|
|
|
Лабораторная работа №4 |
|||
|
|
|
Решение систем линейных уравнений |
|||
|
|
|
1. |
Метод простой итерации |
||
Постановка задачи: Дана система линейных уравнений |
||||||
8x1 |
-2x2 |
+x3 |
=3 |
|
|
|
|
-5x2 |
+2x3 |
=4 |
|
|
|
2x1 |
-x2 |
+6x3 |
=4 |
|
|
|
Найти приближенное решение с заданной степенью точности eps |
||||||
Выполнить ручной счет |
еps=0,1(не более 3-х итераций) |
|
||||
Реализация в MCAD |
еps=0,01 |
|
|
|||
Реализация в MSExcel |
еps=0,01 |
|
|
|||
Ручной счет |
|
|
|
|
||
Запишем систему в матричном виде [ |
] [ ] [ ] (A*x=B) |
|||||
1.Для того чтобы получить решение с помощью этого метода необходимо чтобы матрица A удовлетворяла следующим требования:
вматрице A абсолютные значения всех диагональных элементов были больше суммы модулей всех остальных элементов в соответствующей строке.
,что означает |8|>|-2|+|1||8|>|3|
Aii Aij |-5|>|0|+|2| |5|>|2|
i 1,i j |
|6|>|2|+|-1| |
|6|>|3| |
|
Данное условие называется условием сходимости метода.
2.Если условие сходимости выполнено, то на следующем этапе необходимо задать начальное приближение неизвестных, в качестве которого обычно выбирается нулевые значения:
Верхний индекс - номер итерации (приближения).
3. Формируем циклический процесс, каждый цикл которого представляет собой одну итерацию. В результате каждой итерации получается новое значение неизвестных. Для организации итерационного процесса запишем нашу систему в приведенном виде – из 1-го уравнения выражаем x1, из 2-го уравнения выражаем x2, из 3-го уравнения выражаем x3.
Приведенная система уравнений имеет вид:
{
Запишем итерационную формулу метода простой итерации:
{
Переходим к вычислению 1-ой итерации: i=0
Проверим достигнута ли точность:
|x11-x10|<eps |
|0,38-0|<0,1 |
|
|0,38|<0,1 нет |
|x21-x20|<eps |
|-0,80-0|<0,1 |
|0,80|<0,1 нет |
|
|x31-x30|<eps |0,67-0|<0,1 |
|0,67|<0,1 нет |
||
Точность не достигнута, следовательно продолжаем процесс вычисления. Переходим к вычислению 2-ой итерации:
i=1
Проверим достигнута ли точность: |
|
|
|x12-x11|<eps |
|0,09-0,38|<0,1 |
|0,28|<0,1 нет |
|x22-x21|<eps |
|-0,53-(-0,80)|<0,1 |
|0,27|<0,1 нет |
|x32-x31|<eps |
|0,41-0,67|<0,1 |
|0,26|<0,1 нет |
Точность не достигнута, следовательно, продолжаем процесс вычисления.
Переходим к вычислению 3-ой итерации: i=2
Проверим достигнута ли точность: |
|
|
|x13-x12|<eps |
|0,19-0,09|<0,1 |
|0,10|<0,1 нет |
|x23-x22|<eps |
|-0,64-(-0,53)|<0,1 |
|0,11|<0,1 нет |
|x33-x32|<eps |
|0,55-0,41|<0,1 |
|0,14|<0,1 нет |
Точность не достигнута, следовательно, продолжаем процесс вычисления.
Переходим к вычислению 4-ой итерации: i=3
Проверим достигнута ли точность: |
|
|
|x13-x12|<eps |
|0,15-0,21|<0,1 |
|0,06|<0,1 да |
|x23-x22|<eps |
|-0,58-(-0,64)|<0,1 |
|0,06|<0,1 да |
|x33-x32|<eps |
|0,55-0,50|<0,1 |
|0,05|<0,1 да |
Вывод: точность достигнута, следовательно значения x1=0,15 x2=-0,58 x3=0,50 можно считать приближенным решением системы линейных уравнений с точностью 0,1.
