1 + 2x + ex

k = 1:

1 + 2x + ex

1 + 2x

: iNTEGRAL SHODITSQ, T.K. PRI x ! +1

ex 2x + 1

1 + 2x + ex

q = 1=e < 1:

1 + 2x + ex

pRI ASIMPTOTI^ESKOM PREDSTAWLENII FUNKCII ^ASTO ISPOLXZUETSQ

TABLICA \KWIWALENTNYH BESKONE^NO MALYH WELI^IN.				2(x)
sin (x) (x)	arcsin (x) (x)	1 ; cos (x)
				2
tg (x) (x)	arctg (x) (x)	ln(1 + (x)) (x)
		(x)
	n
e (x) ; 1 (x)	q1 + (x) ; 1		:
		n

1arctg(1=x)				dx:		iNTEGRAL SHODITSQ, T.K. PRI x ! 1
6: Z	2x	;	3
1					1=x		1
	arctg(1=x)
									k = 2 > 1:
	2x ; 3					2x		2x2

2.3.2. iNTEGRAL OT NEOGRANI^ENNOJ FUNKCII

pUSTX FUNKCIQ y = f(x) NEPRERYWNA W POLUOTKRYTOM KONE^NOM PRO-

MEVUTKE [a

b) I

lim

f(x) =

T.E. FUNKCIQ NA PRAWOM KONCE

x!b;0

PROMEVUTKA TERPIT BESKONE^NYJ RAZRYW. tOGDA

o P R E D E L E N I E.

nESOBSTWENNYM INTEGRALOM II-GO RODA NAZY-

WAETSQ KONE^NYJ ILI BESKONE^NYJ PREDEL WIDA

b;"

f(x) dx = lim

f(x) dx:

"!0

tAK KAK W PROMEVUTKE

[a b ; "]

FUNKCIQ y = f(x) QWLQETSQ NEPRE-

RYWNOJ, TO INTEGRAL

bZ;"f(x) dx QWLQETSQ OBY^NYM OPREDELENNYM

INTEGRALOM I K NEMU PRIMENIMA FORMULA nX@TONA-lEJBNICA.

f(x) dx = lim

f(x) dx = lim F(b

;

F (a):

"!0

eSLI FUNKCIQ y = f(x) NEPRERYWNA W KONE^NOM PROMEVUTKE (a b] I

lim f(x) = 1 T.E. BESKONE^NYJ RAZRYW FUNKCIQ TERPIT NA LEWOM

x!a+0

KONCE PROMEVUTKA, TO IMEEM INTEGRAL WIDA

b	"	0	b
Za	"	0	Z
	f(x) dx = lim			f(x) dx:
		! a+"

oPREDELQETSQ ON PO ANALOGI^NOJ SHEME

b			b
Za	f(x) dx = lim		Z	f(x) dx = F (b)	lim (F (a + ")) :
Za	"	0	Z		; "	!	0
		!	a+"			!

eSLI FUNKCIQ TERPIT BESKONE^NYJ RAZRYW WO WNUTRENNEJ TO^KE c PROMEVUTKA, TO NESOBSTWENNYJ INTEGRAL OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM

Zb f(x) dx = Zc		f(x) dx + Zb f(x) dx:
a	a	c

w KAVDOM IZ SLAGAEMYH RAZRYW PROISHODIT NA ODNOM IZ KONCOW PRO- MEVUTKA I ZADA^A SWODITSQ K UVE RASSMOTRENNYM WY[E SLU^AQM

b	"	0	c;"	"	0	b
Z	"	0	Z	"	0	Z
	f(x) dx = lim			f(x) dx + lim			f(x) dx:
a	!		a		! c+"

tAKIM OBRAZOM, PRI RASSMOTRENII NESOBSTWENNYH INTEGRALOW II-GO RODA MY OTSTUPAEM OT TO^KI RAZRYWA WNUTRX PROMEVUTKA NA MALU@, STREMQ]U@SQ K NUL@, WELI^INU " WY^ISLQEM POLU^A@]IJSQ INTEG- RAL PO FORMULE nX@TONA - lEJBNICA, A ZATEM PEREHODIM K PREDELU PRI " ! 0:

eSLI PREDEL SU]ESTWUET, TO INTEGRAL NAZYWAETSQ SHODQ]IMSQ, ES- LI NET, TO RASHODQ]IMSQ.