Реализация в MS Excel
Здесь правые части из формул |
Выделить диапазон |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зажать левую кнопку и |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
не отпуская, двигать |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мышь право, пока не |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
появятся слова ИСТИНА в |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
{ |
|
|
|
|
трех строках |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Реализация в MCAD
Здесь у всех одинаково
2.Метод Зейделя Постановка задачи: Дана система линейных уравнений
8x1 |
-2x2 |
+x3 |
=3 |
|
-5x2 |
+2x3 |
=4 |
2x1 |
-x2 |
+6x3 |
=4 |
Найти приближенное решение с заданной степенью точности eps
Выполнить ручной счет |
еps=0,1(не более 3-х итераций) |
|
|
Реализация в MCAD |
еps=0,01 |
|
|
Реализация в MSExcel |
еps=0,01 |
|
|
Ручной счет |
|
|
|
Запишем систему в матричном виде [ |
] [ ] [ ] (A*x=B) |
||
1.Для того чтобы получить решение с помощью этого метода необходимо чтобы матрица A удовлетворяла следующим требования:
вматрице A абсолютные значения всех диагональных элементов были больше суммы модулей всех остальных элементов в соответствующей строке.
Aii |
|
|
|
|
Aij |
|
,что означает |8|>|-2|+|1||8|>|3| |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|-5|>|0|+|2| |
|5|>|2| |
||||
|
|
|
i 1,i j |
|
|
|
||
|6|>|2|+|-1| |6|>|3|
Данное условие называется условием сходимости метода.
2.Если условие сходимости выполнено, то на следующем этапе необходимо задать начальное приближение неизвестных, в качестве которого обычно выбирается нулевые значения:
Верхний индекс - номер итерации (приближения).
3. Формируем циклический процесс, каждый цикл которого представляет собой одну итерацию. В результате каждой итерации получается новое значение неизвестных. Для организации итерационного процесса запишем нашу систему в приведенном виде – из 1-го уравнения выражаем x1, из 2-го уравнения выражаем x2, из 3-го уравнения выражаем x3.
Приведенная система уравнений имеет вид:
{
Запишем итерационную формулу метода Зейделя:
{
Переходим к вычислению 1-ой итерации: i=0
Проверим достигнута ли точность:
|x11-x10|<eps |
|0,38-0|<0,1 |
|0,38|<0,1 нет |
|x21-x20|<eps |
|-0,80-0|<0,1 |
|0,80|<0,1 нет |
|x31-x30|<eps |
|0,41-0|<0,1 |
|0,41|<0,1 нет |
Точность не достигнута, следовательно, продолжаем процесс вычисления.
Переходим к вычислению 2-ой итерации: i=1
Проверим достигнута ли точность: |
|
|
|x12-x11|<eps |
|0,12-0,38|<0,1 |
|0,26|<0,1 нет |
|x22-x21|<eps |
|-0,64-(-0,80)|<0,1 |
|0,16|<0,1 нет |
|x32-x31|<eps |
|0,52-0,41|<0,1 |
|0,11|<0,1 нет |
Точность не достигнута, следовательно, продолжаем процесс вычисления.
Переходим к вычислению 3-ой итерации: i=2
Проверим достигнута ли точность: |
|
|
|x13-x12|<eps |
|0,15-0,12|<0,1 |
|0,03|<0,1 да |
|x23-x22|<eps |
|-0,64-(-0,59)|<0,1 |
|0,05|<0,1 да |
|x33-x32|<eps |
|0,52-0,52|<0,1 |
|0,00|<0,1 да |
Вывод: точность достигнута, следовательно значения x1=0,15 x2=-0,59 x3=0,52 можно считать приближенным решением системы линейных уравнений с точностью 0,1.
Реализация в MS Excel
|
|
метод Зейделя |
|
||
x1 |
0 |
0,38 |
0,12 |
0,15 |
|
x2 |
0 |
-0,80 |
-0,64 |
-0,59 |
|
x3 |
0 |
0,41 |
0,52 |
0,52 |
|
|x1i+1-x1i|<0,1 |
|
ЛОЖЬ |
ЛОЖЬ |
ИСТИНА |
|
|x2i+1-x2i|<0,1 |
|
ЛОЖЬ |
ЛОЖЬ |
ИСТИНА |
|
|x3i+1-x3i|<0,1 |
|
ЛОЖЬ |
ЛОЖЬ |
ИСТИНА |
|
Реализация в Mcad