w GEOMETRI^ESKOM SMYSLE NESOBSTWENNYE INTEGRALY II-GO RODA ESTX TAKVE PLO]ADI BESKONE^NYH KRIWOLINEJNYH TRAPECIJ.

z A M E ^ A N I E. pOSKOLXKU PO WNE[NEMU WIDU NESOBSTWENNYJ INTEG- RAL II-GO RODA NE OTLI^AETSQ OT OBY^NOGO OPREDELENNOGO INTEGRALA, TO PRI RE[ENII OPREDELENNOGO INTEGRALA NEOBHODIMO PREVDE WSEGO PROWERITX, NE QWLQETSQ LI ON NESOBSTWENNYM. dLQ \TOGO NUVNO ISSLE- DOWATX PODYNTEGRALXNU@ FUNKCI@ NA NEPRERYWNOSTX, T.E. UZNATX, NE IMEET LI ONA TO^EK RAZRYWA II-GO RODA W INTERWALE INTEGRIROWANIQ, A ZATEM UVE PRISTUPATX K WY^ISLENIQM SOOTWETSTWENNO SITUACII. pEREJDEM K RE[ENI@ PRIMEROW.

5		dx
1: Z	p				: pODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ STREMITSQ K BESKONE^-

		x	;	1
1
NOSTI PRI x				! 1 PO\TOMU DEJSTWUEM PO OPREDELENI@ NESOBSTWENNOGO
INTEGRALA

= lim

= lim 2px

;

1+"

;

! 1+"

(1 + ")

= 4

0 = 4:

= lim 2

;

; q

;

lim(2p") = 4

;

"!0

; "!0

nESOBSTWENNYJ INTEGRAL SHODITSQ.

x dx

pODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ TERPIT BESKONE^NYJ

(x2

;

4)2

RAZRYW NA PRAWOM KONCE PROMEVUTKA PRI x = 2 PO\TOMU DEJSTWUEM

PO OPREDELENI@ NESOBSTWENNOGO INTEGRALA

x dx

= lim

2;"

x dx

= lim

2;" d (x2

; 4)

(x2

4)2

(x2

4)2

(x2

4)2

; 1

2;" ;

;

= lim

lim

")2

4 ;

;

0 (2

;

lim

;

;2 0

;

"!0

nESOBSTWENNYJ INTEGRAL RASHODITSQ.

1dx

3: ;Z1 p3 x2 :

pODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ TERPIT BESKONE^NYJ RAZRYW WO WNUTREN- 1

NEJ TO^KE PROMEVUTKA PRI x = 0, T.K. lim p3 = +1 PO\TOMU

x! 0 x2

DEJSTWUEM PO OPREDELENI@ NESOBSTWENNOGO INTEGRALA.

;

lim

+lim

= lim 3px

+lim 3px

" 0

px2

px2 "

;

0+"

= lim 3p

;

1 + 3p1

lim 3p+"

= 3p1 + 3p1 = 6:

"!0

; "!0

nESOBSTWENNYJ INTEGRAL SHODITSQ.

kAK I DLQ INTEGRALOW I-GO TIPA W RQDE SLU^AEW, KOGDA NEPOSREDST- WENNOE WY^ISLENIE INTEGRALA ZATRUDNITELXNO, LIBO INTEGRAL NEBE- RU]IJSQ, NA PERWYJ PLAN WYSTUPAET RE[ENIE WOPROSA O SU]ESTWOWA- NII INTEGRALA WOOB]E. oSTANOWIMSQ PODROBNEE NA WOPROSE O PRIZNA- KAH SHODIMOSTI NESOBSTWENNYH INTEGRALOW II-GO RODA.

W WIDE

(O^ENX \FFEKTIWNO PRI \TOM ISPOLX-

pRIZNAK SRAWNENIQ

	b
dLQ NESOBSTWENNYH INTEGRALOW 2-GO RODA	Za	g(x) dx MOVNO
SFORMULIROWATX PRIZNAKI SRAWNENIQ TAKVE,	KAK I DLQ INTEGRALOW

1-GO RODA.

nA PRAKTIKE ^ASTO ISPOLXZUETSQ PREDELXNYJ WARIANT PRIZNAKA SRAWNENIQ PRI\TOM W KA^ESTWE [ABLONNOJ FUNKCII, S KOTOROJ SRAW- NIWAETSQ PODYNTEGRALXNAQ, ISPOLXZU@TSQ FUNKCII WIDA

A	A
		,
(b ; x)k	(x ; a)k

PERWAQ IZ NIH IMEET BESKONE^NYJ RAZRYW W TO^KE x = b A WTORAQ { W TO^KE x = a:

lEGKO POKAZATX, ^TO NESOBSTWENNYE INTEGRALY OT \TOJ FUNKCIJ WE- DUT SEBQ SLEDU@]IM OBRAZOM:

b	dx		b	dx		k < 1 SHODQTSQ
Z		I	Z		PRI
	(b x)k			(x a)k		k 1 RASHODQTSQ:
a	;		a	;

tAKIM OBRAZOM, PRI RE[ENII WOPROSA O SHODIMOSTI NESOBSTWENNYH INTEGRALOW II-GO RODA SLEDUET

{ OPREDELITX TO^KU RAZRYWA PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII,

{ PODYNTEGRALXNU@ FUNKCI@ WBLIZI TO^KI RAZRYWA PREDSTAWITX

A A

(b ; x)k ILI (x ; a)k

ZOWANIE TABLICY \KWIWALENTNYH BESKONE^NO MALYH WELI^IN),

{ PO WELI^INE POKAZATELQ STEPENI "k" SDELATX WYWOD O SHODIMOSTI ISHODNOGO INTEGRALA.

iSSLEDUEM NA SHODIMOSTX SLEDU@]IE INTEGRALY.

x5 dx

4: Z

rAZLOVIW ZNAMENATELX NA MNOVITELI, WIDIM,

(x2

;

9)7

^TO PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ TERPIT BESKONE^NYJ RAZRYW W TO^KAH

x =

3: w INTERWAL INTEGRIROWANIQ WHODIT TOLXKO x = 3 PRI \TOM

lim

(x2

9)7

3)7(x + 3)7

x!3;0

x!3;0 (x

; x5

;x5

tOGDA,

(x2 ; 9)7

(x ; 3)7(x + 3)7

87 (x

; 3)7

(x ; 3)7

T.K. k = 7 > 1{

INTEGRAL RASHODITSQ.

;1=2

x2 dx

pODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ TERPIT RAZRYW

q(1 + x )

NA LEWOM KoNCE INTERWALA INTEGRIROWANIQ { W TO^KE x =

;

1 TAK

KAK

lim

q(1 + x )

zAPI[EM ASIMPTOTI^ESKOE PREDSTAWLENIE FUNKCII W OKRESTNOSTI TO^-

KI RAZRYWA

(1+x)2=3(1

;

x+x2)2=3

32=3

(1+x)2=3

q(1+x

)

T.K. k = 2=3 < 1 { INTEGRAL SHODITSQ.

6: Z

pODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ TERPIT RAZRYW W

(x2

+ 5x)3

TO^KE x = 0 PROMEVUTKA INTEGRIROWANIQ

lim

(x2 + 5x)3

zAPI[EM

x3=2(x + 5)3=2

53=2

x3=2

q(x

+ 5x)

T.K. k = 3=2 > 1{ INTEGRAL RASHODITSQ.

pRIWEDEM PRIMERY ISPOLXZOWANIQ TABLICY \KWIWALENTNYH BESKONE^-

NO MALYH WELI^IN.

pODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ TERPIT BESKONE^NYJ

ex+1

;

RAZRYW PRI

x =

;

1 TAK KAK

lim

1+0 ex+1

x+1

iMEEM, ^TO PRI x ! ;1 (x + 1) ! 0

; 1

(x + 1)

PO\TOMU

iNTEGRAL RASHODITSQ, T.K. k = 1

ex+1

; 1

(x + 1)

: pODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ TERPIT BESKONE^-

1 ; cos x

NYJ RAZRYW PRI x = 0

[

;

2 0]:

xlim0

iMEEM, ^TO PRI x ! 0

; cos x

(1 ; cos x) ! 0

1 ; cos x

(x =2) PO-

\TOMU

iNTEGRAL SHODITSQ,

=2) x2=5

p5 1

;

cos x

5 (x2

T.K. k = 2=5 < 1:

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
28.09.20221.01 Mб4glv_1.pdf
#
28.09.2022954.28 Кб2glv_2.pdf
#
28.09.2022136.73 Кб3Таблица интегралов.pdf
#
28.09.202268.01 Кб2Таблица производных.pdf
#
28.09.20222.22 Mб9Терехина Фикс ВМ 2.PDF